核子中部分子分布函数的研究

徐仕磊，阮建红

（华东师范大学物理系，上海200241）

核子中部分子分布函数的研究

徐仕磊，阮建红

（华东师范大学物理系，上海200241）

通过对几个著名小组GJR，MSTW和CTEQ的领头阶部分子分布函数进行仔细分析和比较，包括分析在不同动量标度下它们的价夸克、海夸克和胶子的分布函数以及各种部分子所占有的质子总动量，发现在小x区域，不同研究小组的胶子和海夸克的分布函数差别非常明显，说明人们对它们的认识还远未清晰.通过计算分析高扭度效应对部分子分布函数的影响，发现遮蔽效应使小x和中x区域的扭度-4的胶子和海夸克的分布函数略小于扭度-2的分布函数，反遮蔽效应使x≥2区域的扭度-4的胶子和海夸克分布函数大于相应的扭度-2的分布函数.最后，从数值计算角度验证了MD-DGLAP演化方程是符合动量守恒定律的.

部分子分布函数；高扭度效应；演化方程

0引言

1911年卢瑟福（E.Rutherford）通过α粒子散射实验提出了原子的核式结构模型.从那以后，物理学家总是利用散射实验来研究物质的内部结构.1969年在SLAC上进行的电子-核子深度非弹性散射实验表明质子不是点状粒子，是有内部结构的.接着，费曼（R.Feynman）引入了部分子模型来描述高能散射过程中核子呈现的性质.此后，许多理论和实验小组致力于核子的部分子分布函数的研究，比如MSTW小组［1］、CTEQ小组［2］和GJR小组［3］等等.

部分子分布函数xfa（x,Q2），指的是当动量标度等于Q2时，在质子中找到动量分数为x的部分子a的几率.著名的DGLAP方程描写了部分子动力学的演化.分布函数xfa（x,Q2）中一个标度Q2满足DGLAP方程.目前，部分子分布函数不能通过微扰量子色动力学直接计算得到，换言之，它们是非微扰的.人们寄希望于格点量子色动力学能够直接计算得到部分子分布函数.幸运的是，部分子分布函数是普适的，人们可以通过拟合大量的深度非弹性散射和相关的硬散射的实验数据来得到它们.

根据目前的高能碰撞实验数据，我们不能肯定是否需要通过引入高扭度修正项来对DGLAP演化方程进行修正.但是，根据DGLAP方程的演化，小x区域的胶子分布会越来越大，最终会破坏散射截面的幺正性.为了处理这个问题，Gribov、Levin、Ryskin、Muller和Qiu提出了GLR-MQ演化方程［4-5］，将遮蔽效应引入到DGLAP演化方程中.然而，由于他们并没有考虑反遮蔽效应，GLR-MQ方程并不满足动量守恒定律.在时序微扰论的框架下，Zhu、Ruan等提出了MD-DGLAP演化方程［6-7］，这个方程同时考虑了遮蔽效应和反遮蔽效应.DGLAP演化方程是扭度-2的演化方程，我们把由DGLAP演化方程得到的部分子分布函数称为扭度-2的部分子分布函数.MD-DGLAP演化方程是考虑了扭度-4效应的演化方程，由它得到的部分子分布函数我们称为扭度-4的部分子分布函数.

本文是这样安排的：第1节，对GJR08，MSTW2008和CTEQ6研究小组领头阶的部分子分布函数进行详细的比较和分析；第2节，介绍考虑了高扭度效应的MD-DGLAP演化方程并对其高扭度效应进行计算和讨论；第3节，对质子的总动量在各种部分子之间的分配进行计算和分析；最后，对本文进行总结.

