梅花开二度 函数竞风流

卢会锋

“暗淡了刀光剑影，远去了鼓角铮鸣”，2013年的高考，2014年的高考，渐行渐远，却也留下了一个个熟悉的“面孔”，浙江两年高考的第17题给我们留下了深刻的印象.2015年的高考，又将马上来临，回顾过去，展望未来，如何发挥高考题的教学功能，把握复习的备考方向，提高数学解题教学功能，是我们努力的目标.在深化课程改革的大潮中，什么是数学课程永恒的主题？只有数学思想才能指导数学解题行动. 本文将通过两个题的分析，揭示函数等数学思想将是命题者“明察暗访”的对象. 链接我们的高考复习教学设计，数学思想从后台走向前台，渗透数学思想成为教师在复习中的行动指南，成为提升学生数学素养的关键.

一、2013、2014年浙江数学文理科第17题解法及分析

（1）设e1，e2为单位向量，非零向量b=xe1+ye2，x，y∈R，若e1，e2的夹角为■，则■的最大值等于________.

解法一：以向量的坐标表示和b公式为突破口，辅以变量化多为少的思想.

设e1=（1，0），e2=（■，■），则b=（x+■y，■y），所以b=■=■（*），于是■ =■，

当x=0时，■ =0，当x≠0时，■ =■=■.

故当■=-■时，■取得最大值为2.

评析：这个解法主要是利用向量的坐标运算，然后转化为求一元二次函数的最小值问题，思维能力要求不是很高，但是运算量比较大.

解法二：由方程思想，将*式表示成y2+■xy+x2-b2=0（一个方程，两个变量，依靠Δ解决）.

评析：这个解法主要是将模转化为向量的数量积运算，然后将问题转化为实系数方程有解的问题，用判别式的功能求得最大值问题.由于判别式中出现一个关于x，b的齐二次式，求■的最大值真是恰到好处.思维能力要求比较高，但是运算量比较少.

解法三：构造思想，由条件：e1，e2的夹角为■，构造e1·e2.并以消去y为思考基点.同时还要用到向量的三角不等式.由题b·e1=xe1·e1+ye1·e2=x+■y，b·e2=xe1·e2+ye2·e2=■x+y. 得■x=b·e1-■b·e2=b（e1-■e2），可以求得e1-■e2=■，所以■x=b·e1-■b·e2≤be1-■e2=■b，得■取得最大值为2.

评析：这个解法主要是利用数量积的运算的意义，将向量方程通过数量积转化二元一次方程， 通过方程的恒等变形和数量积的不等式放缩，得到最大值.理解向量的数量积的本质含义，就可以非常顺利地实现向量与实数间转化.

此外，也有用数形结合的思想和分类讨论思想解决等方法，此处不再赘述.

（2）如图1，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ仰角的最大值是_________（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）.

解法一：如图1，过点P作PH⊥BC，垂足为H，连结AH，则∠PAH=θ. ∵AB=15，AC=25，BC=20.设PH=t，  ∵∠BCM=30°，CH=■t，BH=20-■t，则tanθ=■=■=■，当t=■时，tanθ的最大值是■.

解法二：如图2，过点P作PH⊥BC，垂足为H，连结AH，则∠PAH=θ. 过点H作HE⊥AC，垂足为E，连结PE. 过点B作BF⊥AC，垂足为F，过点B作BQ⊥BC，交射线CM于点Q，连结QF，则∠PEH和∠QFB都是二面角M-AC-B的平面角φ. ∵AB=15，AC=25，∴BC=20. tanθ=■≤■=■=tanφ，即仰角的最大角就是二面角M-AC-B的平面角φ. ∵∠BCM=30°，∴QB=■. BF=12，则tanφ=■=■.

本解法利用二面角的性质，充分挖掘立体几何中的一些本质东西，避免了解法一复杂的代数运算.其解决的前提是对一些基本图形的深刻认识.

二、教学启示

（一）函数思想是解此二题最基本的数学思想

本文列举的多种解法可见，利用函数思想是解题的最一般思考. 特别是题目的关键词“求最大值”提示我们，此二题的常规思路是建立函数模型，确定定义域后求最值.可以说，函数思想是解此题的“根本大法”，相对来说，其他方法就显得有些“雕虫小技”了.但是当建立函数模型的过程中，出现如：tanθ=■=■怎么办？为什么要将t放到分母？这涉及平时教师的教学理念：教师的功在于“度”，要关注学生的“悟”.分子、分母都存在变量时，根据数学化多为少、化繁为简的原则，将t放到分母变量集中了，函数模型建立了！数学思想是数学的本质内容，我们的教学要重视数学思想的解题指导作用.

