采菊东篱下 悠然见南山

郑日锋

如何进行高效复习，这是每一位高三数学教师需要探索的问题.每年高考总是在继承传统的同时适度创新，而且为后一年的高考提供一些有用的信息，我们若能把握高考命题的特点，制订高考复习策略，可以使复习更有效，正可谓“采菊东篱下，悠然见南山.”本文以2014年浙江省高考数学试题为例，谈一些体会与做法，供同行参考.

一、采菊东篱下——解读高考试题

笔者仔细认真地做了浙江省2014年高考数学试卷上的每个题，并且对整份试卷从双基考查情况、对学生的能力要求、试题的创新性等方面作了一些探讨，认为2014年浙江省高考数学试题主要有以下三个特点.

（一）入口宽  重思维

试题设计了较多的内涵丰富、入口宽、解题方法多的试题，这些充满思辨性试题突出了对考生思维品质的考查.

例1（理科卷第17题，文科卷第10题）如图1，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练. 已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是           .

此题在立体几何与三角函数知识的交汇处命题，是一道应用题，又是立体几何中的线面角的正切值的最值问题.

思路1  过P作PD⊥BC于点D，连结AD，则∠PAD=θ，在Rt△PDA中，tanθ=■=■·■.

在△ADC中，由正弦定理，得■=■=■sin∠DAC≤■.因此，当∠DAC=90°时，tanθ有最大值■.

思路2  过P作PD⊥BC于点D，连结AD，则∠PAD=θ，设CD=x，在△ADC中，由余弦定理，得AD=■，在Rt△PDA中，PD=■x.tanθ=■=■·■

=■·■≤■. 因此，当x=■时，tanθ有最大值■.

思路3  过点B作BQ⊥BC交CM于点Q，过点Q作QR∥AP与直线CA交于点R，则θ=∠PAD=∠QRB. tanθ=■，BQ为定值，当BR⊥AC时，BR最小，tanθ最大，最大值为■.

思路1利用转化思想，将求tanθ的最大值转化为求△ADC中两边长之比的最大值，转化为三角函数的最值;思路2先以CD为自变量，建立函数关系，然后求最值，由于函数的解析式比较复杂，需要进行合理的变形才能得出答案，过程相对较繁;思路3运用动静转换，通过平移，转化为点与直线上的点的距离的最小值问题，解题过程简洁明快.

类似的还有理科卷第8、9、10、13、15、16、20、21、22题，文科卷第9、15、17、22题等，这些题可以区分学生的思维能力，充分体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为考试目的的新课程观.

（二）背景熟  重通法

许多试题以学生熟知的某知识为背景，给学生以似曾相识的感觉，有利于学生思维的顺利展开.将数学思想方法作为考查的重点，突出通性通法.

例2（理科第22题）  已知函数f（x）=x3+3x-a（a∈R）.

（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）-m（a）.

（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4，对x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范围.

本题沿袭前两年的压轴题，以带绝对值的三次函数为载体，入手明显比往年还要容易些，考查导数的应用，及分析问题、解决问题的能力.第（Ⅰ）小题起点较高，第（Ⅱ）小题只需利用第（Ⅰ）小题的结论解决.

在解决问题的过程中，蕴含了特殊化思想，观察、归纳、转化、分类与整合等思想方法.

函数与方程、化归与转化思想、分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等数学思想及基本逻辑方法在试卷中均有很好地体现.全卷所有试题都可以用通性通法，规避了特殊技巧.

（三）立意新   重本质

编制立意新颖、而问题的解决所需的知识不多的试题，凸显数学本质.

例3  设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x-x2），f3（x）=■sin2πx，ai=■，i=0，1，2，…，99，记Ik=fk（a1）-fk（a0）+fk（a2）-fk（a1）+…+fk（a99）-fk（a98），k=1，2，3.则（   ）

A. I1

C. I1

此题是考查学生理性思维的极好题目，是集函数、数列、不等式于一身且方法开放的问题，又渗透了微积分中的分割思想，本题相当于把函数的定义域[0，1]进行99等分，因此它具有高等数学背景.

思路1  直接计算，利用图象结合函数的单调性，并利用数列求和的方法，可得I1=1，I2=2f2（a49）=■<1，I3=2[2f3（a25）-f3（a49）]=■（2sin■-sin■）>1. 故选B.

思路2  实质是求质点从起点（原点）出发，依次沿各自图象上的分点，跳动到终点，比较竖直方向上所走路程的和的大小问题，如图2，得I1=1，I2<2AB=1，I3≈4CD=■>1（其中A，C，F为各自图象上的最高点，故选B.

思路2是深刻理解本题的本质，利用几何意义给出的解答;而思路1利用按部就班的方法，需要大量的计算，并且要耐心细致，才能得到正确的答案.本题考查了学生创新的潜质，是今年试卷的最大亮点.

理科第5、8、10、14题，都是学习型问题，解题关键是对新定义的理解，及推理论证，体现了对考生学习潜能的考查.