1不同研究小组的部分子分布函数的比较

部分子分布函数是通过对大量的深度非弹性散射和相关的硬散射的实验数据进行全局分析而得到的.全局分析的基本步骤如下：首先，选定某个初始标度Q，然后确定在该初始标度下部分子或部分子的组合的参数化形式.比如，GJR08采用的参数化形式为：xf（x,Q）=Nfxaf（1-x）b（1+Af+Bfx）.初始标度和部分子初始标度的参数化形式并不是一成不变的.但是，它们必须满足粒子数和动量的求和规则

质子中的部分子分布函数在计算一些物理可观测量时起着重要的作用.比如，散射过程的散射截面可以写成依赖于过程的硬矩阵元和普适的部分子分布函数的卷积.目前，GJR、MSTW和CTEQ小组提出的部分子初始标度的参数化形式为人们广泛采纳.其中，GJR08LO的参数化形式为［3］

图1和图2分别是动量标度Q2=2 GeV2和Q2=100 GeV2时GJR08LO、CTEQ6L1和MSTW2008LO的部分子分布函数.比较这两个图可以发现，3个小组的价夸克的分布函数基本一致，说明人们对核子中价夸克的认识已十分清楚.对于价夸克，人们对上价夸克的认识要更加清楚.当Q2=2 GeV2时，3个小组的胶子和海夸克的分布函数在大部分的x区域差别非常大，尤其在x≤10-4区域.随着Q2演化至100 Gev2，3个小组的胶子和海夸克的分布函数在x≤10-4区域基本是一样的，但在x≤10-4区域，还是存在比较明显的差别.例如，在x=10-6，Q2=2 GeV2时，MSTW2008LO的胶子分布是CTEQ6L1的12.77倍，是GJR08LO的2.54倍；而对于u夸克分布，MSTW2008LO是CTEQ6L1的1.27倍，是GJR08LO的2.82倍；对于s夸克分布，MSTW2008LO是CTEQ6L1的2.31倍，是GJR08LO的2.81倍.这说明人们对小x区域的胶子和海夸克的分布函数的认识还远未清晰.

虽然这3个小组在全局分析中所选用的实验大多是一样的，但其部分子分布函数仍有显著差别.主要有以下几个原因.首先，这3个小组对同一实验选取了不同的数据.例如，CTEQ6在全局分析中没有使用Q2≤4 GeV2的数据，且忽略了SLAC的实验数据和一些高Q2时H1的数据.第二，他们对实验数据误差的处理采取了不同的方法.第三，他们使用了不同的初始标度的参数化形式.此外，一些参数的取值（重整化标度Λ和夸克质量等）也稍有不同.

将来，当小x和低Q2区域的实验数据越来越精确的时候，人们对核子中的部分子分布的认识也将更正确.

2考虑高扭度效应的演化方程及分布函数

在时序微扰论的框架下，Zhu、Ruan等提出了MD-DGLAP演化方程，即对DGLAP演化方程进行了扭度-4的修正.这个方程同时考虑了遮蔽效应和反遮蔽效应，即高扭度效应包括遮蔽效应和反遮蔽效应.扭度-4的DGLAP演化方程的具体形式为［8］

在方程（4）中，xv（y,Q2）指某种味道的价夸克分布函数.

在方程（5）中，xs（x,Q2）指某种味道的海夸克分布函数.

在方程（6）中，xg（x,Q2）指胶子分布函数.

扭度-2和扭度-4的价夸克的DGLAP演化方程是一样的；而扭度-2和扭度-4的胶子和海夸克的DGLAP演化方程是不一样的.海夸克的扭度-4的演化方程和胶子的扭度-4的演化方程（（5）式和（6）式）中的最后两项是非线性项，即高扭度修正项.其中，“+”项代表反遮蔽效应项，“-”项代表遮蔽效应项.这两个方程的其它项则为线性项，它们是DGLAP演化方程的动力学项，换言之，它们是扭度-2部分的贡献.式（5）和式（6）中的参数K决定了高扭度修正的强度，可表示为

式（7）中R为质子半径的尺度，其大小约等于5 GeV-1.但是，如果核子中存在“热斑”效应，那么R≈2 GeV-1.在本文中，我们取R=4.5 GeV-1［8-9］.

