有感于《绕来绕去的向量法》

倪丹红

最近看了张景中、彭翕成所著的《绕来绕去的向量法》.首先是这个书名吸引了我.为什么是绕来绕去的呢？看了前言才明白是怎么回事.书中主要介绍了回路法，适当选择回路，是向量解题的基本方法.这也是本书书名的由来.

前言的主要内容是五个例题，而这几个例题也是我们教师平时教学中比较常见的题目.每个例题都是先给出某些杂志的求解证明方法，后又给出利用回路法的简便之法，体现了向量回路解题的独特之处，会让人有种茅塞顿开的感觉，不愧为大师之手笔.

图1其中的例5就是人教A版教科书上的一个例题：如图1，在平行四边形ABCD中E和F分别为AD和CD的中点，连接BE和BF交AC于点R和T，求证：R和T分别为AC的三等分点.

书中原解：第一步，建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化成向量问题：设AB=a，AD=b，AR=r，AT=t，则AC=a+b.

第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：由于AR与AC共线，所以，我们设r=n（a+b），n∈R，又因为EB=AB-AE=a-12b，ER与EB共线，所以我们设ER=mEB=m（a-12b）.因为AR=AE+ER，所以r=12b+m（a-12b）.因此n（a+b）=12b+m（a-12b），即（n-m）a+（n+m-12）b=0.

由于向量a和b不共线，要使得上式为0，必须n-m=0，

n+m-12=0，解得n=m=13.所以AR=13AC，AT=23AC.

第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：AR=RT=TC.

其实这是一个初中生很容易解答的题目（易证△ATB∽△CTF，从而ATCT=ABCF=2），到了高中反而越来越复杂了.相比较而言，向量法则显得繁琐了很多.这样的证明给我们不少老师带来了疑惑，在教学中不知道如何很好地向学生解释课标中所谓的“向量法的先进性”.而利用本书中提到的回路法则非常简单，可证如下：

AT+TB=AB=DC=2FC=2FT+2TC.根据平面向量基本定理得AT=2TC，故点T为AC的三等分点.同理点R为AC的三等分点.

从这可看出，不是向量法本身有问题，而是没有正确使用向量法来解题.向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，这也是将向量引入中学教材的一个重要原因.

下面和大家一起来分享书中的几个简单例题，是关于我们平时教学中碰到的一类问题：根据题中已知条件，求参数值.

（书中P41例319）△ABC外接圆圆心为O，两条高交于H，OH=m（OA+OB+OC），求m.（2005年全国高考试题）

原解如图2，设D是BC中点，则OH=m（OA+OB+OC）=mOA+2mOD，所以OA+AH=mOA+2mOD，AH=（m-1）OA+2mOD；而AH·BC=（m-1）OA·BC+2mOD·BC=0，即0=（m-1）OA·BC+0，所以m=1.

这种解法没有错，但却走了弯路，当得到OA+AH=mOA+2mOD后，应该由平面向量基本定理立刻得出m=1.

解法三图6如图6，分别过点O作AC与AB的平行线交AB、AC的延长线于点F、E，则AFOE为平行四边形，取AC的中点D，由BC=27及正弦定理得到外接圆的半径AO=2321，则DO=533.在△DOE中，∠DEO=60°，则EO=103，DE=53，进而EOAB=56，得到EO=56AB，同理AE=43AC，所以AO=AE+EO=56AB+43AC，得到λ1=56，λ2=43，则λ1+λ2=136.

在此，相比较而言几何法比坐标法要方便.