竖向荷载下弹性支承直墙拱反弯点理论分析

韩永帅，周健南，金丰年，孔新立，范华林，2

（1.解放军理工大学 国防工程学院；爆炸冲击防灾减灾国家重点实验室，南京 210007；2.河海大学 力学与材料科学院，南京 210098）

拱结构是常用的结构形式之一，特别是在隧道、地下洞室中，由于其较好的传力路径、较高的受弯承载力，得到了广泛的应用。

学者们对不同支承形式、不同受力特点圆弧拱的力学性能开展了一系列深入的研究工作。夏桂云等［1］指出大曲率深拱中，剪切变形不可忽略，进而研究了考虑曲率、剪切变形的大曲率圆弧深拱平面弹性稳定性；杨永华等［2］给出了固支形式下圆弧拱弯扭屈曲荷载的理论解，指出径向均布荷载作用下，屈曲荷载随着圆心角的增大而逐渐减小；Plaut R.等［3］研究了拱脚转动约束的正弦拱在竖向均布荷载作用下的临界屈曲荷载，其转动约束的扭转刚度随支座的水平推力可线性变化；Bradford等［4］研究了水平弹性支承的轴压抛物线拱在竖向均布荷载作用下的稳定问题；杨洋等［5－6］用水平弹簧等效替代支承于其它构件上的拱脚支座约束，研究了钢拱的平面内极限承载力、弹性屈曲等；周健南等［7－8］针对不同拱结构形式，给出了动荷载动力系数的确定方法，从而推导出了不同荷载作用下拱形结构内力计算公式，并给出了不同荷载作用下震后结构抗动载能力评估方法。

在工程实践中，直墙拱应用广泛，陈海龙等［9］的试验研究表明，由于直墙不是完全刚性的，在竖向爆炸荷载作用下，直墙会产生侧向位移；李平［10］通过荷载－结构法和有限元法对圆拱直墙隧道结构进行计算，发现结构最大位移集中在拱圈位置。在这一类的直墙拱中，拱脚的支承形式不能简单假设为固支或者简支。传统结构力学方法计算时，拱脚按照固端无铰拱考虑，同时考虑拱脚位移的影响［11－12］，为此，可以假设拱脚处为转角约束、竖向约束以及水平弹性约束。目前，针对这类支承约束假设的研究较少，本文主要针对此种约束下，建立水平弹簧刚度的近似计算方法、理论分析不同受力形式下圆弧拱弯矩反弯点的分布规律，为直墙圆拱的合理设计提供依据，也为深入分析直墙圆拱的极限承载力与稳定性奠定基础。

1 圆弧拱内力计算

在直墙圆弧拱的受力分析中，主要关心圆弧拱部分的力学行为，为了简化计算，可以只取圆弧拱部分进行计算，将圆弧拱拱脚约束合理假设为转角约束、竖向约束以及水平弹性约束，如图1所示。

图1 结构简图Fig.1 The structure diagram

该结构为一等截面滑移弹簧支座圆弧拱，截面为b×h的矩形，拱的圆心角为2φ0，半径为R，分别承受竖向均布荷载、竖向三角形荷载和竖向集中力荷载作用。

结构为三次超静定对称结构，取其一半并应用力法［13］解其未知力，取消拱顶处转角约束、竖向约束和拱脚处水平弹簧约束，计算简图如图2所示。在对称荷载作用下，拱顶处的反对称未知力X3为零。竖向均布荷载、竖向三角形荷载和竖向集中力荷载作用下，结构基本体系如图3所示。