（二）重视基本图形的解题平台作用

2014年第17题包含以下基本图形. 宁波中学特级教师王晓明认为图3是一个重要图形.AB⊥平面OBH，BH⊥OH.基本结论：①cos∠AOB=■;②∠AOH<∠AHB. 此结论在人教版教科书上虽没明确提出，但是教师在阐述线面角是平面外直线与平面内直线所成角中最小角时必须推证的结论，否则就有重结论轻过程的嫌疑.

蔡上鹤先生认为：数学中的基本图形是数学的经典内容，数学教师要重视数学经典的传播.由此可见，若教师平时教学重视基本图形的积累，也给2014年第17题解决打开另一扇门，而且是极有创意的门，是学生创造性才能的集中体现.这符合《数学科考试说明》指出的“数学科考试——要考查中学的基础知识、基本技能的掌握程度，要考查对数学思想方法和数学本质的理解水平，要考查进入高等学校继续学习的潜能”.

（三）低起点、高立意实施复习教学的启示endprint

首先，坚持低起点、高立意实施复习教学，让学生系统掌握各种基本知识和基本方法，为综合运用打下坚实的基础;其次，在熟练掌握基本知识和方法的基础上，还要发挥数学思想作为联系知识与能力的桥梁作用.这正是《数学课程标准（实验）》目标明确指出的要使学生“获得必要的数学基础和基本技能，理解基本的数学技能、数学结论，体会其中所蕴含的数学思想和方法”.还特别提出实施建议：对一些核心概念和基本思想要贯穿中学数学教育的始终，帮助学生加深理解，如2013年第17题考查向量的模、向量的数量积等核心概念.本文两个题起点并不高，但所蕴含的数学思想方法是明显的，这也正是高考命题的意图. 以能力立意，加大对运算能力和思维能力的考查，同时渗透基本的数学思想的运用.为了提高高三复习效果，在以后的教学中应始终贯彻这一主题.

三、2015年高考函数模块的命题展望

（一）二次函数的考查可能成为“暗访”对象

2015、2016年浙江高考是17年深化课程改革的过渡阶段.此阶段的函数模块课程做了较大的调整. 相对于2013、2014年来说，删去了导数内容，导数内容只在自选模块考查，这样二次函数的地位就凸显出来了.2015年函数会怎么考？从2013年和2014年第17题出发，我们可以遐想，函数内容特别是二次函数内容，函数思想将是命题的重要角色. 我们相信，二次函数的考查绝不会“明查”，而是“暗访”，否则就谈不上高考与中考的区别了.

（二）函数成为压轴题的设想

2014年第17题再现函数的生活背景，是浙江省命题的一个新动向. 众所周知，浙江省单独命题以来，极少有函数应用题的出现. 数学命题组长金蒙伟老师也在多个场合表示，除非有很好的应用题背景，应用题才有可能成为高考题.可寻求一个好的生活背景谈何容易，这里既要考虑试题的公平性，又要有利于函数建模.由于数学的学习毕竟是为了应用，特别是弗兰登塔尔关于数学生活化的影响，以及高考试题的导向功能，高考试题甚至是压轴题，不能排除应用题，本文标题“梅花开二度”表明数学高考题的命制有承前启后的意图，2014年第17题的命题形式为2015年高考出函数应用题设下了伏笔.应用题复习时我们还需有备无患，而不能听天由命，要从提高建模意识和能力上下功夫.

（三）“对钩”函数存在的理由

2015年的高考复习正处于备战中，笔者正好任教2014、2015年的高三数学，感到学习内容少了，可学生学的要求提高了.二次函数的考查在2013、2014年高考中得以充分体现，可毕竟“孙悟空跳不开如来佛的手掌”，考查的内容、方式有限.这就给“对钩”函数的加入提供了可能，从一般化与特殊化思想的互为转化来看，“对钩”函数是均值不等式的更一般化问题的解决工具，而均值不等式是“对钩”函数的特殊情况而已.本文两题解法一的过程都极有可能转化到“对钩”函数的形式.endprint