服从于噪声的具有Allee效应捕食系统的模拟



服从于噪声的具有Allee效应捕食系统的模拟

胡 玉 彪1，向 俊 尤1，刘 少 波1，董 江 涛2

(包头师范学院，1.物理科学与技术学院，2.化学学院，内蒙古 包头 014030)

摘要：主要模拟了服从于噪声的具有Allee效应的食饵-捕食者模型，通过模拟得出噪声对存在Allee效应捕食系统的影响利害共存但都不可忽略，并且对种群突发事件的防控及拯救濒危物种提供了一种可能的理论依据。

关键词：Allee效应；食饵-捕食者模型；噪声

1引言

近代以来，随着自然环境的不断恶化，生物种群的生存发展面临重大威胁，因此对生物种群稳定性的研究渐成热点。在双种群捕食模型中，Lotka-Volterra捕食模型[1]、Holling针对不同类型的捕食者提出三种不同功能反应函数[2]和Allee效应[3]均是捕食种群模型研究领域中的重大成就。

1931年，Allee提出Allee效应，它主要表述种群密度分布的稀疏对其稳定发展的影响，因此Allee效应又称稀疏效应，也有学者称其为负竞争效应[4]。Taylor C M，Hastings A，袁月定[5-6]等人对于具有Allee效应的捕食模型均有研究，但并未考虑自然界中偶然发生的灾祸、气候的突变等等，物理学中将这些偶然发生的事件称为随机噪声。已经提出的模型中大部分是确定性的，也就是没有考虑随机因素对种群发展的影响，因为种群数目庞大，系统近似表现出稳定的统计学性质。但对于具有Allee效应的系统来说，种群数目越少则更容易受到稀疏效应的影响[7]，因此随机噪声的考虑是非常有必要的。

2模型的建立

王万雄等[8]给出食饵具有Allee效应时的食饵-捕食者模型如下：

(1)

其中x(t)、y(t)分别表示在t时刻食饵和捕食者种群的密度，a代表捕食系数，c是内禀增长率，d是捕食者的正常死亡率，e表示转化系数，K表示环境容纳量，m和b是Allee效应常量，其大小反应了Allee效应的强弱。

根据文献[8]作变换后系统转化为：

(2)

实际上考虑随机因素更能合理、精确反映种群动力学规律。但随机因素往往不可预测，物理上较合理的解释，把其都归结为外部环境的涨落所带来的影响，物理学通常把这样的影响用噪声描述，考虑噪声后的数学方程则构成了随机微分方程，上述模型改为：

(3)

其中ξx(t)、ξy(t)均是乘性高斯白噪声，具有零平均值〈ξx(t)=0〉、〈ξy(t)=0〉以及时间相关函数〈ξi(t)ξj(t')〉=2Dδ(t-t')δij，(i,j=x,y)，其它参数均与模型(2)一致。

3模拟过程

4模拟结果及讨论

模拟随机噪声强度为D=0.00001，步时长度Δt =0.0002，初始条件x0=5，y0=4，常数K=10，a=0.8，b=8，c=1，d=0.6，e=0.8。其模拟结果如下图：

图1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2

图3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图4

由上述4幅图可以看出食饵与捕食者的数目随时间均呈增长趋势，其中食饵的增长比较缓慢，但捕食者数目在一定时间后发生爆炸。图1、图2两图中m=0即不受Allee效应影响，原本食饵-捕食者系统容易达到平衡态，加入噪声后系统变得不在稳定。图3、图4中m=3表示食饵-捕食者种群系统中存在Allee效应，无噪声时达到平衡态需要的时间比不存在Allee效应长，加入噪声之后系统也变得不稳定。通过上述可以看出无论食饵-捕食者系统是否存在Allee效应，噪声对系统的影响都很大，这是因为一般研究Allee效应时的种群数目基数较小且分布不均(这也侧面体现出Allee效应对濒危物种影响很大)，这种情况下，噪声对食饵-捕食者系统的影响不可忽略。

无论存不存在Allee效应，受噪声影响下食饵与捕食者的数目随时间均呈增长趋势，原本趋于平衡的系统都不再稳定，噪声给捕食系统带来灾难。然而，从纵坐标单种群的数目来看，特别是对于濒危物种来说，种群数目增加可在一定程度上避免物种的消亡，这对生态自然环境物种多样性起到积极作用。另外，从图1、3对比和图2、4对比来看，噪声减缓了存在Allee效应的食饵-捕食者系统的种群数目爆炸，因此我们可以期待存在Allee效应的食饵-捕食者系统中，一定强度的噪声可使濒危物种的数目增加，但并非爆炸性的增涨，这是亟待解决的问题。

综上，可以看出在研究存在Allee效应的食饵-捕食者模型时，随机因素对系统的影响不可忽略。噪声不仅可以给种群带来灾难，也能带来益处，这也符合Mao Xuerong[11]的控制理论。模拟噪声可为种群防控灾难提供理论依据，特别是受Allee效应影响较大的濒危物种，因此这项课题研究不但具有理论意义，也具有现实意义。

〔参考文献〕

[1]陈兰荪,宋新宇,陆征一,等.数学生态学模型与研究方法[M].成都：四川科学技术出版社,2003.

[2]吴春光.一类捕食者-食饵种群动力学模型及数值模拟[D].北京：中央民族大学理学院，2009.

[3]Stephens P A, Sutherland W J, Freckleton R P.What Is the Allee Effect[J].Oikos,1999,87(1):185-190.

[4]Begon M, Mortimer M, Thompson D J.Population Ecology: A Unified Study of Animals and Plants[M].Oxford: Blackwell Scientific,1981.

[5]Taylor C M, Hastings A.Allee Effects in Biological Invasions[J].Ecology Letters,2005,(8):895-908.

[6]袁月定,黄义强.一类稀疏效应下食饵-捕食者的动力性质[J].宜春学院学报，2013,35(12):8-10.

[7]Asmussen, M A.The Allee Effect Density-Dependent Selection Ⅱ[J].The American Naturalist,1978,114(6):796-809.

[8]王万雄,赵灿省,张艳波.一类具有Allee效应的捕食系统的稳定性分析及模拟[J].数学的实践与认知,2013,43(20):245-249.

[9]包景东.经典和量子耗散系统的随机模拟方法[M].北京：科学出版社，2009.

[10]林振山.种群动力学[M].北京：科学出版社,2006.

[11]Mao Xuerong.Stochastic Stabilisation and Destabilisation[J].Systems Control Letters,1994,23(4):279-290.

Simulations of Predator-prey System with Allee Effect Subject to Noise

HU Yu-biao1,XIANG Jun-you1,LIU Shao-bo1,DONG Jiang-tao2

(1.Faculty of Physics and Technology, 2.Faculty of Chemistry,Baotou Teachers College, Baotou 014030)

Abstract:Predator-prey model With Allee effect subject to noise was simulated in this paper.By means of simulation, we prove the importance of noise in the model, and not only lead to disaster but also benefits.Simulation of subject to noise, its emergency prevention and control of population and save endangered species provides a possible theoretical basis.

Key words:Allee effect；Predator-prey model；Noise

中图分类号：O175.1

文献标识码：A

文章编号：1004-1869(2015)02-0005-03

作者简介：胡玉彪(1988-)，吉林省德惠市人，硕士研究生，研究方向：理论物理。

收稿日期：2014-11-04