二、悠然见南山——探寻复习策略

高考数学命题设计是从现实问题或几何背景出发，构造出素材朴实、内涵丰富的试题，充分体现数学的内在实质，试卷中的题目处处闪现着问题解决的智慧. 加强了概念、思维的考查，这种考查方式对于搞题海战术的学校是一种打击，而对我们的课堂教学起着很好的导向作用. 引导教师、学生避免将大量精力消耗在盲目地套用所谓的解题技巧的教学和学习上.

建构主义学习理论认为学习是根据自己的信念和价值观对客体或事件进行解释的过程，是一种主动地建构意义的过程. 知识是学习者在一定的社会文化背景下，借助他人的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式获得的.这启示我们，基于提升学生数学认知能力开展复习教学，进行知识、方法的重组，实现夯实基础、领悟思想（方法）、优化思维，从而使复习有效、高效.

（一）整合

归纳总结各主干知识块的问题特征、解题策略、易错点、解题的误区. 还可以编织各个条块内容的知识网络结构，按照知识、策略进行归纳，突出知识、策略间的联系及适用范围，这样做的目的是让知识、方法条理化、有序化、结构化，实现知识从厚到薄，达到“拎起来成条线，撒下来铺满地”的较高境界.如数列，可以按表1归纳.

表1

（二）突破

找准难点、重点及薄弱环节，进行有针对性的训练，切忌盲目操练，重复操练.对于不太熟悉的方法，需引导学生有意识地运用它尝试解决相关问题.

如解决解析几何中的变量范围问题是重点也是难点，要清晰解决这类问题的几种常见策略. 可以选择以下问题，供学生练习.

问题1   点P是抛物线C：y2=2x上的动点，点R，N在y轴上，圆（x-1）2+y2=1内切于△PRN，求△PRN的面积的最小值.

问题2   已知点A（-2，0），抛物线y=x2-4上存在两点B，C使AB⊥BC，求点C的横坐标的取值范围.

问题3   已知F1，F2分别为双曲线■-■=1（a>0，b>0）的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点F2到直线AF1的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ）

（A） （1，■）         （B） （1，■]

（C） （■，+∞）       （D） [■，+∞）

待学生尝试解决了三个问题后，归纳概括出解决解析几何中的变量范围（最值）问题的常见策略：一是建立目标函数，如例1，选择点P的横坐标x0（x0>2）为自变量，建立以△PRN的面积为因变量的函数，S=（x0-2）+■+4，再求函数的最值得Smin=8;二是先建立关于该变量的不等式，再解不等式，如例2，根据已知条件AB⊥BC，可得到关于B，C的横坐标x1，x2的关系式，此关系式可视为关于x1的一元二次方程■+（x2-2）x1-2x2+1=0，由判别式非负，便得到关于x2的不等式（x2-2）2-4（-2x2+1）≥0，解得x2≤-4或x2≥0;三是数形结合，如例3，不妨设A在第一象限内，考察直线AF1与双曲线位于第一、三象限的渐近线的位置关系，便得到关于a，b的不等式■<■，即■>1，从而得到离心率的范围为e>■.

三个问题，方法各异，需要根据问题特点，合理选择恰当的方法. 学生在方法的比较中领悟各种方法的本质，及适用的情境，从而实现突破瓶颈，以不变应万变.

（三）优化

培养学生对问题的一种分析的态度，一种探究的目光，对课堂上的某些问题适当加以延伸、推广等，并引导学生加以解决，这会使课堂教学充满生机和活力，有利于发展学生的思维能力.引导学会从不同角度思考问题，让生生互动、师生互动，引发思维的碰撞， 从而开拓思路，优化思维.

如向量问题是难点，向量具有代数、几何两重特性，大部分学生不知该从代数角度还是从几何角度考虑，怎样培养学生分析问题的能力尤其重要.笔者选择以下问题，供学生练习.

如图4，已知O为△ABC的外心，AB=2a，AC=■，∠BAC=120°，若■=x■+y■（x，y为实数），则x+y的最小值为           .

待学生解决了本题后，教师引导学生反思：解法是怎么想到的？解决本题的关键是将x，y分别用a表示，进而把x+y表示为a的函数，问题便不难解决.为此需建立关于x，y的方程组，一种方法是建立如图的坐标系，写出四点A，B，C，O的坐标，利用向量等式得到关于x，y的方程组;另一种方法是将向量等式两边分别与■，■作数量积，也得到关于x，y的方程组. 两种方法均得到x=■+■，y=■+■a2，x+y=■+■（a2+■），从而x+y的最小值为2.

哪种方法更简捷？前一种解法需写出线段AC的中垂线方程，与线段AB的中垂线方程联立解出点O的坐标，有一定的运算量;后一种方法是从几何视角出发，巧妙利用三角形的外心的特征及平面向量数量积的几何意义，解题过程简捷.

在平时教学中，教师有意识地选择一些有多种解法的典型问题，启发学生从多角度思考，比较方法的繁简.此外许多数学问题的解法不是唯一的，有些方法教师一时也会想不到，教师要营造课堂氛围，给学生思考问题的时间与空间，放下架子，倾听学生的一些想法，可以培养学生的思维能力，优化思维.期望学生在高考考场上能够解决新颖问题，并能用最简捷的方法解决，关键是平时需有意识地引导学生学会思考.endprint