浅谈大学物理中微积分思想的应用

2015-03-01朱军芳

亚太教育 2015年36期

文/朱军芳

浅谈大学物理中微积分思想的应用

文/朱军芳

摘要:微积分是大学物理学习中重要的数学工具，也是初学大学物理时遇到的一个困难。我们为什么要用微积分，如何使用微积分，应用微积分时应注意哪些问题?这都是我们大学物理学习中应用微积分应该注意的问题。本文逐次阐述这几个问题，并从实际例子中加以说明。

关键词:大学物理;微积分;应用

物理现象和规律的研究是以最简单的现象和规律为基础的［1］，而我们实际解决的问题往往更为复杂。那么怎样才能从简单的现象和规律入手，解决复杂的问题呢?其中微积分工具和思想及其重要。微积分作为大学物理学习中重要的数学工具，是初学大学物理时遇到的一个困难。那么我们在大学物理的学习和教学中怎样应用好这个重要工具并解决遇到的困难呢?下面我们从几个方面说明这个问题。

一、为什么要用微积分?

首先，要认识到微积分的思想本质和重要性。微积分思想和方法是一种辩证的思想和分析方法，它包含了有限与无限的对立统一，近似于精确的对立统一［2］。其基本思想是将整体进行无限分割，分割后的每一小部分可以近似于简单问题的情况，这就是微分。把简单解决，然后进行求和，无限求和即是积分。我们知道的是简单问题的处理，而大多数问题相当复杂。借助于微积分，我们可以通过微积分的思想将我们知道的有限的简单问题应用到复杂问题的解决当中，使我们对各种复杂问题的现象及背后规律有更加深刻而清晰的认识。所以微积分不仅仅是一个简单的数学工具，更是我们理解和探索世界的一个重要思想。

二、如何使用微积分

微积分在运动学、动力学、以及电磁学等各个分支都有应用，那么，微积分的应用究竟要遵循什么样的方法?我们以下面的例子来进行说明。大家都熟知恒力做功W =珗F·Δ珒r。如图1，如果物体在变力下做曲线运动，则可将运动曲线分割成许多足够小的位移元d珒r做。对于每一段位移元，对应的力变化很小，可以看做是恒力珗F，所以对每一段位移元有元功dW =珗F·d珒r，而外力作用下从初始点a到末尾位置b共做功为每一段位移元上力所做功之和，即又比如，在静电场中求解电场强度，电场强度通量，电势，磁感应强度磁感应强度通量等物理量时，微积分也是常用的方法。例如，求均匀带电圆环轴线上一点的电场强度，如图2，我们可以取带点线元dq =λd珒l作为电荷元，每个电荷元可以近似为一个点电荷。

三、应用微积分应注意的问题

(1)如果计算的物理量是矢量［3］。那么，矢量既有大小又有方向。在物理中，我们通常要建立坐标系，把微元对应的物理量计算出来，然后将其投影到坐标分量上，每个坐标分量可以视为标量，分别进行积分。最后再写成矢量形式。

(2)微积分运算中经常遇到积分困难的情况，可以根据具体情况解决［3］。如果是积分号内变量不统一问题，需要根据实际情况将找到变量之间的关系，使得变量统一，然后进行积分。比如，求载流直导线在空间中与直导线为距离为r0某一点的磁感应强度［4］。如图2，我们建立坐标系，先写出电流元Idz在空间该点的磁感应强度，积分为，其中涉及到变量z，r，θ。我们找出这三个变量的关系，并将变量统一到角变量θ上来，最终实现积分

如果是微分式两边变量个数多而不能直接积分，那么需要通过变量代换，减少变量数，然后进行积分。比如，加速度是x的显函数a = a(x)，求v。由a == a(x)，可知式子两边包含三个变量v，x，t，直接积分显然积不出来。这时我们把需要求解的v和已知的x变量保留，根据v =得到dt =，从而将dt变量用替换。这样式子就变为vdv = a(x) dx，式中只有两个变量，左右积分即可求出变量v。