常微分方程课程建设与教学改革

2015-03-20李文娟

赤峰学院学报·自然科学版 2015年11期

李文娟

（赤峰学院数学与统计学院，内蒙古赤峰 024000）

1 常微分方程的发展及其重要意义

常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一.早期对常微分方程的研究以求通解为主要内容，基本上是理论基础的建立.之后，人们发现不是所有方程的通解都可以用积分的手段求出的.由此将人们在求通解的研究中解放出来，转而开始了对常微分方程定解的深入研究，并取得了极大的成绩.在对常微分方程有了比较深入且广泛的研究之后，人们开始追逐常微分方程的解析理论.随着对常微分方程的解析理论取得了成果，在对常微分方程解的研究的日趋成熟，微分方程进入了定性和稳定理论研究阶段，并逐渐地演变成为一门理论性极强的数学学科.微分方程有深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力工具.常微分方程是数学的一个重要分支，是高校本科数学专业的一门基础课程，是学习偏微分、数学模型、控制论的基础.近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，常微分方程的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、管理、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，已经成为当代高新技术的重要组成部分.

2 赤峰学院常微分方程课程发展现状

近几十年来动力系统及非线性科学得到了迅猛发展,极大地促进了力学、物理学、生物、地理学、机械工程、通讯工程、电力工程和航空航天技术的发展.在新世纪里,我们需要造就一批在动力系统及非线性科学领域不断开拓前行、能够将这方面新理论新方法同工程实践相结合的人才.这将是新世纪理科数学人才培养的任务.这对动力系统及非线性科学起奠基性作用的课程“常微分方程”提出了新的要求.遗憾的是在新形势下对微分方程的教学改革略显黯淡，基于赤峰学院数学课程的教学实际和应用型人才培养模式，对微分方程教学进行了探索.近年来，本课程组在敖恩老师的带领下不断加强师资和教学条件的建设，努力搞好教学和教改工作，提高教学和科研水平.现在常微分方程课程已成为我院的“优秀课程”.本课程组在敖恩老师的带领下向“精品课程”的方向努力.

2.1 师资队伍状况

《常微分方程》课程组现有教师5名.副教授3名，讲师2名，博士研究生1名，课程组长多次被评为优秀教师.课程组成员能较好的运用计算机的各类软件来辅助教学.每名教师能开两门以上的课程.课程组的成员在核心刊物发表多篇论文，其中多篇被EI、SCI、美国数学评论检索.

2.2 教学条件

本课程组把全国统编的《常微分方程》教学大纲与本院的实际情况相结合形成自编的教学大纲.改编后的大纲既符合全国大纲的要求又能切合本校学生的实际情况.本课程组制定的教学计划是根据不同的培养目标（蒙本、汉本、计算机专业）制定不同的教学计划，并严格按照计划执行进度表，完成任务.教学手段采取板书与多媒体辅助教学.还有齐备的试题库、课后题解库、学习指导书等.

3 教学方法与教学模式的改革

3.1 构建模块式的教学模式

本课程组现用教材共六章内容.为照顾不同层次学生，确保教学质量，在新大纲要求下，主讲前四章对后两章进行泛讲.优化组合章节内容，各章节内容中有方法相同的或相似的内容，安排在一起，这样可以提高教学效果，节省教学学时.例如第三章一阶微分方程组与第四章n阶线性微分方程许多定理和公式可以共用的.（因为n阶线性微分方程是一阶微分方程组的特例）.因此把教学内容分成模块易于教学.基础模块:(模块一:初等积分法、模块二：基本定理、模块三：一阶微分方程组、模块四：n阶线性微分方程).拓展模块(模块五：定性简介与稳定性理论,模块六:一阶偏微分方程初步).基本模块面向全体学生，拓展模块面向对本课程特别感兴趣的学生.