为了定量研究高扭度修正的影响，我们使用GJR08LO的初始部分子分布函数，分别通过扭度-2和扭度-4的DGLAP演化方程来分别得到Q2＞Q时的扭度-2和扭度-4的部分子分布函数.为了更清楚地看到高扭度效应的影响，我们采用如下参数化形式

公式（8）中D（x,Q2）反映了高扭度效应的相对大小.图3呈现了动量标度Q2=2,100 GeV2时，D（x,Q2）与x的对应关系.图3中的第二个和第三个子图表明高扭度效应对价夸克分布函数没有影响，而对胶子和海夸克的分布函数的影响则十分大.在小x和中x区域，由于存在遮蔽效应，扭度-4部分子分布要略小于扭度-2部分子分布.但这种差别随着x的增大而减小.例如，动量标度Q2=2 GeV2时，x=10-5的扭度-4的胶子分布函数要比扭度-2的胶子分布函数小10.6%.而x=0.1的扭度-4的胶子分布函数只比扭度-2的胶子分布函数小0.5%.在大x区域（x大于0.2），由于存在反遮蔽效应，扭度-4部分子分布函数要略大于扭度-2部分子分布函数.

3核子中各部分子所占有的动量

本节中，我们将使用不同的部分子分布函数来分析质子的总动量在各种部分子之间是如何分配的.我们将味道数nf取为4，即不考虑底夸克和顶夸克的贡献.表1和表2列出了在动量标度Q2=2 GeV2、100 GeV2时，使用不同部分子分布函数计算得到的各种部分子携带的动量与质子总动量的比值.这些比值是通过计算积分R1x0xfa（x,Q2）dx而得到的.理论上x0应取为0，但是，在实际的计算过程中我们取x=10-8.例如，我们用MSTW2008LO算得在动量标度Q2=2 GeV2时，胶子、uv、dv、2u、2d和2s携带的动量与质子总动量的比值分别为40.86%、30.86%、6.36%、8.04%和2.30%.上面6个数的和略小于1，这是因为我们并没有呈现粲夸克携带的动量与质子总动量的比值.

从以上两个表格中我们可以发现胶子差不多携带着质子一半的动量.我们还可以发现，价夸克携带的动量与质子总动量的比值随着Q2的增加而减少.同时，胶子和海夸克的比值则随着Q2的增加而增加.换言之，随着Q2的演化，动量分数从价夸克转移到了胶子和海夸克上面去了.这种趋势对所有不同小组的部分子分布函数来说都是一样的.

在图4中，GJR08LO指用GJR08LO作为初始输入，根据DGLAP演化方程计算的结果，HT-GJR08LO指用GJR08LO作为初始输入，根据MD-DGLAP演化方程计算的结果.表格中HT-ZRS是指根据文献［8,10］中给出的初始分布及MD-DGLAP演化方程计算的结果.由表格可以看出，HT-ZRS的胶子携带较多的动量，而价夸克则携带着较少的动量.从图4我们可以发现通过GJR08LO和HT-GJR08LO计算的结果的差别十分小（小于1%）.这表明MDDGLAP演化方程是符合动量守恒定律的.虽然MD-DGLAP演化方程中存在非线性项，但是，在任意的动量标度Q2，不同种类的部分子携带的总动量并没有改变.

从表格和图5我们还发现使用不同小组的部分子分布函数MSTW2008LO，CTEQ6L1和GJR08LO计算得到的海夸克携带的质子动量的差别非常大.而价夸克和胶子的区别则十分小.例如，在动量标度Q2=100 GeV2时，与GJR08LO相比，CTEQ6L1的下夸克携带的动量分数要小19.9%，而上夸克和奇异夸克则分别要高8.0%和23.7%.结构函数数据的选择是导致这结果的主要原因.

