一个能量输运稳态模型弱解的存在性
2015-03-21董建伟周永卫
董建伟, 周永卫
(郑州航空工业管理学院 数理系, 郑州 450015)
一个能量输运稳态模型弱解的存在性
董建伟*, 周永卫
(郑州航空工业管理学院 数理系, 郑州 450015)
考虑一个简化的半导体能量输运稳态模型.在Dirichlet-Neumann混合边界条件下,利用截断方法和Leray-Schauder不动点定理得到了其模型弱解的存在性.研究结果表明,即使热导率与电子温度有关,如果欧姆联结部分的电子密度是正的,则半导体器件内部的电子密度也是正的.
能量输运模型; 稳态解; 存在性
1 主要结果
漂移-扩散模型、能量输运模型和流体动力学模型是描述亚微半导体器件中载流子运动规律的三大类宏观模型. 它们通过宏观量例如载流子密度、电流密度、载流子温度和电位势来描述半导体器件的宏观性质. 由于漂移-扩散模型未考虑热电子效应,在半导体器件的模拟中会给出不准确的结果,而完整的流体动力学模型形式过于复杂,不便于进行数值模拟,于是许多数学家和物理学家开始转向研究能量输运模型. 最近,Jungel等人考虑了一个简化的能量输运模型[1]:
nt-div((nθ)+nV)=0,
(1)
(2)
-λ2ΔV=n-C(x),x∈Ω,t>0,
(3)
其中,电子密度n、电子温度θ和电位势V为未知函数;μ(n,θ),θL(x)分别表示热导率与晶格温度;C(x)称为掺杂函数,用来描述掺杂物质正离子的密度结构;τ,λ>0分别表示能量弛豫时间和标度的德拜长度;Ω⊂Rd(d=1,2,3)为半导体器件所占据的有界区域.模型(1)～(3)可以从流体动力学方程组中出,详情见文献[1].
文献[1]在Dirichlet-Neumann混合边界条件下得到了模型(1)～(3)弱解的整体存在性,但由于技巧原因,他们所取的热导率μ(n,θ)仅仅依赖于电子密度n,这并不十分符合物理实际. 在半导体器件模型中,热导率不仅与电子密度有关,往往也与电子温度有关,例如文献[2-3]中都取热导率μ(n,θ)=nθ.
本文将在μ(n,θ)=nθ的情形下研究模型(1)～(3)的稳态方程组:
-div(θn)=div(n(θ+V)),
(4)
(5)
-λ2ΔV=n-C(x),x∈Ω.
(6)
假设区域Ω的边界∂Ω∈C0,1,∂Ω=ΓD∪ΓN,ΓD∩ΓN=ø,ΓN是闭集,ΓD的d-1维Lebesgue测度是正的,即measd-1ΓD>0.ΓD表示半导体器件的欧姆联结部分,ΓN表示绝缘边界部分. 于是,提出如下边界条件:
n=nD,θ=θD,V=VD,x∈ΓD,
(7)
n·ν=θ·ν=V·ν=0,x∈ΓN,
(8)
其中,ν表示∂Ω上的单位外法向量.
主要结果叙述如下:
注1Jungel等人还提出了一个带量子项的简化能量输运模型,关于这方面的研究结果可以参考文献[4-6].
2 结果的证明
由于(4)、(5)两个方程都是退化的,所以考虑如下截断问题:
-div(θm,Mn)=div(nk,K(θ+V)),
(9)
(10)
-λ2ΔV=nK-C(x),x∈Ω,
(11)
其中,
nK=max{0,min{K,n}},
nk,K=max{k,min{K,n}},
θm,M=max{m,min{M,θ}},
k,K,m,M的定义见定理1.
定理1的证明需要如下引理1:
引理1设定理1中的条件成立,且(n,θ,V)∈(H1(Ω))3是问题(9)～(11),(7),(8)的解,则
‖θ‖H1(Ω)≤C1,‖V‖H1(Ω)≤C2,‖n‖H1(Ω)≤C3,
且0
其中,|Ω|表示Ω的Lebesgue测度,所以存在常数C1>0,使‖θ‖H1(Ω)≤C1.
(12)
由带ε的Young不等式和Poincare不等式知
(13)
所以再由‖θ‖H1(Ω)≤C1及‖V‖H1(Ω)≤C2知,存在常数C3>0,使‖n‖H1(Ω)≤C3.
的唯一解,并设θ∈H1(Ω)是问题
的唯一解,其中,σ∈[0,1]. 则不动点算子
V0=VD,x∈ΓD,V0·ν=0,x∈ΓN,
θ0=σ0θD,x∈ΓD,θ0·ν=0,x∈ΓN,
-div(θ0m,M(θ0+V0)),x∈Ω,
n0=σ0nD,x∈ΓD,n0·ν=0,x∈ΓN
的解,所以T连续.从而由Leray-Schauder不动点定理知,问题(9)～(11),(7),(8)存在解(n,θ,V)∈(H1(Ω))3.又因为k≤n≤K,m≤θ≤M,所以nk,K=n,nK=n,θm,M=θ,从而问题(9)～(11),(7),(8)的解也是问题(4)～(8)的解. 证毕.
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Existence of weak solutions to a stationary energy-transport model
DONG Jianwei, ZHOU Yongwei
(Department of Mathematics and Physics, Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management, Zhengzhou 450015)
A simplified stationary energy-transport model for semiconductors is considered. Under the mixed Dirichlet-Neumann boundary conditions, the existence of weak solutions to the model is obtained by using the truncation method and the Leray-Schauder fixed-point theorem. It is shown that, although the thermal conductivity depends on the electron density, the electron density stays positive in the semiconductor device if it is positive on the parts of Ohmic contacts.
energy-transport model; stationary solution; existence
2014-09-19.
河南省科技厅基础与前沿技术研究计划项目 (132300410373);河南省教育厅科学技术研究重点项目(12A110024);郑州航空工业管理学院青年科研基金项目(2013111001).
1000-1190(2015)02-0179-03
O175.2
A
*E-mail: dongjianweiccm@163.com.
