关于均匀带电球面上电场强度的求解

蔡莉莉 张晓燕

（华北科技学院基础部物理教研室，河北廊坊 065201）

关于均匀带电球面上电场强度的求解

蔡莉莉 张晓燕

（华北科技学院基础部物理教研室，河北廊坊 065201）

由于均匀带电球面上的电场强度无法用高斯定理求出，现行大部分大学物理基础教材在讨论均匀带电球面产生的场强分布时，只用高斯定理求出了该带电系统内外空间电场的分布，并没有给出球面上场强的计算方法，只是指出在球面上场强值不连续．文章利用叠加原理和电容器能量的变化两种方法分别导出了均匀带电球面上任一点的场强值，验证了均匀带电球面的场强是不连续的，两种方法思路截然不同，但得到的结果完全相同，该结果使得高斯定理求出的均匀带电球面在空间电场分布的结论更加完整．

均匀带电球面；高斯定理；电场强度；叠加原理；电容器能量

在静电学中求解电荷在空间激发的场强是静电场的基础，当电荷呈对称分布时其所激发的电场也呈对称分布，这时只要选取恰当的高斯面就较容易地求出场强分布［1］．例如求半径为R的均匀带电量为q的球面电场强度分布问题，用高斯定理不难求出球面内外的场强为

该结论没有给出球面上任一点（即r＝R）的电场强度，大部分大学物理教材中只是指出在球面上场强值不连续或有一突变［2，3］，但并未给出其具体值，这是由于球面上的场强既不能用两边取极限的办法求出，也无法用高斯定理求解．如果把球面本身作为高斯面就无法确定电荷是在面内还是在面外，由于电荷的面分布是一种理想化的电荷分布模型，实际的带电面总有一定的厚度［4］．对于理想化的均匀带电球面上的场强如何求解是初学者经常会提出的疑问，以下我们总结了求均匀带电球面上任一点场强的两种方法．

1 叠加原理求球面上一点的电场强度

关于球面上场强的求解最直接的方法就是用叠加原理通过积分的方法计算，即把均匀带电球面看作是由无限多个以场点与球心的连线为轴、半径不同的圆环带组成，应用均匀带电圆环轴线上的场强公式结论来计算，该法简单，也容易接受．

图1所示为一个半径为R的均匀带电球面，带电量为q，求解球面上任一点P点的场强．可将球面分割成无限多个半径不同的无限窄的环带，在球面上取如图所示的圆环带微元，该环带可近似看成是圆环，其环面垂直于轴线OP．所有带电圆环的场强在P点的叠加形成该点的总场强．其中球面的电荷面密度为

所取环带面积

环带所带电量为

将式（1）、式（2）代入式（3）得

根据带电圆环在其轴线上的场强公式的结论［5］

可得该圆环带在球面上P点产生的场强大小为

P点场强方向沿x轴正向，根据叠加原理，带电球面上P点的场强是所有这些带电环带在该点产生的场强dE的矢量和．因为各个小圆环产生的场强方向都相同，矢量和变为代数和，所以合场强为

根据图1中的几何关系可知

将式（4）、式（6）、式（7）代入式（5），得

2 用球形电容器的能量变化求解球面场强

利用叠加原理虽然容易理解，但是涉及积分的计算，计算量比较大，以下利用球形电容器能量的变化这一模型来计算球面上的电场强度大小．设想将球形电容器的外壳移动dR，根据能量守恒原理，外力克服静电力所做的功等于球形电容器静电势能的变化，从而求出球形电容器极板所受的静电场力，进而求出极板上的场强．设球形电容器内外球壳的电荷各为＋q和－q（如图2所示），球壳的内外半径分别为R1和R2，则球形电容器的电容可表示为［6］

由于两球壳之间的距离d＝R2－R1很小，因此R1≈R2＝R，则上式可化简为

电容器中电场储存的能量为［7］

式（9）代入式（10）得

根据能量守恒定律，当内球壳发生虚位移dR时，外力克服静电力F所做的功Fdr转化为电容器所储存的静电能，则有

3 结语

通过上述两种方法的计算，给出了半径为R均匀带电量为q的球面上任一点的电场强度的确定值，得出其具体表达式为，其值恰好等于从带电面外无限接近带电面时的电场强度与带电面内电场强度为零之和的一半，这也验证了均匀带电球面的场强是不连续的，场强在球面处确有一间断点．在教学中，可简要引入计算方法，便于加深学生对均匀带电球面产生电场规律的认识，同时启发学生的发散思维，纠正学生认为面上场强为零或为的错误认识，从而形成面内、面上、面外的整体认识．

［1］ 赵凯华，陈熙谋．电磁学［M］．北京：高等教育出版社，2003：24－25．

［2］ 梁灿彬，秦光戎，梁竹健．电磁学［M］．2版．北京：高等教育出版社，2004：21－22．

［3］ 张三慧．大学基础物理学：下册［M］．北京：清华大学出版社，2003：349－350．

［4］ 白俊彪．均匀带电球面上电场强度的计算［J］．思茅师范高等专科学校学报，2005，21（3）：79－80．

［5］ 吴百诗．大学物理：上册（第三次修订本）［M］．西安：西安交通大学出版社，2008：116．

［6］ 程守洙，江之永．普通物理学：第2册［M］．4版．北京：高等教育出版社，1995：273．

［7］ 刘景世．“均匀带电球面上的电场强度如何计算”的再讨论［J］．河南教育学院学报（自然科学版），2011，20（4）：32－33．

SOLUTION ABOUT ELECTRIC FIELD INTENSITY ON UNIFORM CHARGED SPHERICAL SURFACE

Cai Lili Zhang Xiaoyan

（Foundation Department，North China Institute of Science and Technology，Langfang，Hebei 065201）

Electric field intensity on uniform charged spherical surface cannot be calculated with the Gauss theorem．Most of the current college physics textbooks only show the distribution of electric field intensity inside and outside spherical surface with the Gauss theorem when the electric filed intensity produced by the uniform charged spherical surface are discussed．But how to calculate the electric field intensity on spherical surface is not provided，except pointing out that the intensity value is discontinuous on the spherical surface．This paper gives the specific numerical of electric field intensity on spherical surface using superposition principle and capacitor energy variety．It is also verified that the electric field intensity on uniform charged spherical surface is discontinuous．With completely two different methods，we obtain the exactly identical results，which makes the results solved by Gauss theorem on the spatial distribution of electric field intensity produced by uniform charged spherical surface more complete．

uniform charged spherical surface；Gauss theorem；electric field intensity；super－position principle；capacitor energy

2014－07－04

蔡莉莉，女，讲师，主要从事大学物理教学工作，研究方向为半导体物理．lily2004c＠163．com