Ricci曲率,共轭半径和大体积增长
2015-03-21肖小峰陈欢欢
薛 琼, 肖小峰, 陈欢欢
(1.武汉理工大学 理学院, 武汉 430070;2.武汉纺织大学 机械工程与自动化学院, 武汉 430073)
薛 琼1*, 肖小峰2, 陈欢欢1
(1.武汉理工大学 理学院, 武汉 430070;2.武汉纺织大学 机械工程与自动化学院, 武汉 430073)
研究了一类具有非负Ricci曲率和大体积增长的完备非紧黎曼流形.证明了在共轭半径有正下界以及流形M上测地球与欧氏空间上单位球的体积增长相差不大的条件下,流形M微分同胚于Rn.该文将体积增长条件改进,推广了M.Do.Carmo和C.Xia的结果.
Ricci曲率; 大体积增长; 共轭半径; Excess函数
1 预备知识及引理
首先给出关于边的Ricci曲率的Toponogov型比较定理,这是临界点理论的基础.
应用Toponogov型比较定理, Shen在文献[10]中得到了推广的Excess估计,给出了一个上界.
定义1对任意p,q∈M,p,q的Excess函数定义为:
epq(x)=d(x,p)+d(x,q)-d(p,q),
其中,d(p,q)表示从p到q的距离.
若对任意的(k+1)维子空间V⊂TpM中的一组标准正交基{e1,…,ek+1},曲率张量R(x,y)z满足
其中,h=d(x,γ),s=min(d(p,x),d(q,x)).
记∑为p点处切空间TpM上单位球SpM的一个闭子集. 令
1999年, Xia结合推广的Bishop-Gromov体积比较定理,得到如下体积估计和函数估计.
引理3[6]设(M,g)是一个完备非紧的n(n≥2)维Riemann流形,满足RicM≥0,αM>0,则
引理4[7]设(M,g)是一个完备非紧的n(n≥2)维Riemann流形,满足RicM≥0,αM>0,则对任意的x∈∂B(p,r)和r>0,有
2 主要结果及其证明
证明因为critp≥r0,故B(p,r0)内没有异于p点的临界点.选取任意的x满足r=d(p,x)≥r0,只需要证明点x不是p点的临界点即可.
(1)
由于d(p*,q*)≤2ρ,可得到
(2)
结合(1)、(2)及定义1,有
(3)
再由引理2,注意min(d(p,x),d(q,x))≥r,可得
这时取σ1,σ2分别为从点x到p,q的极小测地线,由p*,q*的定义及三角不等式,得到
(4)
结合定理1,可证得下面的定理2,它明显优于Carmo和Xia在文献[5]中的结果.
(5)
则M微分同胚于Rn.
证明由定理1,取δ=δ(n,i0,r0,k)>0,并令
这时取定理2中的ε为ε=min{ε1,ε2}.
一方面,固定r≥r0,x∈∂B(p,r).由于hp(x)=d(x,Rp)≤r,结合引理4及条件(5),有
(6)
因此
(7)
(8)
(1+3hr-1)n≤1+3(2n-1)hr-1,
(9)
再根据(8)、(9),又可得
(10)
(11)
结合(10)及(11),有
故根据定理1知定理2结论成立.
定理2改进了文献[5]中大体积增长的指数,同样得到更强的M微分同胚于Rn的结果,推广了文献[5]的结论.
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Ricci curvature， conjugate radius and large volume growth
XUE Qiong1, XIAO Xiaofeng2, CHEN Huanhuan1
(1.School of Science, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070;2.School of Mechanical Engineering and Automation, Wuhan Textile University, Wuhan 430073)
In this paper， complete noncompact Riemannian manifolds with nonnegative Ricci curvature and large volume growth were studied. We prove that such a manifoldMisdiffeomorphictoaEuclideann-space Rnif its conjugate radius has positive lower bound and the volume growth of geodesic balls inMisnottoofarfromthatoftheballsinRn. We extended the result of M.Do.Carmo and C.Xia by improving volume growth conditions．
Ricci curvature； large volume growth； conjugate radius； Excess function
2014-10-20.
国家自然科学基金项目(11201357,11201358);中央高校基本科研业务费专项资金项目(2015IA010).
1000-1190(2015)03-0331-03
O186
A
*E-mail: 18986258401@189.cn.
