实数右手拓扑空间的拓扑性质

田亚

（邢台学院，河北邢台 054001）

实数右手拓扑空间的拓扑性质

田亚

（邢台学院，河北邢台 054001）

右手拓扑是实数集上常见的拓扑，也是拓扑学习中常见的反例。实数右手拓扑空间在可数性、分离性、紧致性和连通性等方面都有很多与实数集上其它拓扑空间不同的拓扑性质。

拓扑；右手拓扑空间；拓扑性质

拓扑学是几何学的一个重要分支，它的研究对象是一般的几何图形，研究任务是研究几何图形在连续的变形下保持不变的性质。拓扑学的思想萌芽最远可以追溯到18世纪的哥尼斯堡七桥问题[1]，经过几个世纪的发展，如今的拓扑学已成为数学的基础学科。随着拓扑学的研究越来越成熟，拓扑学也在数字图像处理、医学、机器人学、经济学、电子线路设计和地理信息系统等众多领域得到了广泛应用[2]。

点集拓扑是拓扑学的入门课程，但它的概念和理论都比较抽象。实数集是点集拓扑学中最重要也最直观的一个研究对象，实数集上定义不同的拓扑，就构成了不同的拓扑空间，从而具有不同的拓扑结构，比如通常拓扑空间、实数下（上）限拓扑空间、右（左）手拓扑空间、可数（有限）补拓扑空间等。目前对于实数下（上）限拓扑空间、可数（有限） 补拓扑空间性质的研究有一些[3-5]，而关于右手拓扑空间的性质研究结论非常少，作为点集拓扑教学和学习的一个重要实例，研究实数右手拓扑空间是非常必要的。下面对右手拓扑空间的连通性、可数性、分离性、紧致性等拓扑性质逐一进行分析。

1 基本知识

定义 在实数集R上，以B={(a，∞)|a∈R，∞代表正无穷}为基的拓扑Tr称为右手拓扑，拓扑空间（R，Tr） 称为实数右手拓扑空间。显然，实数右手拓扑空间是比通常拓扑空间“粗”的。

引理 集族B={(a，∞)|a∈R，∞代表正无穷}是实数集R上的一个基。

证明：首先，∪a∈R（a，∞） =R。其次，对任意A，B∈B不妨设A=（a1，∞），B=(a2,∞)其中a1＞a2，a1，a2∈R，则A∩B=A，显然对任何x∈A∩B，有x∈A⊂A∩B，因此B是实数集上某一个拓扑Tr的基。

2 右手拓扑空间的可数性

定理2.1 右手拓扑空间（R，Tr） 是满足第二可数性公理的空间。

证明：因为拓扑空间X满足第二可数性公理，X有一个可数基。因此要证右手拓扑空间（R，Tr）是第二可数空间，只需证明（R，Tr）有一个可数基。令B={（t,∞）|t为有理数,∞为正无穷}，显然B是一个可数族。设V是右手拓扑空间（R，Tr）中以无理数为左端点的开集，即V={（a，∞）|a为无理数}。对于每一个x∈V，存在实数εx＞0使得x的开邻域为U=（x-εx，∞）⊂V，选取有理数tx使得x-εx＜tx＜x，因此（tx,∞） ⊂V，于是V=∪x∈V（tx，∞），也就是说V可以表示成B中某些元素的并，从而B是右手拓扑空间的一个可数基。所以右手拓扑空间满足第二可数性公理，即右手拓扑空间是满足第二可数性公理的空间。

在熊金城编写的《点集拓扑讲义》中已证得如下结论：每一个满足第二可数性公理的空间，都是满足第一可数性公理的空间，都是可分空间，也都是Lindelöf空间。本文不再赘述其证明过程，只引用其结论得到如下推论：

推论2.1 右手拓扑空间（R，Tr）是满足第一可数性公理的空间，也是可分空间与Lindelöf空间。

3 右手拓扑空间的分离性

定理3.1 右手拓扑空间（R，Tr）是T0空间。

证明：要证右手拓扑空间（R，Tr）是一个T0空间，只需证明（R，Tr） 中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一个点。对∀x，y∈R，x≠y，不妨设x＞y，则x有一个开邻域V=（x-，∞）=（，∞）满足y∉V，所以右手拓扑空间（R，Tr）是T0空间。

