全空间上一类非齐次椭圆方程正解存在的必要条件

杨 芬, 胡 松

(武汉科技大学 理学院, 武汉 430065)



杨 芬*, 胡 松

(武汉科技大学 理学院, 武汉 430065)

讨论了非齐次椭圆偏微分方程

非齐次椭圆问题; 正解; 估计; 必要条件

本文讨论了非齐次椭圆方程

(1)

为了叙述方便,首先引入以下记号

λ1和λR分别是

和

的第一特征值且λR=λ1/R2.

关于非齐次偏微分方程,在文献[1-2]中,作者先后讨论了

(2)

本文讨论方程(1)正解存在的必要条件,正解不存在的充分条件,得到的主要结果如下:

定理1如果n/(n-2)≥q>1, 方程(1)没有解.

注1由定理1和定理2,若方程(1)有解,则较小的指数q>n/(n-2)且非齐次项f在无穷远处的衰减指数不大于-(2+mq). 即指数mq在存在性和非存在性中起主要作用.

1 辅助性结果

引理1假设Ω是Rn(n≥2)中的有界光滑区域,则不存在函数u∈C2(Ω)∩C1(Ω)满足以下不等式

这里,λ是-Δ算子在Ω上的第一特征值,其中,Dirichlet 边界条件为0.

注2引理1的证明见文献[2]中引理1.

定义1如果u∈C(Rn),

称为u的球面平均,其中,ωn是Rn中单位球的面积,dS是表面测度.

引理2对任意的m∈{mp,mq},方程(1)的任何解都满足下面的不等式

注4由引理1,应用文献[2]中引理2相同的方法可证,故证明省略.

2 必要条件

定理3如果u是方程(1)的解,则下面的等式成立:

证明如果u是方程(1)的解,对方程(1)取球面平均,即有

(3)

对(3)变形,得到

(4)

又

对(4)作从0到r的积分,得到

(5)

再对(5)作从r到R的积分,0

(6)

由Fubini定理,(6)可以变为:

因此

令r→∞,由单调收敛定理得到

(7)

而(7)式又等价于下面的等式

证毕.

由定理3和上面的引理,可以得到下面的较优估计.

定理4对任意m∈{mp,mq}和R>0,方程(1)的解满足下面的不等式估计:

(8)

(9)

而且

证明将引理2中的结果

应用于定理3中,即可得不等式(8)和(9). 在定理3中,令R→0,可以得到第1个等式.由第1个等式,可直接得到第2个等式.

注5方程(1)的任何解必须满足下面的积分条件

定理5如果u是方程(1)的解,则对任意m∈{mp,mq}和α∈[0,1),下面的估计成立

f)dSds=0.

(10)

对(10)式作从r到R的积分,0

由Fubini定理,交换积分顺序,得到

取d=n-2-αm,由计算直接可得

即

带入d=n-2-αm，即得定理5.证毕.

定理6如果u是方程(1)的解,则对任意m∈{mp,mq}和α∈[0,1),下面的估计成立

∀R>0，

(11)

而且

(12)

(13)

证明将引理2的结果代入定理5,即可得不等式(11). 定理5中令R→0,就可以得到不等式(12). 由不等式(12),可直接得到不等式(13).

注6方程(1)的任何正解满足下面的积分条件

其实,在没有更多的关于u在无穷远处的球面平均的已知条件下,这是关于up和uq的最好的积分条件,也就是说|x|的指数不能减至n-2-2/(p-1).

下面证明本文主要结果.

证明定理1取m=mq,假设方程有解,分两种情况用反证法证明.

1) 当n/(n-2)>q>1时,考虑定理2的第2个不等式

此时R的指数是负的,即n-2-m<0.令R→∞,得到

显然与假设矛盾.

2) 当n/(n-2)=q>1时,n-2-m=0,

从而

又存在常数C>0使得

定理7如果对某个m∈{mp,mq},在无穷远处有

f(x)≥C/|x|2+m,

则方程(1)没有解.

证明假设方程(1)有解,由定理6,非齐次项f必须满足下面的必要条件

由假设,当R>0充分大时,

即

直接计算可以得到

令α→1,

而这与假设矛盾.即定理7 证毕.

证明定理2定理2是定理7 的直接结果.

注7当p>q>1时,mp

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Necessary condition for the existence of positive solutions for an inhomogeneous elliptic equation in entire space

YANG Fen， HU Song

(College of Science， Wuhan University of Science and Technology， Wuhan 430065)

This paper discussed the necessary condition of the existence of positive solutions for the following elliptic problemΔu+up+uq+f(x)=0，x∈Rn．Necessary conditions and a priori estimates were obtained. Moreover， some sufficient conditions for the nonexistence of positive solutions were obtained．

inhomogeneous elliptic problem; positive solutions; estimation; necessary conditions

2014-09-26.

国家自然科学基金项目(10901126,11201355);湖北省教育厅基金项目(D20131108);国家教育部博士点基金项目(20134219120003).

1000-1190(2015)03-0327-04

Δu+up+uq+f(x)=0,x∈Rn

O175

A

*E-mail: yangfen@wust.edu.cn.

正解存在的必要条件.得到了一个较优的估计和正解存在的必要条件,从而得到解不存在的一些充分条件.