需求与库存量相关及学习曲线的退化性产品最优订购策略
2015-03-03龚存宇
陈 铓，龚存宇
(湖南工程学院 机械工程学院，湘潭 411101)
参 考 文 献
需求与库存量相关及学习曲线的退化性产品最优订购策略
陈 铓，龚存宇
(湖南工程学院 机械工程学院，湘潭 411101)
针对需求与库存量相关的退化性产品，假设退化率为常数而需求率为库存量的函数，考虑数量折扣与学习曲线，同时考虑了购买成本与时间和数量的关系，提出了有限计划期需求与库存相依的退化性产品库存模型.在不允许缺货、完全缺货待补、部分缺货待补且待补率与等待补货时间相关等三种情况下，以库存总成本最小化为研究目标提出了求解算法并进行了数值算例验证及敏感性分析.
退化性产品；需求与库存相依；数量折扣；学习曲线
0 引 言
传统EOQ库存模型往往忽略了退化性问题而假设产品是可以无限期储存的，但是现实生活中很多产品如生鲜食品、农产品、血液、胶卷、化学品等，在储存过程中会因为时间的因素而发生腐败、挥发或变质等退化性现象，因此近年来对退化性库存进行研究逐渐受到学者的重视.Giri[1]首先加入与时间呈线性关系的退化率函数，且假设在计划期内所有的订购周期都相等.Papachristos & Vrat[2]假设欠拨率为等候补货时间的负指数函数，建立了退化性产品库存模型.Wu & Liu[3]构建了需求率为单调线性函数且允许缺货的退化性产品库存模型，并假设退化率为常数.
传统 EOQ 库存模型中一般假设需求率为固定常数，或者是与时间相关而与库存量无关的参数，然而Levin et al.[4]指出对于库存量可能会影响到需求率的产品，对其库存控制问题的研究就需要考虑需求率与库存量之间的关系.张钦红等[5]针对退化性产品提出了生产率为常数、线性库存相依需求的经济生产批量模型.Khmelnitsky & Gerchak[6]发展出需求率与库存相依的库存模型，假设需求率是初始库存量的函数.Padmanabhan & Vrat[7]假设库存量与需求率相依，需求率为现有库存量的函数且产品的退化率服从指数分布，并在不允许缺货与允许缺货两种情况下建立了退化性产品EOQ 库存模型.何伟等[8]提出了需求率与库存水平相依的库存模型，其中假设需求率为任一时间点库存量的函数.与之类似，Baker & Urban[9]也建立了需求率与库存量相依的经济订购批量模型.Urban[10]回顾了库存量与需求率相依的研究文献，并对“需求与初始库存相依”以及“需求与瞬时库存相依”两种库存模型进行了比较.另外对于库存量与需求率的关系，最常见的假设是线性函数，如孙静春等[11]、Dye[12]、Wu et al.[13]、Chang et al.[14]等都建立了线性需求函数.
签于传统库存控制研究中对退化性产品的局限性，针对需求与库存量相关的情况，本文将假设退化率为常数而需求率为库存量的函数，并加入数量折扣和学习曲线的假设，建立退化性产品库存模型，以库存总成本最小化为研究目标确定最优补货次数，最优订购量、最优补货周期.
1 基本假设与符号定义
1.1 基本假设
(1)固定计划期退化性产品库存系统，补货率为无限大且前置时间为零.
(2)需求率为库存量的函数而库存量为时间的函数，其值恒正且为确定性需求.
(3)退化率λ为已知常数，0≤λ≤1，且商品退化后不允许修复.
(4)数量折扣方式采用两部定价规则(two-part tariff)，即零售商向制造商购买商品时须先支付一笔固定的费用f，随后再针对购买的商品收取单价Ct.
(5)假设学习曲线为线性关系，即订购单价会随着时间的增加而降低.购买成本是时间与数量的函数，即C(t,q)=f+(a+bt)q,f>0,α>0,b≤0且a,b,f为已知常数.
(6)允许缺货且部分缺货待补.缺货比例是与补货时间相关的函数，即B(x)=C/(1+δx)，其中0
1.2 符号定义
H：固定计划期.
n：计划期间内补货次数.
T：库存补充周期的长度，T=H/n.
q1：库存补充周期的最大库存量，即每周期的订购量.
C(t,q) ：单位产品购买成本.
K：订购成本.
h：单位时间单位库存的持有成本.
I(t) ：时间点t时的库存量.
TC：库存总成本.
Ib：周期缺货待补的数量.
2 模型建构
假设退化性产品库存系统在固定计划期H内有n次库存补货周期，每个库存补货周期都有相同的周期长度T.由于允许缺货且部分缺货待补，每个库存补充周期T可以用T1来分割正库存期间与负库存期间，而订购时间点为(j-1)T(j=1,2,…,n-1,n)，且最后一次订购之后的周期内不允许缺货.库存水平的变化情形如图1所示.
