幂指函数型不定式计算中学生应掌握的一个结论

石德刚，董春芳

(天津冶金职业技术学院，天津 300400)

幂指函数型不定式计算中学生应掌握的一个结论

石德刚，董春芳

(天津冶金职业技术学院，天津 300400)

确定幂指函数型不定式是研讨函数极限问题时经常遇到的问题，现今高等数学教材和参考书中对这一问题的处理，大都介绍先取对数再使用洛必达法则法计算幂指函数型不定式。但是由于幂指函数往往是由复合函数构成的，以至于幂指函数取对数后比较复杂，进而致使运用洛必达法则后所得的表达式更为复杂，从而导致学生计算幂指函数型不定式时经常出错.针对这一问题，笔者在三十多年的教学研究中，总结了一个在幂指函数型不定式的计算中起着重要作用的结论，奉献给读者并与读者分享。

幂指函数；不定式；极限；取对数；洛必达法则

一、用取对数法统一处理00型、0型、1型不定式

设函数f(x)>0，则函数[f(x)]g(x)=eg(x)lnf(x).

二、用等价无穷小或等价无穷大与取对数法统一处理00型、0型、1型不定式

因为无穷大的倒数是无穷小，所以等价无穷大具有与等价无穷小替换法则完全类似的等价无穷大替换法则.

(3)设f(x)与f1(x)是正值可导函数.若f(x)与f1(x)是x的同一变化过程中的等价无穷小或等价无穷大，则lnf(x)～lnf1(x).

(3)1型极限计算公式：若极限为1型不定式，则

证(1)((2)的证明完全类似)由f(x)～f1(x)、g(x)～g1(x)与等价无穷小替换法则及引理1(3)得

解 这是1型不定式，由1型极限计算公式得

解 这是1型不定式，由1型极限计算公式得

由例1—例6可以看出，计算幂指函数型不定式时，用本文给出的定理1，虽然可以极大地简化运用洛必达法则所带来的求导运算，甚至可以避免运用洛必达法则.但是也必须注意，对某些情形，也只能用取对数法计算幂指函数型不定式.

解 本题是由00型不定式构成的00型不定式，由取对数法得.

解 本题是由1型不定式构成的1型不定式，由取对数法得.

[1]冯翠莲.微积分学习辅导与解题方法[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]徐小湛.高等数学学习手册[M].北京：科学出版社，2005.

[3]同济大学数学系.高等数学(第六版)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4]毛纲源.高等数学解题方法技巧归纳(第2版)[M].武汉：华中科技大学出版社,2010.

[5]陈文灯.高等数学复习指导：思路、方法与技巧(第2版)[M]. 北京：清华大学出版社,2011.

A Conclusion Secondary School Students Should Master for Calculation of Power Function Infinitive

SHI De-gang, DONG Chun-fang

(TianjinMetallurgicalVocationalTechnicalCollege,Tianjin, 300400)

we often have to make sure the power function infinitive when discussing limit of function. To solve the problem, most advanced math textbooks and reference books guide students to take the logarithm first, and then use L’Hospital’s rule to calculate the power function infinitive. However, as power function is usually comprised of function of functions, it will be complex after taking the logarithm, and the expression gained after usage of L’Hospital’s rule will be more complex. As a result, students often make mistakes when calculating power function infinitive. To address the problem, the author summarizes a conclusion that will play an important role in calculation of power function infinitive to share with readers.

power function; infinitive; limit; take the logarithm; L’Hospital’s rule

2014-11-11

石德刚(1960-)，男，天津冶金职业技术学院副教授，数学教研室主任，大学本科、主要研究方向：高等数学教学研究；董春芳(1982-)，女，天津冶金职业技术学院讲师，硕士研究生，主要研究方向：高等数学教学研究。

O13

A

1673-582X(2015)02-0097-03