基于渐变折射率透镜的配光研究

吴梦荧，李梅花，张　勇，徐昌龙

(浙江工业大学 理学院，浙江 杭州 310023)



基于渐变折射率透镜的配光研究

吴梦荧，李梅花，张勇，徐昌龙

(浙江工业大学 理学院，浙江 杭州 310023)

摘要：根据光线追迹方程，利用MATLAB软件实现点光源到渐变折射率透镜(GRIN透镜)，再到接收面的光线轨迹计算。该透镜的外观为规则圆柱，其内部折射率连续变化。用蒙特卡洛算法模拟LED朗伯点光源的出光特征；利用MATLAB软件对渐变折射率透镜中的光线进行光线追迹，观察LED光线穿过该透镜后在接收面上所呈的像；经过物理场仿真软件的仿真与验证，该算法的正确性与可靠性得到肯定。这些理论准备与工作为利用体透镜进行非成像光学设计提供了理论与实验基础。

关键词：渐变折射率光学；非成像光学；透镜；LED

渐变折射率光学(Gradient Index Optics，GRIN)是近几十年才发展起来的一门学科，但是早在一百年前，人们就认识到渐变折射率问题的存在，例如海市蜃楼[1]。20世纪70年代，首届渐变折射率光学会议在美国顺利闭幕，这种有影响力的高峰学术论坛推动GRIN在理论研究上与实际应用中迅速发展。20世纪80年代，专家学者们提出了几种在渐变折射率介质中实现光线追迹的方法。有人利用光波面的截距，有人利用平行于光轴的光线，还有人通过计算光程等方式来实现光线追迹。

GRIN光学是主要研究光在渐变折射率介质中传播，进而成像的一门学科，因而被广泛应用于光纤通信、显微成像等各种光学系统[2]。然而在非成像光学领域，利用GRIN对LED光源进行配光设计，实属先例。

1理论分析

1.1朗伯点光源的建立

在短波长近似下，引入波面和光线的概念[3-4]，光分布可以用几何光学加以描述。光线遵从几何光学定律[5]，通过一定接收截面dS的光通量dΦ与光线条数成正比，接收面上的照度为：

(1)

已知LED光源是一个近似朗伯体，为了方便计算，下述都选用朗伯点光源进行仿真。假定点光源的光通量为Φ，即朗伯光源的光线数量为N，任一方向上立体角dΩ内的能量分配为dΩ·dΦ/4π。采用蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，在已知几何光学中辐射通量正比于光线条数的情况下，通过随机抽样产生光线，这里随机抽样的光线与单位球面上均匀分布的随机点抽样相互对应[6]。

(0≤θ<2π,0≤θ≤π)

(2)

(3)

利用式3，可以构造蒙特卡洛算法。取(0, 1)上均匀分布的伪随机数r1、r2，则：

(4)

(5)

点光源符合朗伯定律，向某一方向的立体角dΩ内辐射的光通量满足：

dΦ∝cosθ·dΩ

(6)

式中，θ是光源表面上的法线与辐射方向之间的夹角。对式5随机抽样的光线分以权重cosθ。在距光源100 mm处设置1张200 mm×200 mm的接收面。随机抽样n条光线，进行光线追迹，在接收面上等间距地划分1张网格，统计到达网格单元中的光线条数，就可得到目标面上的照度分布。

利用TracePro和MATLAB软件得到接收面上的照度剖线图如图1所示。由图1可以看出，在200 mm×200 mm的接收面上，图1a和图1b的峰值都是30(照度标量)，且峰值半径都为120 mm。通过2种不同的仿真方式得到的结果非常相近，由此可以验证蒙特卡洛模拟方法的可行性。

图1　接收面上的照度剖线图

1.2光线追迹方程

渐变折射率介质内部的光线追迹方法有很多种，其中计算量相对少，精度相对高的是龙格库塔(Runge-Kutta)光线追迹法[7-8]。可以用光线方程来表述折射率任意分布介质中光线的路径：

(7)

式中，▽n是折射率梯度；s是光线传播路径上的弧长；r是光线矢径。将式7进行变形处理，令光线传播矢量为T=ndr/ds=dr/dt，其中引入1个参量dt=ds/n，则光线方程可写为：

(8)

式8中有3个分量，记为：

(9)

式中，R是光线传播路径上的点坐标；T是每个点的光线矢量；D是式8右端的项。经过推导可得：

(10)

(11)