图1 部分缺货待补情况下，存货系统订购时贴及存货水准变化图
在[0,T1]内，库存量因为需求与产品的退化而减少.I1(t) 随着时间t变化如下式：
(1)
运用在时间点T1时I1(T) 的边界条件，求解上式如下：
(2)
现在对[T1,T]内在库存补充周期内时间t的缺货量进行分析.由于时间t并没有实际库存，所以此期间内不会发生退化的现象.当库存量降至零时允许缺货，但是在所有缺货的部分中只有B(x)比例的客户愿意等待补货，所以库存量的变化是由于产品的需求且缺货待补形成的，其随着时间t变化而变化的动态过程可以用下式表示：
(3)
运用在时间点T1时I2(T)的边界条件，求解上式如下：
(4)
将t=T带入式(4)，可以获得每周期中最大缺货待补的数量：
(5)
由于第1期的订购量不需要考虑负库存期间的需求量，所以订购量q1为：
(6)
从第2期到第n-1期中，每周期补充库存的订购量为周期内需求量与退化量之和，即q1加上负库存期间的缺货待补量Ib，所以订购量q2为：
δ(T-T1)]
(7)
在最后一个库存补充周期，由于不允许缺货，且正库存区间长度为T，所以订购量修正如下：
(8)
综合以上推导，各项库存成本推导如下：
(1)订购成本
在固定计划期H内，退化性产品库存系统总共会进行n次补货，因此总订购成本为：
(9)
(2)购买成本
(3)库存持有成本
第一个库存补充周期的持有成本为：
(11)
由于最后一个库存补充周期的持有时间为T，所以固定计划期H的总库存持有成本为前n-1期的库存持有成本加上最后一期的库存持有成本：
(12)
(4)缺货成本
由于最后一个库存补充周期不允许缺货，亦即实际上会发生缺货的周期数为n-1，所以周期内的总销售缺货成本：
δ(T-T1)]-ln[1+δ(T-t)]}dt=
(13)
(5)销售损失成本
由于最后一个库存补充周期不允许缺货，亦即会发生销售损失的周期数为n-1，所以周期内的总销售损失成本：
(14)
综合以上五点，退化性产品库存系统的总库存成本函数TC如下：
TC=n(K+f)+
(15)
3 模型求解
TC≈n(K+f)+α(n-
(16)
下面对求解最小值的必要与充分条件进行分析.首先，对库存成本函数TC分别做T1的一阶微分与二阶微分，以判定是否存在可以使库存成本函数最小化的最优正库存的时间点.
求解最小值的必要条件为令T1的一阶偏微分为零，经过化简可得 ：
(17)
需要指出的是对于T=H/n，由于n必须是正整数，其中T又会因n值的大小而有所影响，因此在小范围的期间内，我们可以采用枚举法求解最优补货次数、最优订购量、最优补货周期以及TC的最小值.
4 数值算例
本节对上文提出的退化性产品库存模型采用第3节的求解算法进行数值分析.设定初始值H= 10，K= 250，h= 0.5，λ=0.05，α=600，β= 0.1，f= 15，a= 5，b= -0.1，f= 15，s= 3.5，r= 10，C= 0.9，δ=0.02，将其带入退化性产品库存模型之后可以求得结果如表1所示.
表1 退化性库存模型成本表
从表 1 可以看出各项计算结果均符合最小值的充要条件，其中最优值为：最优补货次数n=11，最优库存补充周期T=0.909091，每周期开始的缺货时点T1=0.768754，服务水平η=84.56%，缺货待补率B(x)=0.897481，最小成本为 32532.8.补货次数与订购量之间的关系如表 2所示.
表2 补货次数与订购量之间的关系
在以上研究基础上分别对库存参数h，λ，s，r，C等进行敏感度分析，可以发现：①最优库存成本会随着订购成本K、库存持有成本h、退化率λ、缺货损失成本s、缺货损失成本r、缺货待补率δ等参数值的增加而增加，其中缺货待补率δ对成本影响极小.同时，库存成本会随缺货待补率C的增加而减少.②缺货待补率C对总库存成本的影响十分显著，特别是随着缺货待补率C的降低，缺货待补的比例也会随之快速下降，而缺货待补的比例降低正意味着有较高比例的销售损失.因此，在缺货待补率较低的情下，为了避免造成销售损失，应该增加总订购量以提高服务水平从而降低缺货比例.
5 结 论
本文探讨了有限计划期内产品具有固定退化特性且需求率与库存量相关的情况下，以总库存成本最小化为目标如何决策最优库存补充周期、再订购点的问题.通过研究可以发现完全缺货待补情况下总库存成本是最小的，然而现实交易中很多客户往往会选择部分缺货待补，对于这种情况，研究发现随着缺货待补比例的增加，总库存成本也会随之下降，所以经销商可以采用一些优惠措施来鼓励消费者采取等候补货的方式.另外，对于研究文献中常常忽略的购买成本与时间及数量变化之间的关系，研究发现在增加相关因素之后可以使经销商的总库存成本获得较明显的改善.在未来的研究中，由于本文采用固定退化率建立了退化性产品库存模型，为了与现实相适应，建议采用不同形式的随机分布来描述不同产品的退化特性.
参 考 文 献
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Optimal Degradation Items Inventory Policy with Stock-dependent Demand and Learning Curve
CHEN Mang, GONG Cun-yu
(College of Mechanical Engineering, Hunan Institute of Engineering , Xiangtan 411101,China)
For deteriorating items having demand rates that increase with inventory levels, the thesis presentes the deteriorating items inventory model with stock-dependent demand and learning curve over the finite planning horizon. In addition, the thesis also incorporates the effect of quantity discount and time factor of purchase cost with inventory decision making. No backorders, complete backlogged and partial backlogging are considered in the deteriorating items inventory model. And further, the backlogging rate is variable and dependent on the waiting time for the next replenishment. The thesis presents an algorithm in order to minimize the total inventory cost. Finally the thesis verifies and gives sensitivity analysis by numerical examples.
deteriorating items; stock-dependent demand; quantity discount; learning curve
2015-03-23
国家自然科学基金资助项目(71271220)；湖南工程学院科研基金(2014).
陈 铓(1970-)，男，讲师，博士，研究方向：物流库存理论、工业工程.
F253.4；TH166
A
1671-119X(2015)03-0027-05
