扩散过程模型估计效率问题研究

谷 伟, 崔俊交

(中南财经政法大学 统计与数学学院, 武汉 430073)



扩散过程模型估计效率问题研究

谷 伟*, 崔俊交

(中南财经政法大学 统计与数学学院, 武汉 430073)

考虑扩散过程模型的一种基于偏微分方程的估计方法,该方法通过数值求解与扩散模型相关联的偏微分方程(PDEs),获得转移密度函数的近似解,把Hurn等和陈晖等所采用的方法进行了对比,并与转移密度的闭端解和Euler法获得的近似解进行比较,同时,比较了这几种方法在模型参数识别方面的效率.比较结果说明Hurn法对于对数似然和的近似效果均优于陈晖法,且对于模型参数的估计效果要优于Euler法和陈晖法,且Hurn法对于模型参数的识别能力要好于Euler法.

极大似然估计法; Euler法; 转移密度函数

近年来,随着我国利率市场化的不断推进,针对利率模型(特别是短期无风险利率模型)的研究,已引起许多学者的广泛关注,如:Merton模型、Vasicek模型、CIR模型以及CKLS模型等.这些模型均是考虑通过对相应的随机利率模型设定不同的漂移项和扩散项来获得的,然而,其“逆向问题”,即利用利率的离散观测值,估计随机利率模型中的未知参数,还有待于构造适当的参数估计数值算法进行深入的探索和研究.

极大似然估计是其中较流行的一种参数方法,该方法的关键问题是如何获得转移密度函数.一般来说,有4种近似转移密度函数的方法:(i) 数值求解扩散过程满足的Fokker-Planck偏微分方程,进而获得相应的转移密度函数近似值(Lo(1988)[1];Jensen和Poulsen(2002)[2];Hurn等(2007)[3];陈晖等(2004)[4]);(ii)Hermite多项式近似法(Ait-Sahalia(2002)[5], (2008)[6]);(iii)模拟极大似然估计法(Pedersen(1995)[7];Brandt和Santa-Clara(2002)[8];Durham和Gallant(2002)[9]);(iv) 精确模拟极大似然估计法(Beskos等(2006)[10]).本文考虑利率扩散过程模型的一种基于偏微分方程的估计方法,该方法通过数值求解与扩散模型相关联的偏微分方程(PDE),获得转移密度函数的近似解.本文通过大量的数值试验把Hurn等(2007)和陈晖等(2004)所采用的方法进行了对比,并与转移密度的闭端解和Euler法获得的近似解进行比较,从而得到与陈晖不同的结论,对于Vasick模型,Euler法对转移密度的近似程度最高,但Hurn法对模型参数估计的偏差要小于Euler法.对于CIR模型,Hurn所考虑的方法对转移密度函数的近似程度最好,且对模型参数估计的偏差最小.同时,比较了这几种方法在CKLS模型参数识别方面的效率,Hurn方法的效率最高.

1 估计方法

考虑如下一维扩散过程模型[11-12]

dXt=μ(Xt;θ)dt+σ(Xt;θ)dWt, 0≤t≤T,

(1)

其中,θ是待估参数向量,漂移项μ和扩散项σ是非线性函数,Wt是标准布朗运动.假定扩散过程X在时间点0=t0

若已知扩散过程X的转移密度p(xt|xs;θ)(s

(2)

其中,p(Δ,xi|xi-1;θ)是两连续观测值xi-1和xi间的转移密度函数.则θ的估计值可通过最大化(2) 式,或最小化 (3) 式来获得

(3)

事实上,X的转移密度函数通常都是未知的,如何获得p(Δ,xi|xi-1;θ),则成为一个关键问题.本文考虑了Euler估计法、基于偏微分方程的估计算法等方法近似p(Δ,xi|xi-1;θ).

1.1Euler法

Euler法是其中最简单的一种极大似然函数的近似方法,在时间区间[ti-1,ti]上,对方程(1)进行Euler离散

(4)

其中,序列{εi-1}相互独立且均服从标准正态分布.则可得xi-1和xi间的转移密度函数为:

pEuler(Δ,xi|xi-1;θ)= (2πνi-1)-1/2exp{-(xi-mi-1)2/(2νi-1)},

(5)

其中,mi-1=xi-1+μ(xi-1;θ)Δ,vi-1=Δσ2(xi-1;θ),pEuler表示在Euler法下转移密度函数的近似值.

