2015届高考数学理科模拟试题一
2015-03-10甘志国
甘志国
一、选择题（每题5分，共60分）
1.设集合A={x∈Rx+1≥2}，集合{-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（）.
A.{2}B.{1，2}
C.{0，1，2}D.{-1，0，1，2}
2.在复平面内，复数21-i-i3对应的点位于（）.
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
第3题图3.阅读程序框图，如果输出的函数值在区间[14，12]内，则输入的实数x的取值范围是（）.
A.（-∞，-2]
B.[-2，-1]
C.[-1，2]
D.[2，+∞）
4.若不等式组x≥0，
x+3y≥4，
3x+y≤4，所表示的平面区域被直线y=kx+43分为面积相等的两部分，则k=（）.
A.73B.37C.43D.34
5.在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形的面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为（）.
A.32B.02C.40D.025
6.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sn+2-Sn=36，则n=（）.
A.5B.6C.7D.8
7.6个人站成一排，其中甲、乙必须站在两端，且丙、丁相邻，则不同站法的种数为（）.
A.12B.18C.24D.36
8.若直线x=1+t
y=a-t（t为参数）被圆x=2+2cosα
y=2+2sinα（α为参数）所截得的弦长为22，则a=（）.
A.1或5B.-1或5
C.1或-5D.-1或-5
9.若0 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 10.如图所示，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则OB·OC的最大值是（）. A.2B.1+2C.πD.4 第10题图第11题图11.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=22，则下列结论中错误的是（）. A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCD C.三棱锥A—BEF的体积为定值 D.异面直线AE，BF所成的角为定值 12.对任意实数a，b定义运算“⊙”：a⊙b=b，a-b≥1， a，a-b<1，设f（x）=（x2-1）⊙（4+x）+k，若函数f（x）的图象与x轴恰有三个公共点，则k的取值范围是（）. A.（-2，1）B.[0，1] C.[-2，0）D.[-2，1） 二、填空题（每题4分，共16分；最后一题每空2分） 第13题图13.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积的最小值为. 14.若过抛物线y2=4x的焦点F的直线与该抛物线交于A，B两点，且AF=2，则BF=. 15.设A={（a，c）|0 16.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P是正方体棱上一点（不包括棱的端点），PA+PC1=m. ①若m=2，则满足条件的点P的个数为； ②若满足PA+PC1=m的点P的个数为6，则m的取值范围是. 三、解答题（前5题每题12分，最后1题14分） 17.在锐角△ABC中，a=2bsinA. （1）求B的大小； （2）求cosA+sinC. 第18题图18.“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话.活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在[10，20），[20，30），…，[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示. （1）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数； （2）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求[50，60）年龄段抽取的人数； （3）从按（2）中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望. 第19题图19.如图，四棱锥E—ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2. （1）求证：BD⊥平面ADE； （2）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值； （3）在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE，请说明理由. 20.已知函数f（x）=2alnx-x2+1. （1）若a>0，求函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值； （2）若f（x）≤0（x≥1）恒成立，求a的最大值. 21.已知椭圆x2a2+y2b2=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为63. （1）求椭圆方程； （2）斜率为k的直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，P为直线x=3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程.
22.（1）设数列{an}由a1=5，a2=23，an+2=5an+1-an（n∈N*）确定.
①求证an+1-5-212an是等比数列；
②求数列{an}的通项公式.
（2）若把无理数5+2122015写成小数，求其个位数字及十分位、百分位、千分位上的数字.
参考答案
1-12：BABAADCABACD
13.6+2314215.1+2ln2416.6，（3，5）
17.（1）由a=2bsinA及正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以sinB=12.再由△ABC为锐角三角形得B=π6.
（2）cosA+sinC=cosA+sin（π-π6-A）=cosA+sin（π6+A）=cosA+12cosA+32sinA=3sin（A+π3）.
由△ABC为锐角三角形知A的取值范围是π3，π2，进而可得cosA+sinC的取值范围为32，32.
18.（1）1-10×（0.020+0.025+0.015+0.005）=0.35，100×0.35=35，即随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数为35.
（2）100×0.15=15，100×0.05=5，所以5×820=2，即抽取的8人中[50，60）年龄段抽取的人数为2.
（3）X的所有可能取值为0，1，2.
P（X=0）=C36C38=514；P（X=1）=C12C26C38=1528；P（X=2）=C22C16C38=328.所以X的分布列为
X012P5141528328得X的数学期望为E（X）=0·514+1·1528+2·328=34.
