有限时间内需求是时间函数的信用期和现金折扣选择情况下的变质品库存模型

雍鑫

（四川大学华西医院，四川 成都 610041）

有限时间内需求是时间函数的信用期和现金折扣选择情况下的变质品库存模型

雍鑫

（四川大学华西医院，四川 成都 610041）

研究了需求是时间函数、计划期有限的情况下，供应商给购买商与订货量的大小相关的信用期或者现金折扣选择的变质品库存策略，建立了相应的库存模型，并给出了该模型的求解方法和数值算例。

需求；时间；变质品；信用期；现金折扣；库存模型

1 引言

科学的库存管理不但能有效的降低库存成本、加速资金周转，更能有效避免超储或缺货等现象的发生，及时和准确地满足顾客需求，提高顾客满意度，提升企业竞争力。在库存策略的研究中发现：供应商为了吸引购买商往往会给购买商一个延期付款的优惠，即通常说的信用期。购买商能在信用期内利用收益赚取利息，这给购买商带来了收益，也影响了购买商的订货策略。Goyal[1]首次研究了允许延期付款的单一物品的经济订货批量（EOQ）模型，其后众多学者对该模型进行了补充和发展。Aggarwal和Jaggi[2]提出了延期付款的易变质商品的最优补货策略；Chang[3]采用贴现现金流的方法分析了与不同订货量相关的信用期和现金折扣策略选择的变质商品库存模型。

这些库存模型都是假设库存系统的时间是无限的，这与实际情况存在差异。同时上述模型都分析的是给购买时信用期或者现金折扣，没有考虑给购买商信用期的同时给购买商现金折扣选择，让购买商可以根据自己的订货量进行选择。本文正是基于这种需求，研究了有限时间内，需求是时间函数的情况下，供应商给购买商与订货量大小相关的信用期或者现金折扣选择的变质品库存策略。

2 模型记号及假设

本文记号如下：

K：一次订货的费用；

c：单位商品购买成本；

s：单位商品销售价格；

Q(i)：购买商周期i的订货量；

D(t)：需求函数；

Ie：单位货币的利息收入；

Ip：库存商品单位货币利息支出；

d：价格折扣率，0＜d＜1；

H：计划期的时间长度；

h：仓库中单位商品的库存成本；

X：允许以M2为信用期的最小订货量；

Y：允许以d为现金折扣的最小订货量；

M1：订货量小于X或Y时得到的信用期；

M2：订货量大于或等于X时得到的信用期，M1＜M2；

Ii(t)：当Q≤W时，周期i的库存水平，i=1,2,...,n；

TCi(n)：周期i的总费用，i=1,2,...,n；

TC(n)：计划期H内的订货次数为n时购买商的总费用。

本文的假设如下：

（1）需求为依赖时间的函数D(t)；

（2）不允许缺货；

（3）订货提前期忽略不计；

（5）库存容量不限；

（6）供应商给购买商两种与订货量相关的选择：

①信用期选择：如果订货量大于或等于之前设定的数量X，则购买商可有一个M2的信用期延期付款。否则购买商只能以M1（M2＞M1）为信用期延期付款。

②价格折扣选择：如果订货量大于或等于之前设定的数量Y，则购买商享有以d为折扣率的价格折扣，同时以M1为信用期延期付款。否则购买商没有价格折扣，同时也以M1为信用期延期付款；

为了问题简化，购买商在[0,H]内各周期都作同一选择。

（7）在信用期内，购买商可将销售收入以Ie为利率赚取利息收入，当信用期结束时，购买商将对库存的商品以Ip为利率支付利息。

3 模型建立

基于以上假设，该库存模型的运行如下：假设在[0,H]内的订货次数为n，对周期i而言，其订货的时间为(i-1)T，订购量为Qi。在需求和变质的影响下，在[(i-1)T,iT]内商品库存量逐渐减少，最终为零。以下如无特别说明，i=1,2,...,n。

