广义和超广义投影算子的一些新特征

罗高骏, 左可正, 周 良

(湖北师范学院 数学与统计学院, 湖北 黄石 435002)



广义和超广义投影算子的一些新特征

罗高骏, 左可正*, 周 良

(湖北师范学院 数学与统计学院, 湖北 黄石 435002)

利用矩阵的Σ-K-L分解,研究了广义投影算子(A2=A*)和超广义投影算子(A2=A+)的性质,得到了一些新的特征,这些结论推广了Baksalary的有关结果.

广义逆; 广义投影算子; 超广义投影算子

1 引言及预备引理

用Cm,n表示复数域上的所有m×n矩阵组成的集合,用A*,R(A),r(A),In分别表示矩阵A的共轭转置,值域,秩和n阶单位矩阵,用N表示自然数集.当A是n阶方阵时,规定A0=In.

在文中将会涉及矩阵的几种广义逆(参见文献[1-2]).用A+∈Cn,m表示矩阵A∈Cm,n的Mooer-Penrose逆,它满足以下4个等式:

1)AA+A=A, 2)A+AA+=A+, 3)AA+=(AA+)*, 4)A+A=(A+A)*.

对任意矩阵A∈Cm,n,如果存在矩阵A(i,j,…,l)∈Cn,m,且满足上述等式1),2),3),4)中的任一个或多个等式,用A{i,j,…,l}表示这类矩阵的集合,那么A(i,j,…,l)∈A{i,j,…,l}叫做矩阵A的{i,j,…,l}逆.

用A#∈Cn,n表示矩阵A∈Cn,n的群逆, 它满足以下3个等式:

AA#A=A,A#AA#=A#,AA#=A#A,

且矩阵A的群逆存在的充要条件是r(A)=r(A2).

{A∈Cm，n:A*=A+}，

(1)

(2)

{A∈Cn，n:A2=A=A+}，

(3)

(4)

(5)

{A∈Cn，n:R(A)=R(A*)}，

(6)

(7)

199 7年, Grob和Trenkler在文献[3]中提出了广义投影算子和超广义投影算子的概念,其定义如下:

定义1设矩阵A∈Cn,n,

1) 当A2=A*时,矩阵A称作广义投影算子；

2) 当A2=A+时,矩阵A称作超广义投影算子.

200 4年,Baksalary和Liu在文献[4]中给出了广义投影算子的3个新刻画:

同一年，在文献[5]中Baksalary给出了超广义投影算子的刻画:

200 8年， Baksalary在文献[6]中给出了广义投影算子的两个新刻画:

200 9年, Baksalary在文献[7]中给出广义投影算子和超广义投影算子的几个等价条件,即下面的引理1,引理2.

引理1[7]设A∈Cn,n,则以下6个条件等价:

引理2[7]设A∈Cn,n,则以下4个条件等价:

本文将Baksalary在文献[7]中的结果(即引理1和引理2)中的Mooer-Penrose逆推广到{1,4}逆和{1,3,4}逆,并得到了广义投影算子和超广义投影算子的几个新刻画.

在文献[6-7]以及本文中,广义投影算子和超广义投影算子的几个结果都是运用文献[8]中推论6提出的矩阵的Σ-K-L分解计算出来的,该分解如下:

引理3[8](Σ-K-L分解)设A∈Cn,n,且r(A)=r，则存在酉矩阵U∈Cn,n使得

(8)

其中,Σ=diag(σ1Ir1,…,σtIrt),σ1>σ2>…>σt>0,r1+r2+…+rt=r,K∈Cr,r,L∈Cr,n-r且KK*+LL*=Ir.

由(8)可以计算出,

(9)

如果有条件r(A)=r(A2),那么A#存在且有,

(10)

利用矩阵的Σ-K-L分解,Baksalary在文献[9]中给出了一些特殊算子的刻画条件,即下面的引理4.

引理4[9]设A∈Cn,n,且r(A)=r,A有(8)中的分解形式,则

引理5设A∈Cn,n,A有(8)中的分解形式,则

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

2 主要结果及证明

本部分主要是用引理3,引理4和引理5,将Baksalary在文献[7]中的结果进行了推广,将引理1和引理2中的Mooer-Penrose逆推广到{1,4}逆和{1,3,4}逆.

再由引理5的(13)式直接计算可得

所以A=A(1,4)A*.

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适当增加条件后，可以得到下面的定理2．

所以A=A*A(1,3,4).

再由(10)式, 引理5的(13)式直接计算可得

所以A=A(1,4)A#.

适当增加条件后,可以得到下面的定理4.

所以A=A#A(1,3,4).

定理5设A∈Cn,n,则以下3个条件等价:

证明下面只证明(i)⟺(ii),而(i)⟺(iii)可以用类似的方法证明.

所以A=A(1,4)(A#)2A.

⟸由A的Σ-K-L分解及引理3,(10)式, 引理5的(11)式和A=A(1,4)(A#)2A直接计算可得

L*Σ-1K-1Σ-1K-1Σ-1ΣK=0,可得L*=0,即L=0.而KK*+LL*=Ir,故K-1=K*.

定理6设A∈Cn,n,则以下3个条件等价:

证明下面只证明(i)⟺(ii),而(i)⟺(iii)可以用类似的方法证明.

所以A=(A*)2A(1)A.

⟸由A=(A*)2A(1)A,可得R(A)⊆R((A*)2)⊆R(A*),而r(A)=r(A*),所以R(A)=R(A*),故矩阵A是EP阵即L=0.

由A=(A*)2A(1)A和A的Σ-K-L分解及引理3,引理5的(14)式,可得

所以A=A*(A(1,4))l(A#)dAl+d-1.

⟸由A=A*(A(1,4))l(A#)dAl+d-1,可得R(A)⊆R(A*),而r(A)=r(A*),所以R(A)=R(A*),故矩阵A是EP阵即L=0.

由A=A*(A(1,4))l(A#)dAl+d-1和A的Σ-K-L分解及引理3,(10)式,(13)式可得

其中,X=(ΣK)1-lB3+(ΣK)2-lB3D3+(ΣK)3-lB3D32+…+(ΣK)-1B3D3l-2+B3D3l-1，

2) 将定理7中的A=A*(A(1,4))l(A#)dAl+d-1的等式右边A*固定在等式右边的末尾,随意交换(A(1,4))l,(A#)d,Al+d-1这三项的位置, 定理7仍成立.必要性的证明与定理7类似,而充分性的证明是由A=(A(1,4))l(A#)dAl+d-1A*和A的Σ-K-L分解及引理3,(10)式和引理5的(12)式直接计算可得ΣL=0,其证明方法与定理7充分性的证明类似.

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Some new properties of generalized and hypergeneralized projectors

LUO Gaojun, ZUO Kezheng, ZHOU Liang

(Department of Mathematics， Hubei Normal University， Huangshi， Hubei 435002)

Using the decomposition ofΣ-K-Lofthematrix，weobtainseveralnewpropertiesandcharacteristicsofthegeneralizedprojectors(A2=A*)andthehypergeneralizedprojectors(A2=A+)，whichgeneralizesomerelatedresultsofBaksalary．

generalized inverse; generalized projectors; hypergeneralized projectors

2014-12-16.

国家自然科学基金项目(11271105);湖北省教育厅重点项目(D20122202).

1000-1190(2015)04-0488-04

O151.2< class="emphasis_bold">文献标识码： A

A

*通讯联系人. E-mail: xiangzuo28@163.com.