定理3.2 右手拓扑空间（R，Tr）不是T1空间。

证明：因为拓扑空间X是一个T1空间，若X中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另外一个点。因此要证右手拓扑空间（R，Tr） 不是T1空间，只需证明（R，Tr） 存在两个不相同的点，点的开邻域包含另一个点。对x，y∈R，x≠y，不妨设x＞y，则对∀ε＞0，y的开邻域V=（y－ε，∞），都有x∈V，所以右手拓扑空间（R，Tr）不是T1空间。

定理3.3 右手拓扑空间（R，Tr） 不是正则空间。

证明：因为拓扑空间X是一个正则空间，X中的任意一点和任意不包含这个点的一个闭集都各有一个开邻域，它们互不相交。因此要证明右手拓扑空间（R，Tr） 不是正则空间，只需证明存在（R，Tr）中的一个闭集，总存在一个不属于这个闭集的点，这个点的任意开邻域与闭集的开邻域之交不为空集。对R中任意闭集A=（－∞，a]，（a∈R），有A的开邻域为V=（－∞,+∞），显然R中任意一点的开邻域与V相交都不为空，所以右手拓扑空间（R，Tr）不是正则空间。

推论3.1 右手拓扑空间（R，Tr） 不是T2空间、T3空间、T3.5空间、T4空间，也不是正规空间。

4 右手拓扑空间的紧致性

定理4.1 右手拓扑空间（R，Tr）不是紧致空间。

证明：因为拓扑空间X是一个紧致空间，X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖。因此要证右手拓扑空间（R，Tr）不是紧致空间，只需证明（R，Tr）的一个开覆盖都没有有限子覆盖。设右手拓扑空间（R，Tr）的开覆盖A={（a,∞）| a∈R}，则A的任意有限子族为F={（a1，∞），（a2，∞），…， （ak，∞）}，由于F的并 {min（a1，a2，…，ak），∞}不是（R，Tr） 的一个子覆盖，所以右手拓扑空间（R，Tr）不是紧致空间。

定理4.2 右手拓扑空间（R，Tr）不是可数紧致空间。

证明：因为拓扑空间X是一个可数紧致空间，X的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖。因此要证右手拓扑空间（R，Tr）不是可数紧致空间，只需证明（R，Tr）中存在一个可数开覆盖没有有限子覆盖。设右手拓扑空间（R，Tr）的一个可数开覆盖A={（－n，∞）|n∈Z+}，则A的任意有限子族为F={（－n1，∞)， （－n2，∞），…，（－nk，∞）}，由于F的并 {min（－n1，－n2，…，－nk），∞}不是（R，Tr） 的一个子覆盖，所以右手拓扑空间（R，Tr）不是可数紧致空间。

定理4.3 右手拓扑空间（R，Tr）是列紧空间。

证明：因为拓扑空间X是一个列紧空间，X的每一个无限子集都有凝聚点。因此要证右手拓扑空间（R，Tr）是列紧空间，只需证明（R，Tr）的任意无限子集中至少有一个凝聚点。设A为右手拓扑空间中的任意无限子集，取∀x，y∈A不妨设x＞y，则y的开邻域为V=（y－ε，∞），其中ε为任意大于0的实数，因此V∩（A－{y})中至少包含一个点x，即V∩（A－{y}） ≠φ，所以y点是A的一个凝聚点。因此右手拓扑空间（R，Tr）是列紧空间。

定理4.4 右手拓扑空间（R，Tr）是局部紧致空间。

证明：因为拓扑空间X是一个局部紧致空间，X中的每一点都有一个邻域是紧致的。因此要证右手拓扑空间（R，Tr） 是局部紧致空间，只需证明（R，Tr） 中的每一点都有一个紧致邻域。对∀x∈R，∀ε＞0，x的邻域为U=（x－ε，∞），则U的开覆盖可以写为A={（x－ε－δ，∞） |∀δ≥0}，取A的一个有限子覆盖为B={（x－ε－δ1，∞），（x－ε－δ2，∞)，…， （x－ε－δk，∞）}，显然，B也是U的一个覆盖。即对∀x∈R，x的邻域U=（x－ε，∞）是紧致邻域，从而右手拓扑空间（R，Tr）是局部紧致空间。