此时周期i的库存函数满足如下微分方程：

解上述微分方程组可得：

故周期i的订货量为：

综上所述，购买商在周期i的各项费用为：

（1）订货费用：K。

（2）购货费用：

①购买商做出信用期选择，此时无价格折扣，购买费用为：Gi=cQi。

②购买商做出价格折扣选择：

A.若Qi＜Y，此时无价格折扣，故购买费用为：Gi=cQi；

B.若 Qi≥Y，此时有价格折扣，故购买费用为：Gi=c(1-d)Qi。

综上可得周期i的购买费：

（4）库存商品支付的贷款利息，周期与信用期存在以下几种关系：

①当周期i获得信用期M1且iT≤(I-1)T+M1，此时信用期M1大于补货周期，故此时不需支付库存商品的贷款利息：利息支付=0；

②当周期i获得信用期M1且iT＞(i-1)T+M1时，此时信用期M1小于补货周期，故此时需支付库存商品的贷款利息：

③当周期i获得信用期M2且iT≤(I-1)T+M2时，此时信用期M2大于补货周期，故不需支付库存商品的贷款利息，利息支付=0；

④当周期i获得信用期M2且iT＞(i-1)T+M2时，此时周期i获得信用期M2，信用期M2小于补货周期，故此时需支付库存商品的贷款利息：

所以周期i的库存商品支付的贷款利息为：

（5）利用销售收入赚取的利息收入：

①当周期i获得信用期M1且iT≤(I-1)T+M1，此时的利息收入为：

②当周期i获得信用期M1且iT＞(i-1)T+M1，此时的利息收入为：

③当周期i获得信用期M2且iT≤(i-1)T+M2，此时的利息收入为：

④当周期i获得信用期M2且iT＞(i-1)T+M2，此时的利息收入为：

由此可得周期i的利用销售收入赚取利息收入为：

综合上面的各项费用，周期i的总费用为：

所以在[0,H]内，购买商的总费用为：

4 模型求解及数值算例

为了求解TCI(n)和TCⅡ(n)的最优解，有下面定理：

由定理1可得推论1和推论2。

由推论1和推论2可知，TCI(n)和TCⅡ(n)一定存在最优解，通过编程进行一维搜索能找到TCI(n)和TCⅡ(n)的最优解nI*和

下面给出两个数值算例：

算例1：假设某企业的订货条件满足上述模型，并满足如下条件:K=20 000，c=60，s=80，u=50，v=400，α=0.15， β=0.2，d=0.2，hO=2，X=900，Y=800，M1=60/365，M2=240/365，Ie=0.1，Ip=0.15，H=4。并设D(t)=ut+v，由编 程 计 算 可 知 ：（1）当 选 择 信 用 期 时（2）当 选 择 现 金 折 扣 时此时故当选择现金折扣时是最优选择，且n*=2，TC(n*)=174 431。

算例2：假设某企业的订货条件满足上述模型，并满足如下条件:K=1 000，c=60，s=80，u=50，v=400，α=0.15，β=0.2，d=0.01，hO=2，X=200，Y=800，M1=60/365，M2=240/365，Ie=0.1，Ip=0.15，H=4。并设D(t)=ut+v，由编 程 计 算 可 知 ：（1）当 选 择 信 用 期 时（2）当 选 择 现 金 折 扣 时此时故当选择信用期时是最优选择，且n*=7，TC(n*)=134 030。

5 结论

本文基于现有的研究成果，研究了需求是时间函数、计划期有限、供应商据购买商订货量的大小给购买商信用期或者现金折扣选择的两种变质品库存策略，建立了相应的库存模型，并对模型进行分析和求解，证明了最优解的存在，最后给出了模型的数值算例。

通过本文的研究，让购买商的管理者在类似条件下进行订货策略决策时，参考选择信用期还是选择现金折扣是最优决策，降低购买费用。

[1]S K Goyal.Economic order quantity under conditions of permissible delay in payments[J].Journal of the Operational Research Society,1985, 36:335-338.

[2]S P Aggarwal,C K Jaggi.Ordering policies of deteriorating items under permissible delay in payments[J].Journal of the Operational Research Society,1995,46,658-662.

[3]Chun-Tao Chang,Liang-Yuh Ouyang,Jinn-Tsair Teng,Mei-Chuan Cheng.Optimal ordering policies for deteriorating items using a discounted cash-flow analysis when a trade credit is linked to order quantity[J].Computers&Industrial Engineering,2010,59:770-777.

[4]C Gary,E Dennis,J Lin.Determining a common production cycle time for an economic lot scheduling problem with deteriorating items[J].European Journal of Operational Research,2006,173:669-682.

[5]Jui-Jung Liao,Kuo-Nan Huang.Deterministic inventory model for deteriorating items with trade credit financing and capacity constraints[J]. Computers&Industrial Engineering,2010,59:611-618.

Study on Deteriorating Product Inventory Model with Credit Period and Cash Discount Options Whose Demand is a Time Function and Planning Time Finite

Yong Xin
(Huaxi Hospital ofSichuan University,Chengdu 610041,China)

In this paper,we studied the deteriorating product inventory strategy of a supplier who offered its buyers credit period or cash discount options in relation to the size of their orders upon the condition that their demand was a time function and the planning period was finite,then built the corresponding inventory model and at the end presented the solution to the model in connection with a numerical example.

demand;time;deteriorating product;credit period;cash discount;inventory model

F715.6；O141.4

A

1005-152X(2015)11-0080-03

10.3969/j.issn.1005-152X.2015.11.023

2015-09-06

雍鑫（1988-），男，四川渠县人，就职于四川大学华西医院设备物资部，主要研究方向：供应链管理。