19.（1）由BC⊥CD，BC=CD=2，可得BD=22.由EA⊥ED，且EA=ED=2，可得AD=22.
又AB=4，所以BD⊥AD.
又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，所以BD⊥平面ADE.
（2）如图建立空间直角坐标系D—xyz.
得D（0，0，0），B（0，22，0），C（-2，2，0），E（2，0，2），所以BE=（2，-22，2），DE=（2，0，2），DC=（-2，2，0）.
可求得平面CDE的一个法向量是n=（1，1，-1）.
设直线BE与平面CDE所成的角为α，得
sinα=|cos
即直线BE和平面CDE所成角的正弦值为23.
（3）设CF=λCE，λ∈[0，1]，得DC=（-2，2，0），CE=（22，-2，2），DB=（0，22，0），所以DF=DC+CF=DC+λCE=2（2λ-1，-λ+1，λ）.
设平面BEF一个法向量是m，可求得m=（1，0，-2λ-1λ）.若平面BEF⊥平面CDE，则m·n=0，即1+2λ-1λ=0，λ=13，λ∈[0，1].所以在线段CE上存在一点F使得平面BEF⊥平面CDE.
20.（1）f′（x）=2ax-2x=-2（x2-a）x，x>0.
①当a≤1，即0 所以函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（1）=0. ②当a>1，即a>1时，x在[1，+∞）上变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表 x1（1，a）a（a，+∞）f′（x）+0-f（x）0↗alna-a+1↘所以函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（a）=alna-a+1. 综上所述：当0 （2）当a≤0时，可证函数f（x）是减函数，所以函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（1）=0，即a≤0满足题设. 当0 当a>1时，由于f（x）在区间[1，a]上是增函数，所以f（a）>f（1）=0，即在区间[1，+∞）上存在x=a使得f（x）>0. 综上所述，a的最大值为1. 21.（1）依题意有c=2，ca=63，可得a2=6，b2=2.所以所求椭圆的方程为x26+y22=1. （2）直线l的方程为y=k（x-2）.联立方程组y=k（x-2）， x26+y22=1.消去y并整理得（3k2+1）x2-12k2x+12k2-6=0.设A（x1，y1），B（x2，y2），得x1+x2=12k23k2+1，x1x2=12k2-63k2+1，所以|AB|=1+k2|x1-x2|=26（k2+1）3k2+1. 设AB的中点为M（x0，y0），得x0=6k23k2+1，y0=-2k3k2+1.得直线MP的斜率为-1k，又xP=3，所以MP=1+1k2·x0-xP=k2+1k2·3（k2+1）（3k2+1）.当△ABP为正三角形时，|MP|=32|AB|，即k2+1k2·3（k2+1）（3k2+1）=32·26（k2+1）3k2+1.解得k=±1.即直线l的方程为x-y-2=0，或x+y-2=0. 22.（1）①对于任意的实数x（x≠5），有 an+2-xan+1=（5-x）an+1-15-xan， 令x=15-x，得x=5±212.所以，当x=5±212时，有an+2-xan+1=（5-x）（an+1-xan），进而可得{an+1-xan}是首项为23-5x、公比为5-x的等比数列，得欲证成立. ②由以上解答，得 an+1-5-212an=21+52125+212n-1=215+212n an+1-5+212an=21-52125-212n-1=-215-212n 解这个关于an+1、an的方程组，得 an=5+212n+5-212n （2）因为数列an由a1=5，a2=23，an+2=5an+1-an（n∈N*）确定，所以由数学归纳法可证数列an是递增数列且各项均是正整数. 又因为0<5-212<1，所以a2015是大于5+2122015的最小整数，即a2015=5+2122015+1（这里[a]表示实数a的整数部分）5+2122015的个位数字即5+2122015也即a2015-1被10除所得的余数.由于数列{an}由a1=5，a2=23，an+2=5an+1-an（n∈N*）确定，得{an}的各项被10除所得的余数依次是5，3，0，7，5，8，5，7，0，3，5，2，5，3，… 所以该数列是以12为周期的周期数列，又2015被12除所得的余数是11（因为2016是12的倍数），所以a2015被10除所得的余数即a11被10除所得的余数5，得5+2122015的个位数字是5-1=4. 因为0<5-212<14，所以0<5-2122015<142015<11000，0.999<1-5-2122015<1，即1-5-2122015=0.999…. 又a2015=5+2122015+5-2122015是正整数，所以5+2122015=（a2015-1）+1-5-2122015=（a2015-1）+0.999…，即5+2122015的个位数字是4，十分位、百分位、千分位上的数字均是9.