式中，Δt=Δs/n；Δs是空间追迹步长；m是光线路径上点的标号。当已知光线初始条件R0、T0时，可以逐次进行追迹，直到完成整个追迹过程。

2软件仿真

选择1个底面半径为50 mm，高为20 mm的圆柱体透镜，内部折射率分布遵循下式：

(12)

式中，n0是圆柱底面中线连线上的折射率；α是折射率系数。经物理场仿真软件仿真后，透镜内部折射率分布如图2所示。

图2　透镜内部折射率分布图

在物理场仿真软件中观察光线轨迹，选择平行光，垂直于透镜底面入射，从另一底面出射，在后方设置一接收面，可以发现出射光先逐渐汇聚，当汇聚到一个定点后再发散，并在接收面上呈一个“十”字投影(见图3a)。此后，利用MATLAB算法实现平行光通过透镜在接收面上的投影。上述光线追迹方程只适用于连续变化的折射率介质，然而透镜的表面与空气接触，在接触面上，折射率是突变的；因此，需要在接触面上做折射处理。结果如图3b所示，接收面上成的像与物理仿真软件计算出来的结果一致，这就证明了上述光线追迹方法的正确性与可行性。

图3　平行光入射体透镜于接收面上的照度图

用LED朗伯点光源照射上述透镜，观察接收面上的光分布情况，结果如图4所示，一束光强按朗伯型分布的LED光源，经过1个圆柱状的GRIN透镜后，在接收面上形成1个方形光斑。这一特性可用于LED矩形配光。

图4　朗伯点光源在GRIN透镜下的成像

3结语

物理场仿真软件只能实现简单的平行光建模，且计算量大。本文提出的光学模型，利用MATLAB算法实现光源的模拟与光线追迹，可以减少计算量，且可以实现任意光源的仿真。

GRIN一般用于微波通信、成像元件设计，然而上述研究与分析为GRIN用于配光设计提供了可能。目前，渐变折射率光学用于配光设计方面的相关研究还很少，所以此项研究将具有创新性和开创性。GRIN透镜由于其特殊的渐变折射率分布可以改变光线的方向，在理论上可以达到理想的配光效果。在一个规则的几何体内就能够达到想要的光学效果，可以避免光学透镜曲面加工难的问题。相比于其他配光方法，利用体透镜进行配光，具有重要理论意义和实际意义。

参考文献

[1] 林中天. 变折射率光学的发展[J]. 光学精密工程, 1984(5): 48-53.

[2] 周素梅. 变折射率球透镜的研制及其光学特性的研究[D]. 重庆: 西南师范大学, 2003.

[3] JI.朗道, E.M.栗弗席兹. 场论[M]. 任朗,袁炳南,译. 北京: 人民出版社, 1978.

[4] M.玻恩, E.沃尔夫. 光学原理：上册[M]. 杨葭荪, 译. 北京: 科学出版社, 1978.

[5] 赵凯华, 钟锡华. 光学：上册[M]. 北京: 北京大学出版社, 1978.

[6] 黄德云, 任飞, 凌一品, 等. 光学照明系统设计中若干问题的研究[J]. 数学的实践与认识, 2003, 33(7): 102-107.

[7] 王润轩. 一种变折射率光学系统光线追迹的新方法[J]. 激光技术, 2004, 28(6): 664-666.

[8] 冯定华, 潘沙, 田正雨, 等. 任意折射率的三维离散空间光线追迹方法研究[J]. 光学学报, 2010 (3): 696-701.

责任编辑彭光宇

The Optics Research based on Gradient Index Lens

WU Mengying, LI Meihua, ZHANG Yong, XU Changlong

(College of Science, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310023, China)

Abstract：Based on the ray tracing equation, the traces of lights are simulated with a MATLAB program. All the lights are emitted from a point source, passed through GRIN lens and hit on the target surface. The lens are cylindrical, whose internal refractive index varies continuously. Simulate the Lambert LED pot light by Monte Carlo algorithm. Use MATLAB software to achieve light ray-tracing for the gradient index lens, then observe the image on receiver, which comes from LED rays through the lens to the receiving surface. The ray tracing method is verified by the simulation result from FEMLab software. These theoretical preparation and work proves a theoretical and experimental basis of the non-imaging optics lens design.

Key words:GRIN， non-imaging optics， lens， LED

收稿日期：2015-04-20

作者简介：吴梦荧(1989-)，女，硕士研究生，主要从事成像与非成像光学等方面的研究。

中图分类号：O 439；O 435

文献标志码:A