总而言之，现有的实验还不能完全确定质子中各部分子动量的分布.随着结构函数的实验测量值越来越精确，将来，我们对质子的动量分布的认识也将更正确.

4结论

目前，GJR08LO、MSTW2008LO和CTEQ6L1部分子分布函数被大家广泛用来分析实验数据，但在低Q2和小x区域，差别非常大.这说明人们对该区域的核子的部分子分布的认识还不完善.此外，高扭度效应在小x区域不能忽略，它对胶子和海夸克的分布函数有明显影响.在小x和中x区域，遮蔽效应使扭度-4的部分子分布函数小于扭度-2的部分子分布函数；而在x≥0.2区域，反遮蔽效应使扭度-4的部分子分布函数略大于扭度-2的部分子分布函数.对质子总动量的分布进行分析，我们发现不同小组的分布函数计算得到的海夸克所占有的动量差别比较明显.此外，通过数值计算可知MD-DGLAP演化方程是符合动量守恒定律的.

［1］MARTIN A D，STIRLING W J，THORNE R S，et al.Parton distributions for the LHC［J］.European Physical Journal C，2009（63）：189-285.

［2］PUMPLIN J，STUMP D R，HUSTON J，et al.New generation of parton distributions with uncertainties from global QCD analysis［J］.Journal of High Energy Physics，2002，07（012）：1-47.

［3］GLUCK M，JIMENEZ-DELGADO P，REYA E.Dynamical parton distributions of the nucleon and very small-x physics［J］.European Physical Journal C，2008（53）：355-366.

［4］GRIBOV L V，LEVIN E M，RYSKIN M G.Semihard processes in QCD［J］.Physics Reports，1983（100）：1-150.

［5］MULLER A H，QIU J W.Gluon recombination and shadowing at small values of x［J］.Nuclear Physics B，1986（268）：427-452.

［6］ZHU W.A new approach to parton recombination in the evolution equations［J］.Nuclear Physics B，1999（551）：245-274.

［7］ZHU W，RUAN J H.A new modified Altarelli-Parisi evolution equation with parton recombination in proton［J］.Nuclear Physics B，1999（559）：378-392.

［8］RUAN J H，ZHU W.Prediction for unintegrated parton distributions［J］.Physical Review C，2009，80（045209）：1-13.

［9］杨东岩，阮建红.扭度-4效应对核子极化结构函数的影响［J］.华东师范大学学报：自然科学版，2009，01：128-136

［10］ZHU W，RUAN J H，YANG J F，et al.Contributions of gluon recombination to saturation phenomena［J］. Physical Review D，2003，68（094015）：1-11.

（责任编辑李艺）

Research on parton distributions in nucleon

XU Shi-lei，RUAN Jian-hong
（Department of Physics，East China Normal University，Shanghai200241，China）

We present the parton distributions at leading order（LO）coming from GJR，MSTW and CTEQ parton sets and compare them at different momentum scales.Obvious differences exist in their gluon and sea quark distributions at small x region.Itindicates that people have not known the nucleon parton distributions very well.We analysze the influence of higher twist effects，i.e.，the shadowing effects and anti-shadowing effects，on parton distributions.Because of the shadowing effects，the twist-4 gluon and sea quark distributions are smaller than the twist-2 distributions at small and middle x region，while，the anti-shadowing effects make the twist-4 gluon and sea quark distributions larger than the twist-2 distributions at x≥2 region.Finally，we present a detailed analysis of how the proton's momentum is shared among various parton flavors at different Q2for different parton sets.With the numerical calculation，we show that the MD-DGLAP equations are momentum conservation.

parton distributions；higher twist effect；evolution equation

O572.2

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2015.01.024

1000-5641（2015）01-0195-08

2014-04

国家自然科学基金（10875044）

徐仕磊，男，硕士研究生，研究方向为粒子物理.E-mail：shileixu1989@gmail.com.

阮建红，女，教授，研究方向为粒子物理.E-mail：jhruan@phy.ecnu.cn.