关联呼应：源自理解数学和苦心经营——对“垂径定理”教学的再设计

☉江苏省如东县岔河中学 季卫东

关联呼应：源自理解数学和苦心经营
——对“垂径定理”教学的再设计

☉江苏省如东县岔河中学 季卫东

一、写在前面

最近参与某区一次大型教学研讨活动（参与听课的来自该地区所有初三数学教师，200多人），其间开设了一节初三“垂径定理”的公开课，活动流程清晰，学生思维活动量较大，教师“基本功”（传统意义上的“三字一话”）扎实，课后是应景式的、标签式的、客套式的赏析评课，一节优秀课就这样被定义了，似乎各自回到教学岗位后，以后的新授课就可以这样上了．然而近年来笔者阅读喜欢与涉猎所限，颇受人民教育出版社资深编审章建跃博士的影响，章博士在参加一些评优课之后，受当时当地环境、氛围的限制，并没有对有些参赛课给出更多商榷意见，而是在活动之后以文章的形式，对该课给出基于深刻理解数学的高度上的重新设计，给人以耳目一新之感．笔者力所不及，然心向往之，也想对这次活动中的“垂径定理”教学给出自己能力范围下的“再设计”，供批判与研讨．

二、“垂径定理”公开课教学流程概述

【精心导入】

探究1：有一张圆形纸片，请同学们找圆心，比比谁找得快！

听课记录：课前学生每人都准备了一张圆形纸片，折纸活动很顺利，很多学生都通过折叠两次获得圆心，教师再安排一个学生到前面演示确认，从而引出追问：圆是什么图形？（轴对称图形）

填空：圆是______对称图形，它的对称轴是______.

探究2：如何证明圆是轴对称图形？

图1

听课记录：教师安排学生在小组讨论后汇报证明思路，并用PPT给出证明过程．

探究3：在图1中增加一条弦，使得它仍是轴对称图形.

听课记录：学生画出不同的情形，教师从中选择一个画出了垂直于弦的直径的图形，为研究垂径定理的证明服务．其他图形则先放下，教师指出，以后再研究其他情况的图形．

图2

【新知探究】

教师由学生画出的轴对称图形，利用图2，引导学生归纳并证明垂径定理．

填空：_____，定理：_______________．

听课记录：教师在学生得出概念和简略证明的基础上给出垂径定理的图形、符号语言，但没有提及垂径定理的推论．

【精讲示范】

例在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，求圆心O到弦AB的距离．

听课记录：师生合作添加辅助线弦心距、半径，构造经典的直角三角形基本图形，并为学生总结弦心距、弦的一半、半径之间的平方关系式．

【巩固训练】

两道练习题（中考试题，略）．

学生自编题：运用垂径定理自编一道计算题．

听课记录：学生自编题耗去近10分钟，学生要画图、构思已知和问题，预设图形中不同的数据，最后教师利用实物投影展示了三个学生的问题设计，并请其他同学解答，所以花时较多．

【课堂小结】

通过本节课的学习，你有哪些收获？

【拓展提高】

已知圆O的直径为10cm，弦AB∥CD，且AB=8cm，CD=6cm，求弦AB和CD之间的距离．

三、“垂径定理”教学再设计

（一）创设情境

寻找圆心：有一张圆形纸片，请同学们找圆心，比比谁找得快！

图3

设计意图：让学生准备一张圆形纸片，并由他们折纸找出圆心，安排一个学生到黑板上画出折纸方法的示意图，如图3.

追问得出：这种方法是利用了圆的轴对称性质，那么圆为什么是轴对称图形呢？

安排学生利用图2给出证明，在圆上任意取一点，引直径的垂线交圆于另一点，并证明这两点关于直径所在直线对称．

（二）归纳定理及推论

在学生证明圆是轴对称图形之后，引导学生归纳出垂径定理.

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．

教学预设：梳理垂径定理的题设与结论，一条直线若满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦，则可以推出：（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧．

提出问题：平分弦的直径能否垂直于弦，并且平分弦所对的弧？

教学预设：启发学生思考，上述问题的答案是肯定的吗？如果不是，如何修正呢？通过系列追问促进学生思考并得出推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

（三）例题教学

例1如图4，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若CD＝8，BE＝2，求⊙O的直径．

图4

图5

变式训练：某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图5所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶的距离为10cm，问：修理人员应准备内径多大的管道？

设计意图：从图4到图5，辅助线添加更多，构图能力更强，然而图4构造的直角三角形会启发学生在图5中也构造出直角三角形来帮助思考．

图6

例2如图6，CD所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用几次就可以找到圆形工件的圆心？

设计意图：在学生解出来之后，引导他们思考开课阶段的折纸情境，追问：现在能解释为什么折叠两次后，折痕相交的点就是圆心吗？能给出证明吗？（本质就是与例2的推证理由类似，根据垂径定理的推论来证明）

（四）小结

引导学生从轴对称的角度回顾垂径定理及其推论，并启发学生思考，还可以把垂径定理的基本图形中的题设与结论重组得出一些命题.

（五）作业

求证：圆中平行弦所夹弧相等．

四、教学立意的进一步阐释

1.深刻理解教学内容，加强教学环节的关联呼应

优秀的文学影视作品常常要预设所谓的“前后呼应”艺术，比如文学名著《红楼梦》中开篇提及的很多人物、事件，看似无厘头，然而却若隐若现地出现在后续情节推进之中，甚至成为重要的暗线．受此启发，我们基于对教学内容的深刻理解，将原设计中的情境（两次折纸获得圆心）与后来“再设计”中例2中的追问实现对接、呼应，形式上加强了开课情境与后续例题教学之间的关联，更重要的是对折叠操作的原理进行了证明，使得开课情境更有数学味儿、几何味儿．

2.研习教材并精选例、习题，经营“平滑的转场效果”

由于垂径定理反映了圆的轴对称性质，而且在证明圆是轴对称图形时顺便也就获得了垂径定理，稍稍逆向思考就能得到系列推论，教材上只是给了其中一种，这时我们可以启发优秀学生课外深入构思其他的推论，包括“平行弦所夹弧相等”，这些都可以看成是垂径定理的推论（上个世纪的教材中都将其作为推论进行教学）．基于上述认识，如果限于教学时间，或考虑到充分训练垂径定理基本图形的需要，而将垂径定理的推论放到下一课时再学，则会破坏数学知识的整体性，是值得商榷的．所以在“再设计”中我们将推论进行了预设，并精选了一些例、习题进行新知应用，也追求了不同教学环节之间的平滑过渡．当然，我们在“再设计”中还基于“从标准模式到非标准模式”（详见文4）的理念对例、习题的教学加强了变式设计．

1.章建跃．如何实现“思维的教学”——以“平面图形的旋转”的教学为例［J］．中学数学教学参考（中），2015（4）.

2.张诚，张成品.经营“转场”：让教学环节过渡自然——《中学数学》（下）2015年1～3月读刊随笔［J］.中学数学（下），2015（5）.

3.刘东升．关联性：一个值得重视的研究领域［J］．中学数学（下），2013（12）.

4.季卫东．变式取向：从“标准模式”到“非标准模式”——以“轴对称最值问题”解题教学为例［J］．中学数学（下），2014（3）.Z