1.2 基于偏微分方程的估计方法

假定p(Δ,xi|xi-1;θ)≡p(ti,xi|ti-1,xi-1;θ),并记p(t,x)=p(t,x|ti-1,xi-1;θ),Karatzas and Shreve(1992)[13]指出转移密度函数p(t,x)是以下Fokker-Plank偏微分方程的解

(6)

且满足初值条件

p(ti-1,x)=δ(x-xi-1),

(7)

其中,δ(·)为Dirac delta函数, 如何处理Dirac delta初值函数成为一个棘手的问题.

式(6)可改写为:

pt(t,x)=a(x)p(t,x)+b(x)px(t,x)+c(x)pxx(t,x),

(8)

1.2.1 陈晖采用的方法 采用Crank-Nicolson差分对(8)进行离散,记ai=a(yi),bi=b(yi),ci=c(yi),则可得如下格式

(9)

实际算法实现中,还要对格式(9)限定边值条件p0=pN=0,且选择均值为xi-1+μ(xi-1;θ)Δt,方差为Δtσ2(xi-1;θ)的正态分布作为初值函数的近似(Jensen和Poulsen(2002)[2]).

1.2.2 Hurn采用的方法 Hurn等(2007)[3]指出(6)还应该满足如下边值条件

(10)

记μi=μ(yi),σi=σ(yi),则可将(6)离散为:

(11)

事实上,(11)也是通过Crank-Nicolson差分法对(6)进行离散获得的.

假定p(t,x)的解落在区间[y0,yN]或区间[y0,∞]上,漂移项和扩散项满足μ(y0)≥0,σ(y0)=0,可以认为在边界点y0处没有累积任何密度,则可取p(t,y0)=0.然而在边界点yN处,通过离散边值条件(10),且令(11)中i=N-1,可得如下格式

(12)

其中,

若取p(t,y0)=0(否则,可获得类似(12)的结果),则离散格式(11)的起始迭代为:

(13)

结合(11)～(13),最终,可得如下矩阵形式的差分格式

ALpi+1=ARpi,

2 估计转移密度似然函数的效率

考虑OU和CIR模型,值得一提的是这两个模型均存在转移密度函数的闭端解,便于进行Euler法和基于偏微分方程法估计效率的比较分析.

Vasicek(1977)[14]提出了Vasicek模型(或OU模型),满足如下随机微分方程

dXt=θ1(θ2-Xt)dt+θ3dWt,X0=x0,

(14)

该方程的转移密度函数的闭端解为:

pVasicek(Δ,x|xi-1)=φN(x;m(Δ,xi-1),v(Δ,xi-1)),

(15)

Cox, Ingersoll和Ross(1985)[15]提出了CIR模型,满足如下随机微分方程

(16)

(17)

此外,为比较估计方法对模型参数的估计偏差,定义了ARE:

(18)

表1结果说明,对于OU模型,Euler法近似的对数似然和的效果最好,陈晖等所采用的估计法的效果最差,如果取较小的空间步长Δx其近似效果可以得到改善.对比陈晖等和Hurn等所采用的方法的估计效果,发现Hurn法均优于陈晖法.从表3可以看出,精确极大似然估计法(EML)、Euler法、Hurn法对于OU模型的参数估计的均值差别不大,而陈晖法除对θ1的估计效果较差外,对于θ2和θ3的估计效果相对较好.从ARE的值来看,Hurn法所获得的ARE值要小于Euler法,这说明Hurn法对OU模型参数估计的偏差要小于Euler法.

表2结果说明,对于CIR模型,陈晖法和Hurn法近似的对数似然和的效果均优于Euler法,且空间步长越小,近似效果越好,而Hurn法的近似效果又均优于陈晖法.另外,从表4可以看出,Hurn法对CIR模型参数的估计值最接近EML法,且估计偏差也要小于陈晖法和Euler法.

总的说来,Hurn法对于对数似然和的近似效果均优于陈晖法,且对于模型参数的估计效果要优于Euler法和陈晖法.实际应用中,在计算需求允许的条件下,对于基于偏微分方程的估计法,尽量取较小的空间步长,以获得精确的估计结果.

