负二项分布的结构研究

康 殿 统

(河西学院 数学与统计学院, 甘肃 张掖 734000)



康 殿 统*

(河西学院 数学与统计学院, 甘肃 张掖 734000)

给出了负二项分布的两个不同定义与一个结构性定理.研究了两类负二项随机变量的无穷可分性.给出了求两类负二项随机变量的期望、方差与矩母函数的几种简捷方法. 另外给出了涉及负二项随机变量的两个计算实例.

负二项分布; 伽玛分布; 矩母函数; 泊松过程; 混合; 无穷可分性; 因子分解法

1 预备知识

在应用概率论与经济学中, 负二项分布(Negative Binomial Distribution)以其重要而有趣的性质居于一个重要的位置. 关于负二项分布的研究,国内外已有大量的文献,有兴趣的读者可参阅文献[1-2].本文对负二项分布的结构进行研究,同时也将展示几个求负二项分布的期望、方差及矩母函数的简捷方法.

定义1设X为一非负离散随机变量. 如果X具有概率质量函数

则称X服从参数为n与p的二项分布,记做X～B(n, p),这里n为正整数,0

定义2称函数MX(t)=E(etX),t≥0为非负随机变量X的矩母函数.

注1若随机变量X与Y独立.则有MX+Y(t)=MX(t)MY(t),t≥0.

定义3设X为一非负离散随机变量. 如果X具有概率质量函数

则称X服从参数为λ的泊松分布,记做X～P(λ),这里λ>0为实数.

泊松随机变量的矩母函数为:

MX(t)=eλ(et-1),t≥0.

(1)

定义4如果非负连续随机变量X具有概率密度函数

(2)

则称X服从参数为α与λ的伽玛分布,记作X～G(α,λ),其中,α>0为形状参数,λ>0为尺度参数.Γ(α)为Gamma函数.

容易算出,伽玛随机变量的矩母函数为:

(3)

定义5[1]设Y为一非负离散随机变量. 如果Y具有概率质量函数

则称Y服从参数为r与p的负二项分布,记做Y～NBi(r,p),这里r>0,0

当r为正整数时,负二项分布NBi(r,p)称为帕斯卡分布.下文中提到负二项分布NBi(r,p)时,均指r为正整数的情形.这时Y～NBi(r,p)的概率质量函数为:

当r=1时,负二项随机变量的概率质量函数为:

P(Y=x)=p(1-p)x,x=0,1,2,…,

这时称Y服从参数为p的几何分布,记作Y～Ge(p).

由定义直接计算可得负二项变量Y～NBi(r,p)的矩母函数为:

定义6设X为一非负离散随机变量. 如果X具有概率质量函数

则称X服从参数为r与p的负二项分布分布,记做X～NB(r,p),这里r为正整数,0

当r=1时,X～NB(1,p)=G(p),这时称X服从参数为p的几何分布,X具有概率质量函数

pX(x)=pqx-1,q=1-p,x=1,2,….

X～NB(r,p)的矩母函数为:

2 结构性定理

当r为正整数时,负二项变量Y～NBi(r,p)表示在独立伯努利实验序列中第r个成功发生前的失败次数.然而在保险实务中,负二项变量表示在特定的时期内的索赔次数,索赔频率服从Poisson分布,但参数具有随机性,即参数为一随机变量,且服从伽玛分布.就是说负二项分布看作是是Poisson分布以伽玛分布为权重的连续混合.这种观点可由下面的定理来证实.

证明下面求Z的概率质量函数.设Λ～G(r,β),即Λ具有概率密度函数

其中,r,β为正实数.则Z的概率质量函数为:

(4)

(5)

当r为正整数时,Γ(r+x)=(r+x-1)!,Γ(r)=(r-1)!,则(5)式化为:

q=1-p,x=0,1,2,…,

由于

所以

(6)

注2(6)式解释了负二项分布这个名词的由来.

3 无穷可分性

定义7[3]1) 对于任何n=2,3,…,如果一个分布可以表为n个同一概率分布的卷积(或称合成),则称该分布为无穷可分分布;

2) 无穷可分分布的特征函数f(t)称为无穷可分的,如果对于任何n,这个特征函数可以表为另一特征函数的n次幂:f(t)=[fn(t)]n;

3) 定义在某个概率空间上的随机变量,如果对任何n,它可以表为定义在该空间上的n个独立同分布的随机变量之和,则称该随机变量为无穷可分的.

注31)每一个无穷可分随机变量的分布是无穷可分的,但反之不恒真;

2)分布的无穷可分性可以用特征函数来检验;

3)当随机变量的矩母函数存在时,分布的无穷可分性也可以用矩母函数函数来检验.

定理2负二项随机变量X～NB(r,p)和Y～NBi(r,p)都是无穷可分的.

证明设X～NB(r,p),Y～NBi(r,p),Xi～G(p),Yi～Ge(p),i=1,2,…,r,则有

X=X1+X2+…+Xr,

Y=Y1+Y2+…+Yr,

由定义7知,负二项随机变量X～NB(r,p)和Y～NBi(r,p)都是无穷可分的.

定理3负二项分布NB(r,p)和NBi(r,p)的特征函数和矩母函数都是无穷可分的.

证明负二项分布NB(r,p)和NBi(r,p)的特征函数分别为:

和

显然

和

由上面的注记3的2)可知,下面的定理成立.

