不可忽略多次反射——对一种光子晶体阻波器的严格分析

徐 湛

（清华大学物理系，北京 100084）

不可忽略多次反射
——对一种光子晶体阻波器的严格分析

徐 湛

（清华大学物理系，北京 100084）

光子晶体是当前的热门研究课题和很有发展前途的应用领域．本文对光纤光栅作为特定波长激光的阻波器进行了仔细的研究，严格求解了达到最大反射率的光栅参数条件和总反射率对周期性介质层数的依赖关系．所应用的方法的关键是考虑电磁波场在介质交界处的连续性条件和求出传递矩阵．研究表明：只有把激光在介质交界处的多次反射完全计算在内，才能得到满足能量守恒定律的合理结果．令人欣慰的是，总反射率对介质层数的严格依赖关系是解析函数，它的反函数也是如此，这使我们能够在实际应用时比较容易地决定光纤光栅的各项参数．

光子晶体；光纤光栅；多次反射；连续性条件；传递矩阵

近年来，光子晶体（Photonic Crystal）成为光学和光子学（Photonics）中的热门研究课题和很有发展前途的应用领域［1，2］．

在通常的光纤中，激光是在一个有较高折射率的芯中传播，这个芯被较低折射率的介质层包围，由于全内反射的缘故，光的传播效率可以达到100%．然而，最近出现了控制激光传播的新方案，就是采用化学的或者力学的方法对介质进行修正，使介质的折射率在与光的波长可以相比的尺度上发生周期性的变化，因而其传输特性比较敏感地依赖于激光的波长．这与固体中的晶格结构类似，所以这类微结构化的材料被称为光子晶体．

光子晶体可以是一维、二维或三维的，作为一个初步的例子，我们来分析一种一维的光子晶体：光纤光栅．它的做法是以一条光纤为基体，但周期性地改变光纤材料的折射率．为分析方便起见，假设从某个地方开始，先插入第一个厚度为d2的改变层，然后保留一个厚度为d1的基体层，再插入第二个厚度为d2的改变层，再保留一个厚度为d1的基体层，如此不断地做下去，从第一个改变层开始到最后一个改变层（把中间的基体层也数进来）共有N层（N是奇数），光纤基体的折射率是n1，改变层的折射率是n2，真空波长为λ0的激光束从左方入射，如图1所示．

我们的问题是：能否利用这种光纤光栅增强对某个特定波长的激光的反射率，从而构成一种阻波器？光在传播过程中的能量损耗不计．

对于这个问题，目前通行的分析方法是：重复利用单一界面上的反射—透射公式，同时忽略多次反射，实际上，这个方法是不恰当的．我们的严格分析如下．

首先建立坐标系．把改变层开始插入的地点选为x＝0，x轴的正方向指向改变层，各个介质分界面的坐标依次为

其中，m＝1，2，…，（N－1）／2，折射率的空间变化情况是

参见图1．

在稳定状态下，各个区间里都同时存在着正向传播的光波和反向传播的光波，只有最右方的区间［xN，＋∞）中只存在正向光波．事实上，这些光波是无穷多次“反射－折射”过程合成的总结果．为处理方便起见，我们将采用场的复数形式．设激光的频率为ω，那么电场强度的大小（其正方向可以是与x轴垂直的任何方向）随时间和空间的变化为

其中，复常数Ei代表正向波的振幅；E′i代表反向波的振幅．并且

｜E0｜2正比于入射光的强度，可以任意给定，有实际意义的解是Ei，E′i对E0的比．d1和d2由“｜E′0／E0｜2达到最大”的要求来确定（因为我们想要最大限度地增强反射率），其他的Ei，E′i都应该由E0，n1，n2，d1，d2，N等通过介质界面的衔接条件来决定．根据电动力学，介质界面的衔接条件是

式（2）中的第一个式子表达了在正入射的情况下界面两侧的电场强度连续，第二个式子表达了界面两侧的磁场强度连续［3］．

下面分3种情况进行讨论．

1 只有一个界面（即被改变的介质延伸到右方无穷远）的情形

这时的方程组是

求解这个方程组即得熟知的结果

此后我们记

所以在只有一个界面时

而反射率R是

通常来说，n2和n1的差别是很小的，所以r和R≪1，这当然难以起到一个阻波器的作用．此外可以注意，当n2＞n1（被改变的介质相对于基体是光密介质）时r＝（E′0／E0）＜0，这表明反射光波和入射光波在入射面上是反相的．

2 N＝1的情形

这时只有两个界面，所以有4个方程，即

它们的解是

所以反射率是

R达到最大的条件是它对k2d2的导数＝0，结果是

取该方程的最小正根，得k2d2＝π／2，所以

λ2是被改变介质中的光的波长．这个结果也是熟知的，因为它恰好使直接穿过改变层和经过来回反射以后再穿过改变层的光波的电场强度达到反相位，产生相消干涉而减小了透射率，相应地增加了反射率．在上述条件下，E′0／E0成为

