反常积分敛散性的L′ Hospital判别法

赵艳辉



反常积分敛散性的L′ Hospital判别法

赵艳辉

(湖南科技学院数学与计算科学系,湖南永州, 425100)

根据L′ Hospital法则, 运用反常积分比较判别法, 讨论了无穷区间反常积分的L′ Hospital判别法。

反常积分; 敛散性; 幂函数; L′ Hospital法则

1 有关引理及定义

引理1 已知新幂函数有连续单调的导数, 则有如下性质: (1) 零幂函数的导数在无穷处单调递减; (2) 幂指数小于1的有幂函数的导数在无穷处单调递减; (3) 幂指数大于1的有幂函数的导数在无穷处单调递增; (4) 无穷幂函数的导数在无穷处都单调递增。

下面对(1)做简单证明: (反证法)假设()是零幂函数, 不妨设()单调递增, 则, 使得当充分大时, 有()＞()＞0, 且当＞时()单调递增, 则有。所以=＞0, 这与零幂函数的性质矛盾, 所以性质(1)成立。对反常积分敛散性的研究通常都是与积分进行比较而得出其敛散性的, 如文献[1–2]。文献[3]对无穷积分的敛散性提出了数列极限式的判别法, 但它们都要借助积分以外的函数进行。本文将运用L′ Hospital法则的思想, 对分式形式的反常积分找到与原积分有相同敛散性的积分或者类似积分(即Cauchy判别法的极限形式), 通过判定新积分的敛散性, 得出原积分的敛散性。

2 无穷区间反常积分的L′ Hospital判别法

由上可知若()与有幂函数等价, 则与等价, 其中为常数。

综上所述, 若()和()均是有幂函数, 当时, 有及, 所以。即有与有相同的敛散性。

若()是无穷幂函数, 当时, 如果()是零幂函数或有幂函数,, 则与均发散; 当()是无穷幂函数时, 若()比()低阶, 则与均发散; 当()比()高阶时, 由于()也是新幂函数, 则() =()(), 其中()为新幂函数。当()是零幂函数且时,=+, 而此时易知≤, 因此。因此与均发散; 而()为有幂函数且当＜=+＜2, 则与有相同的的敛散性。而当()是无穷幂函数且时,＜, 故与同收敛。因此, 若()和()是在无穷区间上的新幂函数而()不是零幂函数,与有相同敛散性。

定理2 若()和()是无穷区间上的新幂函数, 且()是零幂函数, 若发散, 则发散。

证明 (i) 若()是零幂函数, 显然根据积分上限函数, 由于在也为无穷, 所以＜＜, 同理＜＜, 所以也发散。

(ii) 若()是有幂函数, 当时,,≥(因为单调递减), 所以。根据比较判别法, 若发散, 则发散。更进一步, 如果()不是幂指数为1的有幂函数, 则和有相同的敛散性。若()的幂指数大于1, 则()为有幂函数, 它与()的商为幂指数大于1的有幂函数; 而若()的幂指数小于1, 则()是幂指数大于-1的负幂函数, 它与()的商为幂指数小于1的有幂函数。经分析知和有相同的敛散性。

(iii) 若()是无穷幂函数, 则容易证明和同时收敛, 与题意矛盾, 结论成立。

参考文献：

[1] 陈纪修. 数学分析(上册)[M]. 2版. 北京: 高等教育出版社, 2004: 5, 185.

[2] 温朝晖, 李天胜, 朱存斌. 无穷积分敛散性的一个新判别法[J]. 大学数学, 2005, 21(2): 111–112.

[3] 何美. 反常积分敛散性数列式判别法[J]. 大同职业技术学院学报, 2003, 15(1):66–67.

(责任编校:刘刚毅)

Convergence and divergence criterion of improper integral L′ Hospital criterion

Zhao Yanhui

(Department of Mathematics and Computational Science, Hunan University of Science and Engineering, Yongzhou 425100, China)

L′ Hospital criterion of the infinite interval improper integral are discussed respectively according to L′ Hospital rule and comparative criterion of improper integral.

convergence and divergence criterion; improper integral; power function; L′ Hospital criterion

10.3969/j.issn.1672–6146.2015.02.004

O 172.2

1672–6146(2015)02–0007–03

赵艳辉, tang09zhao@163.com。

2014–12–15

湖南省教改课题[2012]401, No: 428。