图2 计算简图Fig.2 The calculation diagram

力法方程为

图3 不同荷载作用下基本体系Fig.3 The basic system under the different loads

对于矢跨比较小的圆弧拱，剪力、轴力对结构变形的影响不能忽略，这里考虑弯矩、剪力、轴力共同作用，有

式中：k0为切应变截面形状系数。

由于水平弹簧（弹簧刚度为k）的影响，系数δ22＝δ22′＋δ22″＝δ22′＋1／k。

解力法方程，求出多余未知力

承受竖向均布荷载q的作用，任一点弯矩方程为

承受竖向三角形荷载q（x）的作用，任一点弯矩方程为：

承受竖向集中力荷载F的作用，任一点弯矩方程为

2 等效弹簧刚度计算

弹簧支座刚度为等效直墙的抗推刚度，取下端固支、上端允许水平位移的直墙计算等效弹簧支座刚度k，如图4所示。

图4 等效弹簧刚度计算简图Fig.4 The calculation diagram of equivalent spring stiffness

直墙高为L，截面同圆弧拱截面，材料相同，计算如下：

3 算例分析

3.1 算例

跨度一定时，不同圆心角的直墙拱结构形式，如图5所示。

图5 跨度一定时不同圆心角的直墙拱结构Fig.5 The straight wall arch structure of different central angle with certain span

3.2 弹簧刚度的影响

如上所述，弹簧刚度是等效直墙的抗推刚度，在直墙截面、材料参数不变的情况下，直墙高度l越小，等效刚度越大；当直墙高度l趋近于零时，等效刚度趋近于无穷大，此时拱脚相当于固支。不同直墙高度时，竖向均布荷载作用下，半圆拱（2φ0＝180°）沿弧长弯矩分布如图6所示。

图6 不同弹簧刚度时沿弧长弯矩分布图Fig.6 The moment distribution along the arc with different elastic stiffness

从图6可看出，不同的弹簧刚度（不同的直墙高度）对沿弧长弯矩分布有较大影响：当直墙较低时，抗推刚度较大，水平弹性约束较强，拱脚位移较小，趋向于拱脚固支（直墙高度为0）；当直墙较高时，水平弹性约束较弱，半圆拱的拱顶、拱脚弯矩异号，即沿弧长弯矩分布形式发生变化。

计算表明：直墙高度与圆拱半径比值L／R≤0.333 5时，半圆拱拱顶、拱脚弯矩与拱脚固支时拱顶、拱脚弯矩值相差均在10%以内，此时可以忽略弹簧刚度的影响；直墙高度与圆拱半径比值L／R≥0.469 4时，半圆拱拱顶、拱脚弯矩与拱脚固支时拱顶、拱脚弯矩值相差均超过20%，不可忽略弹簧刚度的影响；随着直墙高度与圆拱半径比值的增大，半圆拱拱顶、拱脚弯矩与拱脚固支时拱顶、拱脚弯矩值相差增大；当直墙高度与圆拱半径比值L／R≥0.901 9时，半圆拱的拱脚弯矩变为负值，拱顶与拱脚弯矩异号，弯矩分布形式发生改变。

3.3 不同荷载不同圆心角时沿x轴弯矩分布

圆弧拱圆心角 2φ0分别为 40°、80°、120°、160°时，分别承受竖向均布荷载、竖向三角形荷载和竖向集中力荷载的作用，其弯矩沿x轴分布如图7所示。

图7 不同荷载不同圆心角时沿x轴弯矩分布图Fig.7 The moment distribution along the x-axis with different central angles under different loads

3.4 拱脚弯矩为零时的圆心角

对于地下直墙拱结构，在地震、爆炸等动荷载作用下，结构可能因开裂而导致承载力降低，相关研究表明，拱结构拱脚处由于开裂，承载力将降低50%以上［7］。

因此，科学合理的结构设计应避免在拱脚位置出现弯曲拉应力而导致拱脚混凝土开裂。拱脚弯矩为零在结构设计中的重要工程应用价值和意义在于该位置不产生弯曲拉应力，可抑制拱脚混凝土开裂，确保拱脚截面的抗剪强度。

