几何尺规作图

段贵军

（吉林省蛟河市白石山镇林业局 吉林蛟河 132503）

几何尺规作图

段贵军

（吉林省蛟河市白石山镇林业局 吉林蛟河 132503）

依据同心圆弧长计算公式和几何图形模型的动态作图原理来求解几何尺规作图问题。

无刻度直尺 圆规 圆周长和圆弧长计算公式 几何动态作图。

背景：几何尺规作图问题是古希腊人传下来的几个未解决的数学几何问题。本文只讲三等分任意角、正十七边形和画任意度数角（我在研究中提出一个新的问题，可以视为第五问题）。

一、基本原理

1.圆周长和圆弧长倍数原理

圆周长=2×r×π。r为半径，则圆弧长= 2×r×π×x/360°，其中x为圆弧长所对的圆心角度数。当r1取值为1时，圆弧长=2×π×x/360°。设x值一定，画同心圆弧，当rn≠1时的圆弧长与当r1=1时的圆弧长的比值k= rn。如当rn取值为2时，圆弧长=2×2×π×x/360°即k=2，表明r2为2时的圆弧长是r1为1时的圆弧长的2倍。当rn为3时，则圆弧长=2×3×π×x/360°，即k=3，表明r3为3时的圆弧长是当r1为1时的圆弧长的3倍……我们把这种分布结构也叫作任意角自然数等分结构。

2.几何图形模型的动态作图原理

复制制作和图上完全相同的几何曲线图形模型，让这种几何图形模型始终相接触（相切）象车轮子一样自始至终滚动一次，这样一个几何图形模型就会在另一个几何图形模型上留下轨迹记录，通过这种轨迹记录就可以测定线段（曲线和直线）长度、测量曲面面积大小、绘制点或面的运动轨迹和确定交点的位置等等的几何作图方法。理论上，由于滚动时两个几何图形模型始终相切，则两个几何图形模型体在滚动运动区间内的所有点的集合数始终一一对应且相等，也就是滚动区间内的相切接触的各弧线长或直线段长都是相等的，然后把模型测量结果复制标注到图上即可进行下一步作图，以此实现图上无法测量和确定的目的。模型中必有一个是圆或椭圆等等曲线型模型，另一个可以是曲线模型，也可以是直线模型。相切分内切和外切两种。本原理方法也适用于了解复杂几何图形的运动规律，就是让几何图形做出各种变化，从中更易于了解规律从而更加有效的解决问题。根据以上原理，如果用圆模型在直线模型上滚动一周，根据两个切点之间的线段长度（圆周长）和圆半径，可以求圆周率。总之，几何图形的动态作图法可以解决作图上遇到的许多难题。

为了方便，可以特制一套不同直径的系列圆模型，其中必有一个半径或直径为1的圆模型，以备常用。如果没有这种模型，可以自制圆规刀，即在圆规上放锋利小刀片，就可以随时制造这种纸圆模型。

二、应用解决实际问题

1.等分任意角

（1）三等分任意角

第一步：画任意角α，顶点为O，以O为圆心画半径为1和3的同心圆弧，半径为1的圆弧交α两边线于A、B两点，A为始点，B为终点，AB弧长为L；半径为3的圆弧交α两边线于A3和B3，A3为始点， B3为终点，A3B3弧长为L3。第二步：复制AB弧长和A3B3弧长模型。第三步：让AB弧长模型的A点在A3B3弧长模型上某一点相切，然后自始至终滚动到B点，在A3B3弧长模型上形成A′B′弧，把A′B′弧长复制标注到图上。A′B′弧长=AB弧长=A3B3弧长÷3，用圆规把A′B′弧长从A3B3弧的始点A3开始，一直量到终点B3为止，共计三次，中间有两个交点，将这两个交点与O点相连，就把该任意角α等分3份。

