一类具有1∶－3共振奇点的复七次系统的可积性条件

桑 波

（聊城大学数学科学学院，山东 聊城252059）

1 研究背景

当线性孤立奇点是中心时，其非线性项的影响可使相图是非退化中心，或稳定焦点，或不稳定焦点，这类判定问题称为中心焦点问题.自1904年H.Dulac研究二次系统的中心判定以来，中心焦点问题受到一些学者的广泛关注.它对Arnold问题、可积性问题和Hilbert第16问题后半部分的解决都具有重要意义.N.N.Bautin完整解决了二次系统的中心焦点判定问题；K.S.Sibirskii解决了缺少二次项的三次系统的中心判定问题；A.P.Sadovskii和T.V.Shcheglova利用Cherkas方法解决了一类可约化为Liéard系统的三次系统的中心判定问题［1］.但对于一般三次及三次以上系统，目前还没有彻底的结论.

H.Zoladek将中心问题推广到具有p∶－q共振奇点的复多项式微分系统［2］

其中p，q∈N；（p，q）＝1；x，y，t∈C.而且

尽管对于p∶－q＝1∶－1，p∶－q＝1∶－2，p∶－q＝1∶－3，p∶－q＝2∶－3，p∶－q＝1∶－q等情形下的特殊多项式系统的可积性问题，已有大量的研究成果［3－10］，但对于高次多项式系统的可积性问题，仍需作进一步的研究.

对于系统（1），由文献［11］，可逐项确定形式幂级数

使得

其中Wn称为系统（1）在原点的第n阶广义奇点量，其计算方法见文献［12］.

引理1［13］系统（1）在原点可积的充要条件是该系统存在如（2）式的形式首次积分.

2 主要结果及其证明

考虑一类以原点为1∶－3共振奇点的复七次系统

通过计算，我们得到系统的前9阶广义奇点量W1，W2，…，W9.其中：

定理1 系统（4）在原点可积的充要条件是下列八组条件之一成立：

证明 必要性只需在次数反字典序tdeg （a3，b3，a2，b2，a1，b1）下，计算前9 阶广义奇 点量的Gröbner基［14］

然后使用无特征集法对多项式组G 进行完全零点分解，便得到定理中的8组系数条件.

充分性 条件（1）成立时，系统（4）化为

当vn－6（x），vn－3（x）取定时，上述递推公式是关于未知函数vn（y）的一阶线性方程.令v－5（x）＝v－4（x）＝…＝v0（x）＝0，通过逐项求解，我们依次得到

然后通过数学归纳法和递推公式，不难证明vn（x）是次数为3n 的多项式.因此系统（5）具有形式首次积分，由引理1，系统是可积的.

当条件（2）成立时，系统（4）变为

当条件（3）成立时，系统（4）变为

令v－5（x）＝v－4（x）＝…＝v0（x）＝0，通过逐项求解，我们依次得到

当条件（4）成立时，系统（4）变为

当条件（5）成立时，系统（4）变为

当条件（6）成立时，系统（4）变为

当条件（7）成立时，系统（4）变为

当条件（8）成立时，系统（4）变为

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