所以反射率成为

3 N任意大时的情形

首先，上面的分析对于厚度为d1的光纤基体层也适用，所以d1应该选为

下面的分析就始终在（8）式和（11）式的条件下进行．

其次，可以利用这个系统的空间周期性．它的一个基本空间周期如图2所示，图2表明：在第2m层介质（折射率为n1）中的正向、反向光波（E2m，E′2m），经过在介质交界面上的多次反射－折射过程，形成了第2（m＋1）层介质中的正向、反向光波（E2（m＋1），E′2（m＋1））．由于决定这个过程的方程都是线性的，所以（E2（m＋1），E′2（m＋1））一定是（E2m，E′2m）的线性函数，即有

上式中的2×2矩阵U称为“传递矩阵transfer matrix”，由下面的方程组来决定（厚度条件已经代入）

这个方程组的解是

因此传递矩阵是

反复应用式（11），我们就有

其中，（EN－1，E′N－1）正是最后一个被改变介质层左侧的正向、反向光波，因此服从前面对于N＝1的计算结果（参见式（8）），也就是

再把其中的（EN－1，E′N－1）用（E0，E′0）表出，就得到了任意N情况下的E′0／E0．把U（N－1）／2具体算出来，结果是

因此

代入前式解得

再注意n1／n2＝（1＋r）／（1－r），它又可表为

还可以写成

这就是对任何大于等于1的奇数N都适用的反射光波与入射光波电场强度之比的公式．当n2＞n1时r＜0，（1－r）＞（1＋r），α＜0，所以对任意的N都有（E′0／E0）＜0．最后，反射率的表达式为

这就是光纤光栅用做阻波器时反射率的严格结果．

下面对结果作进一步讨论．

（1）“忽略多次反射”的做法

当N＝1时，就是认为入射光波既可以在x＝0的介质交界面上发生直接反射，也可以先透射进改变层而被x＝d2的交界面反射再经x＝0的交界面透射回来，最终的反射波是这两个波的叠加．对每一次反射－透射过程，都利用单一界面的反射－透射公式．在d2＝λ2／4的选择下，这样的处理方法给出的结果是

然而，多次反射是实际上发生着的，也就是从x＝d2的交界面上反射回来的光波在x＝0处还可以再分成透射和反射两部分，反射的那部分再次发生类似的反射和透射，形成最终反射波的第三个叠加成分，如此不断地进行下去．把所有这些反射波的成分都叠加起来，得到的是

这与严格结果完全一致．当然，考虑到r2≪1，对于N＝1的情形，二者的差别是不大的．但是，若考虑任意大的层数N，忽略多次反射时得到的是因而反射率是

（2）我们算得的R对于任何有限大的N都小于1，满足能量守恒的要求，而

达到了完全反射，因而构成对波长为λ0的激光的完全阻波器．一个实际的例子是λ0＝1060nm，n1＝1．51，n2＝1．55；λ1＝175．5nm，λ2＝171．0nm，r＝－0．013 07，这时的R—N关系如图3中的曲线所示．我们发现，当N≥167时就可以达到R≥0．95，在实用上可以认为是完全阻波了．

反过来说，若R（＜1）是一个给定的预期反射率，如何求得一个N满足这个要求？这时公式（19）成为一个关于N的方程（对r＜0的情形）

由于arctanhy＝（1／2）ln［（1＋y）／（1－y）］，所以得到

更准确地说，N应该取大于等于这个值的奇数．这对于我们在实际应用中决定光纤光栅的各项参数是一个非常有用的结果．

作者感谢北京大学物理学院孟策副教授对有关计算的复核，以及浙江大学物理系赵道木教授提供参考文献［1］、文献［2］和光学数据．

［1］ Quimby R S，Photonics and Lasers—An Introduction［M］．New York：Wiley－Interscience Publication，John Wiley and Sons，Inc．，2006．

［2］ Ghatak A．Optics［M］．New York：McGraw－Hill Companies，Inc．，2010．

［3］ 郭硕鸿．电动力学［M］．3版．北京：高等教育出版社，2008．

MULTIPLE REFLECTIONS SHOULD NOT BE NEGLECTED—A RIGOROUS ANALYSIS OF A PHOTONIC CRYSTAL RESISTANCE FILTER

Xu Zhan
（Department of Physics，Tsinghua University，Beijing 100084）

Photonic crystal is a hot topic in current research and application field with promising development．This paper carefully studied how to use the fiber Bragg grating as a resistance filter of the laser wave for a particular wavelength．We strictly solved the grating parameters for the maximum reflectivity and the dependency of total reflectivity on the periodic dielectric layers．The key to our method is considering the continuity condition of electromagnetic field at the dielectric interfaces and calculating the transfer matrix．Studies show that only when the multiple reflections at the dielectric interfaces are counted completely，can we get the reasonable results to meet the law of energy conservation．It is comforting that the strict dependency of total reflectivity on dielectric layers is an analytic function，and so is its inverse function，which enables us to decide the parameters of fiber Bragg grating more easily in the practical applications．

photonic crystal；fiber Bragg grating；multiple reflections；continuity condition； transfer matrix

2014－12－25

徐湛，男，教授，主要从事物理科研和教学工作，研究方向为理论物理．zx－dmp＠tsinghua．edu．cn