3×n阶蛛网等效电阻猜想的证明

汤 华谭志中

（1运河高等师范学校，江苏邳州 221300；2南通大学理学院，江苏南通 226007）

3×n阶蛛网等效电阻猜想的证明

汤 华1谭志中2

（1运河高等师范学校，江苏邳州 221300；2南通大学理学院，江苏南通 226007）

本文应用基尔霍夫节点电流定律和回路电压定律，建立了3元矩阵方程模型，构造了矩阵变换方法，经过一系列严格的推导与计算，较好地证明了3×n阶蛛网等效电阻猜想的正确性，同时给出了3×n阶蛛网等效电阻公式．通过比较分析进一步给出了3×n阶蛛网在无限情形时的等效电阻公式，并且探讨了3×n阶蛛网等效电阻的单调性质．

3×n阶蛛网；猜想证明；基尔霍夫定律；等效电阻；矩阵方程模型

电阻网络模型的建立与研究已有一百多年历史［1］．1845年，德国物理学家基尔霍夫（1824—1887年）创立了节点电流定律和回路电压定律，自此，人类开始了对电阻网络模型的研究，并通过其解决许多抽象和复杂的科学问题［1－13］．目前，利用构建电阻网络模型进行模拟研究已成为解决一系列科学问题的基本方法［2－13］．对自然界中石墨烯网络的研究、一些金属化合物晶体或非金属晶体结构的研究、多铁性磁电材料结构的研究、富勒烯C60的结构及纳米碳管结构的研究［4］，等等，都可能需要通过构建电阻网络模型进行模拟研究．而复杂电阻网络等效电阻公式的获得则是一个跨学科的科学难题，不仅需要电路理论知识，而且需要数学理论与方法的创新［2－13］．因此，电阻网络模型的建立与研究不仅具有理论指导意义，而且具有很高的实际应用价值．

在平面电阻网络模型的研究中，根据不同的分类方法，可以将平面网络分为平面矩形网络［2－4］和平面多边形网络［4－8］，平面矩形网络的研究已经取得了不少成果，如文献［1－4］、文献［9－13］等的研究工作．一般平面多边形网络等效电阻的研究才刚刚开始．通常称图1为多边形电阻网络模型，文献［6］第一次对任意多边形电阻网络的等效电阻RAO（n）的公式实行了统一建构，取得了新的进展．随着对电阻网络研究的不断深入，文献［4］、文献［8］给出了m×n阶蛛网模型的定义．按照网格的数量来定义网络的阶数，通常称图1为最简单的1×n阶蛛网模型，而称图2的结构为3×n阶蛛网模型（又称有心蛛网模型）．该结构有3个相似的多边形，多边形的边数为n，多边形的角点与中心相连成蛛网结构，文献［8］在研究2×n阶蛛网等效电阻普适公式时提出了一个任意m×n阶蛛网模型的等效电阻猜想．

猜想：对于任意m×n阶蛛形网络，设多边形边上的单元电阻为r，半径上的单元电阻为r0，则m×n阶蛛网的等效电阻公式为

其中，m＝1，2，…，n＝0，1，2，…，并且

其中，h＝r／r0，coth（x）是双曲余切函数．

式（1）不仅形式优美与对称，而且是由（2k－1）π／（2m＋1）的三角函数表示的规律，是一个非常有趣的现象．本文拟初步证明猜想公式（1）在m＝3情形时的正确性，证明过程如下．

1 矩阵方程模型与电流规律

在图2所示的3×n阶电阻蛛网模型中，存在3个相似的多边形，设多边形的边数为n（n＝2，3，4，…），相应的角点数也为n．设3个多边形的所有边上的单元电阻值均为r，半径AkBk之间、BkCk之间和半径CkO之间的单元电阻值均为r0，研究计算Ak与O两节点间的等效电阻公式．为研究方便，记图2中的多边形的点顶为Ak（沿顺时针k＝1，2，3，…，n）和边上电阻为rk（k＝1，2，3，…，n）．

