三维Duffing混沌系统的H∞同步

谭 飞， 范 焘， 何 平

(1.四川理工学院 自动化与电子信息学院， 四川 自贡 643000；2.四川理工学院 人工智能四川省重点实验室， 四川 自贡 643000； 3.澳门大学 科技学院 机电工程系， 澳门 氹仔 999078)



三维Duffing混沌系统的H∞同步

谭 飞1，2*， 范 焘1，2， 何 平3

(1.四川理工学院 自动化与电子信息学院， 四川 自贡 643000；2.四川理工学院 人工智能四川省重点实验室， 四川 自贡 643000； 3.澳门大学 科技学院 机电工程系， 澳门 氹仔 999078)

研究了一个新型三维Duffing混沌系统的H∞同步问题，这个新型的Duffing混沌系统是从经典的Duffing混沌系统中引入一个状态变量而得到的.基于Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式技术，并结合Schur补定理，给出了这类混沌系统H∞同步的充分条件.数值仿真表明了本文所设计的H∞同步体制的有效性.

H∞同步； 三维Duffing混沌系统； 线性矩阵不等式； Schur补定理

在应用科学领域，Duffing方程是一个非常常见的非线性动力学方程，它是讨论诸多工程实际现象(如周期激励、非一致现象、非线性动力学振子等)的一个强有力工具[1]，因此，近些年来一直是一个研究热点.同步是非线性动力学系统普遍要求的现象.混沌同步在生物、化学、医药、电子、信息科学、保密通信等领域中都有广泛应用.相关报道层出不穷[2]，相关同步方法相继被发现，诸如鲁棒控制[3]、微分几何方法[4]、最优控制方法[5]、滑模控制方法[6]，上述方法都可以广泛应用于基于数据驱动的故障诊断[7-11].目前，对于Duffing方程的研究大多集中在二维状态方程[12-15]，本文将对三维Duffing方程进行系统的研究，当响应系统和驱动系统在不同的外部激励作用条件下，在本文所设计的H∞同步控制器的作用下仍然能够达成同步.

1 三维Duffing混沌系统

许多工程问题，如压力传感器的非线性振动，基于位移激励的生产包装系统，其动力学模型动可以简化为一个含有三次方项的受激励扰动的Duffing方程如下：

(1)

其中，x(t)是未知的实函数，μ，ω，ε，f，Ω是已知的物理参数.

Duffing系统(1)有一个特别的形式如下所示

(2)

图1 二维Duffing混沌系统(2)的相轨迹Fig.1 Phase diagram of two-dimensional Duffing chaotic system (2)

引理1在x1(0)=0的条件下，二维Duffing混沌系统(2)等价于如下三维混沌系统：

(3)

证明根据参考文献[1]，其结论是明显的，因此省略.

在初始条件xT(0)=[0，1，0]的条件下，三维Duffing混沌系统(3)产生的混沌吸引子如图2所示，其在x1-o-x2，x2-o-x3面的投影如图3所示.

图2 三维Duffing混沌系统(3)的相图Fig.2 Three-dimensional Duffing chaotic system (3) phase diagram

图3 三维Duffing混沌系统(3)的投影相图Fig.3 Projection of three-dimensional Duffing chaotic system phase diagram

注1比较图1与图3可以得出系统(1)与系统(3)的相图是基本一致的，其等价条件是x1(0)=0，x3(0)=0，否则系统(3)的状态可能不是混沌的.

2 主要结果

三维Duffing混沌系统(3)可以写成如下更紧凑的形式：

(4)

取系统(4)为驱动系统，构造响应系统如下所示：

(5)

其中,u是稍后设计的鲁棒同步控制器.

注2从三维Duffing混沌系统(4)～(5)中可以看出来，其所受到的外部激励的频率与振幅均是不一致的，要实现其同步，必须设计一个H∞同步控制器.

定义误差信号为

e=y-x,

(6)

其误差动力学方程为：

(7)

定理1 对于给定H∞性能指标γ、正常数α和对称正定矩阵S，若存在对称正定矩阵P和任意矩阵X使得如下线性矩阵不等式

(8)

成立，则有控制器

u=K(y-x)=P-1X(y-x)

(9)

可以H∞同步系统(4)～(5)，且有

证明对误差动力学系统(7)构造一个Lyapunov函数如下所示

V(e)=eTPe.

(10)

Lyapunov函数(10)沿误差动力学系统(7)轨线的导数为

(11)

由混沌系统轨迹的有界性易知存在一个正常数α使得

(12)

由柯西矩阵不等式可知

(13)

将(12)～(13)式带入(11)式有

(14)

在式(8)中，令X=PK，等价于

<0.

(15)

由Schur补定理知，(15)式等价于

(16)

将(16)式代入(14)式得

(17)

由(17)式易知在无扰动情况下，误差动力学系统是渐近稳定的，在零初始条件下是满足H∞性能指标γ的.证毕.

3 系统仿真

为了验证本文结论的有效性，本节给出一个数值仿真，取k=1，ω1=2，ω2=4，r1=3，r2=5，从定理1，运用MATLAB LMI Control工具箱解线性矩阵不等式(8)，可得相关决策变量，进而可以解得H∞同步控制器增益矩阵为

因此，取状态反馈控制律

(18)

即可H∞同步三维Duffing混沌系统(4)～(5).

在T=10 s时引入H∞同步控制器(18)后，误差动力学系统的动态响应曲线如图4所示.

图4 误差状态变量受控前后的状态向量历程图Fig.4 Error state vector history chart of the state variable at controlled before and after

4 总结

本文研究了三维Duffing混沌系统的H∞同步问题，包含两个创新点，一是提出了一个与二维Duffing混沌系统等价的三维Duffing混沌系统；二是由于响应系统与驱动系统的外部激励的振幅和频率均不一致，因此，本文设计了一个H∞同步控制器.最后，数值仿真表明了本文方法的有效性.

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H∞synchronization of three dimensional Duffing chaotic system

TAN Fei1,2， FAN Tao1,2， HE Ping3

(1.School of Automation and Electronic Information， Sichuan University of Science & Engineering， Zigong, Sichuan 643000;2.Artificial Intelligence Key Laboratory of Sichuan Province， Sichuan University of Science & Engineering， Zigong, Sichuan 643000;3.Department of Electromechanical Engineering， Faculty of Science and Technology， University of Macau， Taipa, Macao 999078)

This paper focused on theH∞synchronization problem for a new three-dimensional Duffing chaotic system. Sufficient condition forH∞synchronization was developed in this paper by using Lyapunov stability theory， linear matrix inequality (LMI) scheme and Schur-complement theorem. It is demonstrated theoretically that the designedH∞synchronization controller can keep synchronization with three-dimensional Duffing chaotic system. Numerical simulation results to showed the effectiveness and feasibility of the proposed method.

H∞synchronization; three-dimensional Duffing chaotic system; LMI; Schur-complement theorem

2014-12-22.

国家自然科学基金项目(61203001); 四川省教育厅研究基金项目(14ZA0208、14ZA0203、14ZB0210); 四川理工学院培育项目基金项目(2014PY14); 企业信息化与物联网测控技术四川省高校重点实验室开放基金项目(2014WYJ01、2013WYY06); 人工智能四川省重点实验室开放基金项目(2012RYJ01、2013RYJ01、2014RYY02); 四川理工学院科研基金项目(2012KY19)．

1000-1190(2015)03-0383-04

O415.5

A

*E-mail: 376055006@qq.com.