（2）五等分任意角

第一步：画任意角α，顶点为O，以O为圆心画半径为1和5的同心圆弧，半径为1的圆弧交α两边线于A、B两点，A为始点，B为终点，AB弧长为L；半径为5的圆弧交α两边线于A5和B5，A5为始点，B5为终点，A5B5弧长为L5。第二步：复制AB弧长和A5B5弧长模型。第三步：让AB弧模型的A点在A5B5弧长模型上某一点相切，然后自始至终滚动到B点，在A5B5弧长模型上形成A′B′弧，把A′B′弧长复制标注到图上。A′B′弧长=AB弧长=A5B5弧长÷5，用圆规把A′B′弧长从A5B5弧长的始点A5开始，一直量到终点B5为止，共计五次，中间有四个交点，将这四个交点与O点相连，就把该任意角α等分5份。

（3）n等分任意角

当n为其它整数时，都可以用上述方法去绘制。

（4）2n等分任意角（n为整数）

除上述方法外，也可以用课本上讲的方法直接画，在这里我就不说了。

（5）当n不是整数时的画法

根据前面理论原理，也可以画等分角。如画2.3分角（把任意角分成2.3份）、21/2分角（把任意角分成21/2份）……做法是先画完整数角，剩下的就是不完整的角。如2.3分角，以r2=2.3为半径，量取完两个完整角之后，剩下的部分是0.3分的角；再如21/2分角，以r2=21/2为半径，量取完一个完整角之后，剩下的部分是21/2-1分的角等等。

2.画正十七边形和正n边形

就是对360°角进行十七等分，然后在同一圆周线上画闭合弦，由这些闭合弦围成了正十七边形。具体画法如下；

第一步：画360°角，顶点为O，以O为圆心画半径为1和17的同心圆弧，半径为1的圆周长为L；半径为17的圆周长L17。第二步：复制半径为1和17的圆模型。第三步：让半径为1的圆模型在半径为17的圆模型上滚动一周，在半径为17的圆模型上形成A′A′弧，把A′A′弧长复制标注到图上。A′A′弧长=AA弧长（r为1的圆周长）=A17A17弧长（r为17的圆周长）÷17，用圆规把A′A′弧长从半径为17的圆周上某一点开始，测量17次，正好回到这个点上，共有十七个交点，将这十七个交点与O点相连，就把360°角等分17份，然后把相邻交点相连，即成正十七边形。

这只是一种画法，也可以在坐标系的一个象限内画，这里就不一一论述。画其他的正n边形与此相同。

3.画任意度数角

这是由我提出并自行解决的问题。

首先要等分任意特殊角的过程。这些特殊角如15°、30°、45°、60°、75°、90°……360°等等。如15°角可以等分出15个1°角；1°角可以等分出60个 1′角；1′角可以等分出60个 1″角等等。画图做法和前面的等分任意角做法是一样的。现举例说明：例一，画32°15′33″的角。做法：第一步，先直接画45°角（90°角的二等分角），然后把45°角等分成45份取其33份；第二步，把33份靠边的一份（1°角）等分成60份取其16份；第三步，把16份中靠边的一份（1′角）等分成60份取其33份，这样就把32°15′33″角给准确无误画出来。例二，画（1/3）°角，就是把1°等分成三等分角取其一份即可。例三，画（21/2）°角。第一步：先画半径等于1的圆和角度为1°半径为21/2（通过画边长为1的等腰直角三角形便可以得到21/2长的斜边）的圆弧。第二步：复制半径等于1的圆形模型和角度为1°半径为21/2的圆弧模型。第三步：用角度为1°半径为21/2的圆弧模型在半径为1的圆形模型上自始至终滚动一次，则在半径为1的圆形模型上形成一个A′B′弧，此A′B′弧弧长=21/2弧弧长。第四步：连接A′O和B′O，形成∠A′OB′= （21/2）°角。例四，画【（31/2－21/2）/51/2】°的角。将此式变形可以得到【（151/2－101/2）/5】°，根据勾股定理，151/2和101/2长可以确定，则（151/2－101/2）/5长的半径可以确定，剩下的作法同上相同。凡半径长能确定的任意角都可以这样绘制，如果半径画不出来，则这样的角就画不出来。

段贵军 出生日期：1966.11.30 工作单位：林业局 职称：营林工程师 学历：中专 住址：吉林省蛟河市白石山镇