根据网络分析方法，设在电阻网络中通入恒定电流I，电流从A1输入至O输出．为便于研究，将图2的电阻网络重新表示成图3所示的含有电流参数及其方向的子电阻网络模型．记AkAk＋1之间、BkBk＋1之间、CkCk＋1之间的电阻r上通过的电流分别为Iak、Ibk、Ick（1≤k≤n），半径AkBk之间、BkCk之间、CkO之间的电阻r0上通过的电流分别为Ik、I′k、I″k（1≤k≤n）．

在图3中，应用基尔霍夫节点电流定律和回路电压定律可以得到一个三元矩阵方程模型［4］：

其中，r／r0＝h．如何求解矩阵方程（4）是解决问题的关键，若采用消元法，将使问题变得更加复杂．本文构造了矩阵变换方法，通过重新构建新的矩阵方程模型，给出了巧妙的间接求解方法．将式（4）左乘一个三阶待定矩阵A得

设待定矩阵A为

使得存在下列恒等式

将式（7）的左端和右端按照矩阵乘法展开，并且根据式（7）的矩阵左右对应项相等得到

其中，p1，p2，p3，q1，q2，q3，t1，t2，t3分别是关于p，q，t的方程的根（三次方程的根）．由式（8）～式（10）消元得到

根据文献［4］构造的倍幂方法，解一元三次方程式（11）得

所以由式（8）～式（12）解得

由此可以将矩阵方程式（4）转化成新的矩阵方程

其中约定

由矩阵方程式（16）得矩阵差分方程的特征方程

设关于x，y，z的方程的两组根分别为λ1，λ－1，λ2，λ－2，λ3，λ－3，解方程式（17）得到

其中，i＝1，2，3，式（18）即为方程（17）的三组特征根．

根据文献［4］、文献［9］建立的解二阶差分方程的方法，解差分方程式（15）得到

其中，k＝1，2，3，…，k≤n＋1．式（19）即为3×n阶电阻网络中的电流在任意网络元电阻上的分布规律．

2 边界电流的通用规律

当电流从A1输入至O输出时，边界电流关系如图4所示．由图4应用基尔霍夫节点电流定律和回路电压定律可得到关于边界电流的矩阵方程模型［4］

其中，h＝r／r0．

对式（20）进行矩阵变换，将式（20）左乘一个式（6）的已知矩阵A，得到

这里使用了ti＝λi＋λ－i（i＝1，2，3）．

根据图2、4的电路结构特点，由于多边形的顶点数为n，所以根据对称性与循环性分析，必然有In＋1＝I1，I′n＋1＝I′1，I″n＋1＝I″1，所以令式（19）中k＝n＋1得到

将式（21）代入式（22）化简解得

式（23）即为3×n阶蛛形网络的边界电流的通用公式．

3 等效电阻RAO（）n的通用公式

显然，要计算等效电阻RAO（）n就必须计算出初始电流值．根据式（16）得到

据此通过对式（25）中的逆矩阵计算能够得到（应用文献［10］中建立的理论）

式（26）由式（25）、式（11）及qi＝－1，p1＋p2＋p3＝1，＝5得到．

将式（23）、式（26）代入式（24）得

根据双曲余切函数的定义，由于λi·λ－i＝1，所以能够得到

所以式（27）可以重新写成

式（27）或式（29）即为A，O两节点间的等效电阻RAO（）n的通项表达式．该式对一切自然数n＝3，4，5，…均成立．此即证明了猜想公式（1）在m＝3时成立．

通过使用研究与计算机模拟研究，还可得到如下数据

根据这些实验数据不难发现：当h＝r／r0固定时，随着阶数n的增大等效电阻随之减小；当阶数n固定时，随着h＝r／r0的增大等效电阻随之增大．

以上这些数据验证了理论值与实验结论的完全一致．

4 具体讨论与比较

4.1 无穷蛛形网络的等效电阻

当n→∞时，定义图2为无穷3×n阶蛛网模型．其无穷蛛网的等效电阻可以由式（27）或式（29）取极限获得．因为＝1，所以＝1（i＝1，2，3），所以由式n（29）取极限获得