5 右手拓扑空间的连通性

定理5.1 右手拓扑空间（R，Tr）是连通空间。

证明：因为拓扑空间X是连通空间，X中不存在一个即开又闭的非空真子集。因此要证右手拓扑空间（R，Tr）是连通空间，只需证明（R，Tr）中即开又闭的子集不是它的真子集。因为右手拓扑空间以A={（a，∞）|a∈R，∞代表正无穷}为基，所以右手拓扑空间中的开集为 {（a，∞）|a∈R，∞代表正无穷}∪{R}∪{φ}，闭集为{(－∞，a］|a∈R}∪{R}∪{φ}，可见右手拓扑中即开又闭的子集只有R和φ，所以右手拓扑空间（R，Tr）是连通空间。

定理5.2 右手拓扑空间（R，Tr）是局部连通空间。

证明：因为拓扑空间X是局部连通空间，等价于X有一个基，这个基的每一个元素都是连通的。因为右手拓扑空间（R，Tr）的基B={（a，∞）|a∈R}中每一个元素（a，∞）都是R中的连通开集，所以右手拓扑空间（R，Tr）是局部连通空间。

定理5.3 右手拓扑空间（R，Tr） 是道路连通空间。

证明：因为X是道路连通空间，对于∀x，y∈X，存在一个从单位闭区间［0，1］到X的一个连续映射f:［0，1］ →X满足x=f（0） 和y=f（1）。因此要证右手拓扑空间（R，Tr）是道路连通空间，只需找到这样一个连续映射即可。对∀x，y∈R定义映射f:［0，1］→R为对任意t∈［0，1］有f（t）=x+t（y－x）。设映射f的扩张g: R→R为对任意h∈R有g（h）=x+h（y－x），则h=，所以对于右手拓扑空间中的任意开集A=（a，∞），有h（a）=⊂R，当a趋于正无穷时，h也趋于正无穷，因此g-1（A）=（，+∞）是实数空间中的开集，即映射g是从实数空间到右手拓扑空间的一个连续映射，从而g的限制f也是一个连续映射，所以映射f就是R中一条以x为起点，以y为终点的道路。因此右手拓扑空间（R，Tr）是道路连通空间。

右手拓扑是实数集上常见的拓扑，也是拓扑学习中常见的反例，它有很多与实数集上其它拓扑不同的拓扑性质，如实数下限拓扑空间满足第一可数性公理，不满足第二可数性公理，而右手拓扑空间却满足所有的可数性公理；实数的通常拓扑空间满足所有的分离性，但右手拓扑空间却只是T0空间等等。通过上述研究，我们对实数右手拓扑空间的拓扑性质有了较为深入的了解，也为初学者更好的理解相关拓扑性质提供帮助，为点集拓扑教学者选取教学实例提供参考。但它的积空间和商空间的拓扑性质，它的某个拓扑性质是否是在连续映射下保持不变的性质，是否是可商性质，是否是有限可积性质等内容还有待研究。

[1]李文林.数学史概论（第三版）[M].北京:高等教育出版社, 2011.2.

[2]深以淡,等译.拓扑学基础及应用[M].北京:机械工业出版社,2010.4.

[3]李艳颖.实数上限拓扑空间[J].衡水学院学报,2010,12(4).

[4]李子强.关于实数的下限拓扑空间[J].湖北工学院学报, 1997,12(2).

[5]熊金城.点集拓扑讲义（第四版）[M].北京:高等教育出版社,2011.6.

[6]汪林,杨富春.拓扑空间中的反例[M].北京:科学出版社, 2000.6.

O189

A

1672-4658(2015)04-0155-03

2015-06-05

2013年度邢台学院课题：基于微博网格舆论的形成与传播量化研究.课题编号：XTXY13YB105

田 亚（1979-），女，河北巨鹿县人，讲师，理学硕士，研究方向：应用数学.