利用弯曲拉应力和轴向压力以及混凝土抗拉强度，建立拱脚的开裂准则［14］：

式中：σc为受拉边缘混凝土的应力；W0为受拉边缘的截面抵抗矩；A0为换算截面积；M为弯矩；N为轴力；ft为混凝土的抗拉强度。

当受拉侧弯矩M较小或者为零时，拉应力较小或者为负值，此时的σc远小于混凝土抗拉强度ft，截面不开裂，拱脚的抗剪承载能力不减弱。

当圆心角较小时，拱顶、拱脚弯矩异号；当圆心角较大时，拱顶、拱脚弯矩同号；所以对某一算例，存在一个圆心角角度，使拱脚弯矩为零。对于该算例，对应于竖向均布荷载、竖向三角形荷载和竖向集中力荷载，使得拱脚弯矩为零的圆心角分别为2φ0＝142°、2φ0＝131°、2φ0＝117°，其沿弧长弯矩分布如图8所示：

图8 拱脚弯矩为零时沿x轴弯矩分布图Fig.8 The moment distribution along the x-axis when the skewback moment is zero

3.5 讨论

由图7可以看出，拱顶处（x＝0）弯矩为正，内侧受拉；随着坐标x的增大，从拱顶向拱脚，沿弧长弯矩减小，直至为负，此时拱脚外侧受拉（如图7中圆心角2φ0＝40°、80°时），在弧长范围内存在一个反弯点，且正负弯矩的绝对值最大值相差较大，不利于结构承载；当圆心角2φ0继续增大时，拱脚弯矩又变为正值，即拱脚内侧受拉（如图7中圆心角2φ0＝160°时），在弧长范围内存在两个反弯点，且正负弯矩的绝对值最大值相差不大，有利于结构承载。

随着圆心角2φ0的变化，拱顶、拱脚弯矩从异号变为同号，所以存在一个圆心角角度，使得拱脚弯矩为零，这时能够避免拱脚混凝土截面因受拉而开裂，有利于保证截面的抗剪承载能力。由图8可以看出，对于不同的荷载形式，拱脚弯矩为零的圆心角各不相同，且对于竖向均布荷载、竖向三角形荷载和竖向集中力荷载，圆心角依次减小。

比较图7中同一荷载作用下不同圆心角（矢跨比）时弯矩最大值可以发现，圆心角较小（矢跨比较小）时，拱顶、拱脚处弯矩绝对值均较大；随着圆心角的增大（矢跨比增大），拱顶、拱脚处弯矩明显减小。另外，计算所得的使得拱脚弯矩为零的圆心角角度在120°附近或者120°与160°之间，而从图7可以看出圆心角为120°和160°时，弯矩沿弧长范围内变化不大，只在拱脚处有所不同。因此，拱结构跨度及所受荷载确定时，应尽量选取使得拱脚弯矩为零的圆心角角度，有利于提高结构抗弯承载力及拱脚抗剪承载力。

由于拱脚水平位移的存在，使得拱脚弯矩形式发生了变化，对圆弧拱的破坏形式有一定影响；选取合适的直墙高度，亦即合适的等效弹簧刚度，可以使得圆弧拱沿弧线最大正负弯矩大小相当，有利于结构承载。该结论对于工程建设中高边墙拱结构的合理设计具有重要的工程应用价值。

4 结论

1）假设拱脚有转角约束、竖向约束和水平弹性约束的情况，理论推导了弯矩、剪力、轴力共同作用下，圆弧拱沿弧长弯矩公式。

2）圆弧拱圆心角较小时，沿弧长范围内只存在一个反弯点，最大正负弯矩值相差较大；圆弧拱圆心角较大时，沿弧长范围内存在两个反弯点，最大正负弯矩值大小相当。

3）对于竖向均布荷载、竖向三角形荷载和竖向集中力荷载，使得拱脚弯矩为零的圆心角依次减小。

4）水平弹簧刚度对沿弧长弯矩分布有较大影响，在一定范围内随着弹簧刚度的减小，拱顶弯矩增大，拱脚弯矩减小。

5）选取合适的直墙高度和使得圆弧拱拱脚弯矩为零的圆心角大小，有利于提高结构抗弯承载力及拱脚抗剪承载力。

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（编辑胡 玲）