3.2 整合教材内容

先进的基础教材能够使学生顺利地进入其后的现代专业理论的学习而进行前沿性研究.教材的先进性还必须体现在它有很好的可读性,要有清澈的理论,准确的语言,明晰的脉络,使全书显得简练、生动而明达,不感到冗繁而艰涩.合理选择教科书和参考书是搞好教学改革比较关键的一环.学生的创新意识首先是从主动查阅文献开始.根据我院学生的实际情况,以东北师范大学编写的《常微分方程》为教材,王高雄等编的《常微分方程》作为主要参考用书.本课程组认为,常微分方程课程以基础模块（模块一:初等积分法.模块二：基本定理.模块三：一阶微分方程组.模块四：n阶线性微分方程）为主要教学内容.对一些证明难度较大的定理,例如解对初值的连续依赖性和可微性定理,只介绍条件结论,不作证明.这是因为对我校学生而言这些定理的证明在学习上有一定的难度,即使详细讲解,教学效果也不理想.拓展模块(模块五：定性简介与稳定性理论,模块六:一阶偏微分方程初步)面向一些对本课程特别感兴趣的学生.

3.3 采用多样化教学方式,利用启发式师生互动教学

采用多样化教学方式，提高学生的学习积极性是提高教学质量的关键.自常微分方程立项为校级优秀课程以来，在教学方法上我们做了如下改革：板书与多媒体课件相结合.为体现该课程在理论方法与建模、计算机软件相互渗透，提高学生知识的运用能力，在学习第一章第八节时，结合我院数学软件Matlab的教学，在方程的求解与解的绘图时设计了一些上机习题.这种改革，即可以应用板书来解决数学推理时思维的“时滞现象”，也可应用多媒体更好地展示图形来研究解的性态.选择部分简单的教学内容，让学生在教师的指导下备课、讲课.由于我校是师范院校，将来会有一大批学生从事教学工作，所以他们的积极性会很高，反映良好.这样还可以提高他们的积极性，开发他们的分析思维能力.可以使学生由被动接受向主动好学转变.引导他们自己得出一些重要结论，提高学生分析问题和解决问题的能力.

3.4 教学科研相结合,学术前瞻

课程组既注重教学大纲的要求又注重与本学科相关的科研方向的结合,使学生通过这门课程的学习对学科的前沿知识有一定的了解.在教学的最后环节用少量的课时和学术讲座把第五章定性和稳定性理论简介及第六章一阶偏微分方程初步介绍给学生,使学生学到的知识具有学术前瞻性,留给学生一些探索与发展的空间.让课程的结束成为他们深入钻研的开始,吸引他们继续在这一领域前行.也为他们将来的考研或学术研究打好基础.

3.5 培养学生的创新意识数学建模是一种途径

随着全国大学生数学建模竞赛不断受到社会关注，常微分作为基础课程得到更广泛的应用.讲课时选取一些小的微分方程模型，如单摆方程、生态学中的生物种群模型等穿插在教学中，让学生从实际问题出发，建立微分方程，运用微分方程的知识解方程，并对发生的现象作出解释.例如在讲变量分离法时，可以让学生运用所学的微分方程建立马尔萨斯人口模型，并用变量分离法求解该模型，利用所得结果对人口的发展做一个预期的推测.还有物体的冷却问题:桌上一杯滚烫的水，什么时间后可以喝.类似这样一些简单的方程模型可以解决一些实际问题.引导学生建立各式各样的数学模型,并提出求解的思想和方法,获得具体问题的解,再反过来解释这些问题.这样不仅使学生感受到微分方程的魅力，还有助于提高学生解决实际问题的能力和培养学生的创新能力.

3.6 考核方式的改革

多数高校的考核方式如下：综合成绩=平时成绩30%+期末成绩70%或综合成绩=平时成绩40%+期末成绩60%.平时成绩包括课堂表现、迟到、早退、旷课、作业等.为了使学生平时就努力学习,不临考前突击应付考试,为了使考试能更加科学的反应学生的真实能力，为了使学生能更好的融会贯通所学的知识，需要在平时教学中做好阶段性测试，注意学生平时作业的表现.本课程组的考核方式如下：综合成绩=平时成绩30%+期中成绩35%+期末成绩35%.平时成绩包括迟到、早退、旷课、课堂表现、课外作业.(如学生迟到、早退、旷课、课堂表现不佳、课外作业不按时完成,则扣分.)这种考核方式的优势在实践中已初见端倪.