带对数和梯度项的反应扩散方程的整体解

李 凌，崔泽建

(西华师范大学数学与信息学院, 四川 南充 637009)



带对数和梯度项的反应扩散方程的整体解

李 凌，崔泽建

(西华师范大学数学与信息学院, 四川 南充 637009)

主要讨论一个带对数和梯度源项的拟线性反应扩散方程在非线性边界条件下解的整体存在性.通过辅助函数法和极大值原理，在对非线性函数f和初始值u0(x)给出一定限制条件后，得到了该方程的正解的整体存在性.

反应扩散方程；梯度项；整体解

1 引 言

近几十年来，很多学者对于拟线性反应扩散方程的解的整体存在性进行了大量研究([1-4])，而一些作者研究了带梯度项的反应扩散方程的整体解.其中[5]研究了带梯度项的初边值问题的整体解；[6-8]中研究了在Dirichlet初边值条件下的带梯度项的反应扩散方程的整体解的存在性；[9]研究了在Neumann初边值条件下的带梯度项的反应扩散方程的整体解.

本文主要是针对下面这个带对数和梯度源项的拟线性反应扩散方程在非线性边界条件下的初边值问题的整体解进行研究：

(1.1)

本文研究了形如(1.1)这样的问题.通过构造辅助函数φ(x，t)，运用极大值原理和对函数f和初始值u0给出一定的限制条件下，获得了整体解存在的充分条件.

在第二部分主要是给出了本文结论的证明的主要步骤，在第三部分给定函数f和初始值u0，举例说明此结论的应用.

2 主要内容

定理：若u是(1.1)的正解，假设u满足以下条件：

(2.1)

(2.2)

(2.3)

则(1.1)的正解u是整体解，且u(x，t)≤G-1(αt+G(u0(x)))

(2.4)

(2.5)

(2.6)

由(2.8)，(2.9)可得：

由(2.7)可得：

(2.11)

将(2.11)代入(2.10)得：

(2.12)

由(1.1)式可得：△u=[1+1n(u+1)]ut-f·1n(u+1)

(2.13)

将(2.13)代入(2.12)得：

(2.14)

由(2.6)可得：ut=-1n(u+1)φ+1n(u+1)α

(2.15)

将(2.15)代入(2.14)得：

(2.16)

由(2.1)和(2.2)可得(2.16)的等号右边是非正的，即：

(2.17)

(2.18)

(2.19)

(2.20)

由上式及(2.3)可知：u是整体解.因此，(2.20)意味着：

因此，u(x，t)≤G-1(αt+G(u0(x)))

证毕.

3 所给结果的运用

[1] QI Y W. Existence and Non-existence of Global Solutions of Diffusion Systems with Nonlinear Boundary Conditions[J], Proc.Roy.Soc.Edinburgh sect. 2004, A134:1199-1217.

[2] DING J T, GUO B Z. Blow-up and Global Existence for Nonlinear Parabolic Equations with Neumann Boundary Conditions[J],Comput.Math.Appl. 2010, 60:670-679.

[3] DENG K, LEVINE H A. The Role of Critical Exponents in Blow-up Theorems[J], J.Math.Anal.Appl. 2000, 243:85-126.

[4] GALAKTIONO V A, VAZQUEZ J L. The Problem of Blow-up in Nonlinear Parabolic Equeations[J], Discrete Contin.Dyn.Syst. 2002,8:399-433.

[5] PERB R P. Maximum Principles and Their Application[M], Academic Press,New York,1981.

[6] SOUPLET P, TAVACHI S, WEISSLER F B. Exact Self-similar Blow-up of Solutions of a Semilinear Parabolic Equation with a Nonlinear Gradient Term[J],Indiana Univ.Math.J. 1996,45:655-682.

[7] CHIPOT M,WEISSLER F B. Some Blow-up Results for a Nonlinear Parabolic Equation with a Gradient Term[J],SIAM.J.Math.Anal. 1989,20:886-907.

[8] FILA M. Remarks on Blow-up for a Nonlinear Parabolic Equation with a Gradient Term[J], Proc.Amer.Math. Soc. 1991,111:795-801.

[9] ZHANG L L. Blow-up of Solutions for a Class of Nonlinear Parabolic Equations[J],Z.Anal.Anwend, 2006,25: 479-486.

Global Existence Solution to A Reaction-Diffusion Equation with Logarithm and Gradient Term

LI Ling,CUI Ze-jian

(College of Mathematic and Information,China West Normal University,Nanchong,637009)

In this paper, we study the global existence solution to a reaction-diffusion equation with logarithm and gradient term. Based on suitable auxiliary functions and maximum principles, the sufficient conditions for the existence of a global solution and an upper estimate of the global solution are specified under some appropriate assumptions on the nonlinear system function, and initial value.

Reaction-diffusion equation, global solution, logarithm and gradient term

1673-5072(2015)01-0050-04

2014-09-30

李 凌(1988-)，女，四川宜宾人，西华师范大学数学与信息学院硕士研究生，主要从事偏微分方程研究。

崔泽建(1963-)，男，四川南充人，西华师范大学数学与信息学院教授，主要从事偏微分方程研究。

O175.26

A