定理4负二项分布NB(r,p)和NBi(r,p)都是无穷可分的.

4 求期望、方差与矩母函数的简捷方法

4.1 求矩母函数的双期望法

下面给出一个计算矩母函数的一般方法,这个方法称为混合法.利用此方法,可以容易地算出负二项变量的矩母函数.

由矩母函数的定义,MX(t)=E(etX),t≥0.设Y为另一非负随机变量.由双期望公式,有

MX(t)=E(etX)=

EY[E(etX|Y)]=EY[MX|Y(t)].

(7)

当Y连续时,X是X|Y=y的连续混合.设Y的密度函数为fY(x),则有

命题1设X～NBi(r,p),则

证明设X～NBi(r,p),Λ～G(r,β).由定理1知[X|Λ=β]～P(β).由(1)式有

注4负二项分布这个名词的由来也可以通过如下所述的矩母函数方法来说明.

由于二项随机变量X～B(n,p)的矩母函数为:

MX(t)=[(1-p)+pet]n,t≥0.

4.2 求负二项随机变量期望、方差与矩母函数的因子分解法

4.2.1 一般方法 这个方法对求无穷可分随机变量的期望、方差与矩母函数非常实用.设X为一无穷可分随机变量,由随机变量无穷可分的定义,对任何正整数n,存在n个独立同分布的随机变量Xi,i,=1,2,…,n,X可以分解为这n随机变量之和.即

X=X1+X2+…+Xn.

利用这个分解式,容易求出X的数学期望、方差、矩母函数分别为:

E(X)=nE(X1),D(X)=nD(X1),

MX(t)=[MX1(t)]n.

更一般地,把X分解为任意若干个随机变量之和,只要这些分解出来的随机变量好求数学期望即可,也不要求相互独立,这样X的期望数学就等于这些随机变量数学期望之和.但在求方差与矩母函数时,要求分解出来的这些随机变量要相互独立,最好还是同分布的,这样求X的数学期望期望、方差与矩母函数将变得非常简单.

4.2.2 负二项随机变量的因子分解法 设X～NB(r,p),Y～NBi(r,p),这里r为正整数,0

X=X1+X2+…+Xr,Y=Y1+Y2+…+Yr.

(8)

由于X1与Y1的数学期望、方差与矩母函数分别为:

由(8)式有X～NB(r,p)与Y～NBi(r,p)的数学期望、方差与矩母函数分别为:

4.2.3 转换法 由定义5与定义6知道,如果X～NB(r,p),Y～NBi(r,p),r为正整数,0

X=Y+r,r=1,2,…,

所以有

E(X)=E(Y)+r,D(X)=D(Y),

MX(t)=ertMY(t),t≥0.

(9)

由(9)式知,在X～NB(r,p)与Y～NBi(r,p)两者中,只要知道其中一个的期望、方差与矩母函数,则另一个的期望、方差与矩母函数就可以通过(9)式求得.

例如,已有Y～NBi(r,p)的数学期望、方差与矩母函数分别为:

t≥0,qet<1,q=1-p,r为正整数,

则由(9)式有,X～NB(r,p)的数学期望、方差与矩母函数分别为:

同理,也可由X～NB(r,p)的数学期望、方差与矩母函数通过(9)式求出Y～NBi(r,p)的数学期望、方差与矩母函数.

上面的转换法还可以推广到更一般的情形,限于篇幅在此不再赘述.

5 例子

下面给出两个与负二项分布密切相关的例子.

例1设k,r为正整数,k

只需求X和Y的联合概率质量函数.

q=1-p;n=r-k+m,r-k+m+1,…;m=k,k+1,….

特别地,取k=1,r=2,则有

P(X=m,Y=n)=p2qn-2,

q=1-p;n=m+1,m+2,…,m=1,2,….

X的概率质量函数为:

即X～G(p).Y的概率质量函数为:

即Y～NB(2,p).

这就是文献[4]中的例3.3.1.

例2一个中等规模的运输公司,管理层在考虑雇员的来年投保问题时需要知道来年发生医疗索赔的人数超过4例的概率[1].

则所求概率为:

[1]BeanMA. 概率论及其在投资、保险、工程中的应用[M].英文版. 北京:机械工业出版社, 2003.

[2] 蒋仁言, 左明健. 可靠性模型与应用[M]. 北京:机械工业出版社,1999.

[3] 《数学百科全书》编译委员会. 数学百科全书 [M]. 第3卷. 北京:科学出版社,1997.

[4] 马统一, 康殿统, 李 劲. 经济应用数学-概率论与数理统计[M]. 北京:高等教育出版社,2004.

A study on structures of two kind negative binomial distributions

KANG Diantong

(School of Mathematics and Statistics, Hexi University, Zhangye, Gansu 734000)

Two different definitions of the negative binomial distributions were introduced and a structural theorem was presented for the negative binomial random variables. The infinite divisibility of two types of the negative binomial random variables was investigated. Also several simple calculating methods for calculating the expectations, variances and moment generating functions of these random variables were given. And two illustrative calculating examples were shown as well.

negative binomial distribution; Gamma distribution; moment generating function; Poisson process; mixture; infinite divisibility; factorization method

2014-09-10.

国家自然科学基金项目(41401653).

1000-1190(2015)03-0339-05

O211

A

*E-mail: kdt20042@126.com.