表1 Euler法和基于偏微分方程法估计OU模型转移密度对数似然函数和的误差比较,基于200个模拟数据序列

Tab.1 Measures of relative error in the calculation of log-likelihood for OU model based on 200 data sets,compare Euler method with the PDE methods

MREAAREMSREEuler:Δ=1/121.73391E-053.46331E-073.30786E-12陈晖法:Δx=0.0022.44892E-031.21032E-043.54117E-08Δt=1/120,Δx=0.0013.46305E-043.12746E-051.31881E-09Δx=0.00052.61783E-042.36075E-057.63422E-10Hurn法:Δx=0.0025.84601E-049.37847E-055.82997E-09Δt=1/120,Δx=0.0013.12343E-042.87751E-051.07249E-09Δx=0.00052.31755E-041.95545E-055.73030E-10

表2 Euler法和基于偏微分方程法估计CIR模型转移密度对数似然函数和的误差比较,基于200个模拟数据序列

表3 Euler法和基于偏微分方程法估计OU模型参数的平均值和ARE(%)(括弧内数值),基于200个模拟数据序列

表4 Euler法和基于偏微分方程法估计CIR模型参数的平均值和ARE(%)(括弧内数值),基于200个模拟数据序列,其中参数真值为θ1=0.2;θ2=0.08;θ3=0.1

3 参数识别的效率比较

本节考虑CKLS[17]模型的参数识别问题,它是一个最基本的利率过程模型,国内外很多实证研究都是基于该模型进行的.其具体形式为:

(19)

其中,利率的均值回复速度θ1,利率的均值回复水平θ2,利率的波动系数θ3,粘性系数θ4为4个待估参数,该模型的转移密度函数无法解析表达.

令式(19)中x0=0.1,θ1=0.2,θ2=0.08,θ3=0.03,θ4=0.5,对(19)采用Milstein算法进行离散获得1 000个数据,其时间序列图可见图1.表5列出了用这1 000个数据获得的CKLS模型的参数估计结果,其中时间步长Δ=1,Hurn1表示在Hurn法中取Δt=0.02,空间步长Δx=0.0005,Hurn2表示在Hurn法中取Δt=0.02,空间步长Δx=0.0001.从估计结果上来看,Hurn法比Euler法具有更强的参数识别能力,且在CKLS模型中更关心θ2的识别和估计精度,对于Hurn法,其对θ2的识别能力会随着空间步长的变小而变强.

图1 CKLS模型模拟出的1 000个数据的时间序列图

表5 CKLS模型的参数估计结果

Tab.5 Parameter estimation results of CKLS model

θ1θ2θ3θ4Euler估计0.18650.08140.01570.2709EulerSD0.01850.00140.00550.1390EulerT值10.107960.15922.84491.9485Hurn1估计0.20530.08140.02120.3511Hurn1SD0.02260.00140.00730.1366Hurn1T值9.096660.16972.90692.5713Hurn2估计0.21010.08140.02030.3339Hurn2SD0.02270.00130.00700.1366Hurn2T值9.242961.40972.90732.4441

4 结论

本文采用基于偏微分方程的估计法对利率扩散模型进行参数估计,并和Euler法进行了对比.从数值实验结果来看,Hurn法对于对数似然和的近似效果均优于陈晖法,且对于模型参数的估计效果要优于Euler法和陈晖法,且Hurn法对于模型参数的识别能力要好于Euler法.

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An efficiency study on estimation of diffusion processes models

GU Wei， CUI Junjiao

(School of Statistics and Mathematics, Zhongnan University of Economics and Law, Wuhan 430073)

An maximum likelihood estimation algorithm based on partial differential equations (PDEs) is provided to estimate one dimensional diffusion processes models. Crank-Nicolson difference scheme is used to obtain the numerical solution of the corresponding PDEs, from which the transition probability density function (PDF) is obtained. Methods considered by Hurn et al and Chen Hui et al are provided, and we compare the approximations by PDE method with the closed-form density and the approximations by Euler method. Meanwhile, the efficiencies of parameter identifications of the models are considered. We conclude that the Hurn’s method is the best one of the three methods, and the Hurn’s method is better than the Euler method in identity ability of the parameter identification.

maximum likelihood estimation method; Euler method; transition probability density function

2014-06-28.

国家自然科学基金项目(11401591);教育部留学回国人员科研启动基金资助项目(2013693);中央高校基本科研业务费专项资金资助(2014143);研究生教育教学理论研究项目(2014JY05).

1000-1190(2015)01-0001-06

F832

A

*E-mail: wei-gu@znufe.edu.cn.