由以上结论可以看出，无穷3×n阶蛛网模型的等效电阻为有限常数，与特征方程（17）的根有关．

4.2 等效电阻RAO（）n的单调性质

其中，2≤n≤∞，RAO（2）由式（24）或实际电路计算得到，RAO（∞）由式（30）给出．

当h＝r／r0＝1时，RAO（∞）＝0．73666r，依据公式（29）用计算机绘制的RAO（n）随n的递变关系，如图5所示．从图5可以看出，当取n＞ 20时，发现RAO（n）→RAO（∞）≈0．7367r．所以当取n＞20时，可以近似地取RAO（∞）＝0．7367r．

5 结语

本文根据严格的理论计算，证明了3×n阶电阻蛛网在有限情形和无穷情形时的等效电阻公式，并且发现其等效电阻随阶数n的增大而递减．式（1）、式（30）不仅形式优美与对称，而且是由（2k－1）π／（2m＋1）的三角函数表示的规律，是一个非常有趣的现象．本文以m＝3为例初步证明了猜想公式（1）的正确性，但要完全证明该猜想还需要解决一些相关的数学问题，这是未来进一步研究的课题．

［1］ Kirchhoff G．Über die Auflösung der Gleichungen，auf welche man bei der untersuchung der linearen verteilung galvanischer Ströme geführt wird．Annalen für der Physik und der Chemie．1847：497－508．

［2］ 谭志中，罗达峰．4×n阶网络的2个等效电阻公式［J］．南通大学学报（自然科学版），2011，10（3）：87－94．

［3］ 汤华，谭志中．n阶网络任意节点的等效电阻研究［J］．大学物理，2012，31（11）：18－22．

［4］ 谭志中．电阻网络模型［M］．西安：西安电子科技大学出版社，2011：6－126．

［5］ 李建新，刘栓江．规则联接的多边形电阻网络的等效电阻研究［J］．大学物理，2008，27（11）：24－26．

［6］ 谭志中，陆建隆．多边形电阻网络等效电阻的统一建构［J］．河北师范大学学报（自然科学版），2011，35（2）：140－144．

［7］ 谭志中．加强型多边形电阻或电容网络的等效值研究［J］．大学物理，2011，30（12）：29－32．

［8］ 谭志中．2×n阶蛛网模型的等效电阻公式及两个猜想［J］．大学物理，2013，32（4）：16－27．［9］ 谭志中．二阶方阵N次幂的普适公式与应用［J］．南通大学学报（自然科学版），2012，11（1）：50－58．

［10］ 谭志中．关联电阻网络的一些三角恒等式［J］．南通大学学报（自然科学版），2013，12（1）：87－94．

［11］ Wu F Y．Theory of resistor networks：the two－point resistance［J］．J．Phys．A：Math．Gen．37（2004）6653－6673．

［12］ Gabelli J，Fève G，Berroir J－M，et al．Violation of Kirchhoff's laws for a coherent RC circuit［J］．Science 2006：499－502．

［13］ Osterberg P M，Inan A S．Impedance between adjacent nodes of infinite uniform D－dimensional resistive lattices［J］．American Journal of Physics 2004：972－973．

THE PROOF OF THE SUSPECT OF 3×n ORDER COBWEB EQUIVALENT RESISTANCE

Tang Hua1Tan Zhizhong2

（1Yunhe Normal College，Pizhou，Jiangsu 221300；2School of Science，Nantong University，Nantong，Jiangsu 226007）

Based on the application of Kirchhoff’s current law of nodes and the voltage of circuit，a three－degree matrix equation model was established，and the method of matrix transformation was constructed．Through a series of strict deduction and calculation，the suspect of 3×n order cobweb equivalent resistance was proved well in this paper．Meanwhile，the equivalent resistance formula of 3×norder cobweb was given．Then the equivalent resistance formula of 3×norder cobweb in infinite condition was given through further comparative analysis，and the monotone property of 3×norder cobweb equivalent resistance was discussed．

3×norder cobweb；proof of suspect；Kirchhoff’s law；equivalent resistance；ma－trix equation model

2014－02－14

江苏省“青蓝工程”资助．

汤华，女，副教授，主要从事理论物理研究与物理教学研究工作．tanghuaz＠126．com