“由因推果”与“推果求因”拓扑学教学理念探究

【摘要】拓扑学的概念、理论高度抽象，将“由因推果”的教学理念融入教学，由空间的本质出发借助度量空间引出拓扑空间。同时，通过在教学中渗透“推果求因”的理念，拓扑学的定理、结论又可以反过来说明其他学科中的一些问题。

【关键词】教学理念；拓扑学；由因推果；推果求因

一、概念

教学理念是对认识的集中体现，同时也是人们对教学活动的看法和持有的基本的态度和观念，是人们从事教学活动的信念。它是从先进的教学理论中演绎出来的有关教学活动的理性认识，是“教学应该怎样以及何以需要如此”的理想化认识，反映着人们对教学实践的价值期待和理想追求。教学理念负有引领教师追求教学理想的使命，这就决定了它必然具有前瞻性的特点。教学理念的形成过程和影响教学实践的内隐机制表明，它具有鲜明的个体性特点。在一定时期内或特定情境中，教学理念是相对稳定的，随着社会需求的变化和教学改革的深入，教学理念又表现出动态发展的一面。其核心思想就是教学的效益。

“由果推因”及“推果求因”的教学理念的实质是引导学生学会分析问题和解决问题的思维方法，对知识要“知其然”还要“知其所以然”。原因在先，结果在后（简称先因后果）是因果联系的特点之一，可原因和结果必须同时具有必然的联系，即二者的关系属于引起和被引起的关系，“在此之后”不等于“由此之故”。依据谜面所述的事实，作为一种结果提出来，由谜底分析它的缘何关系，或说明它的原因，此种谜法叫“推果求因”。

二、两种教学理念在拓扑教学中的体现

拓扑学是一门抽象数学是现代数学的基础。起点高、难度大，无论是概念或论证均较抽象。拓扑学研究拓扑空间在同胚映射下不变的性质，即拓扑性质。所谓一个空间就是在一个集合中给定某种结构，拓扑空间是具有这样的结构的集合，使得能在其中定义映射的连续性，也就是要指明集合中什么样的子集是“开集”。

且三种度量是等价的。那么对于同样构成形式的拓扑空间而言，自然一个集合上可以赋予不同的拓扑，形成不同的拓扑空间，从而引出平庸空间、离散空间的定义，再进一步借问题“有没有介于最小和最大拓扑之间的中间拓扑”引出有限补、可数补空间等；仿照度量空间的相关知识体系定义拓扑空间中点的邻域、邻域系；集合的聚点、孤立点、内部、外部、闭包；基、子基；拓扑空间序列等概念。拓扑空间的相关概念和结论之所以能够对照度量空间阐述也是基于两种空间之间的范畴关系，因为二者本质都是空间，这便是“由因推果”的教学理念。

同时，也正是由于拓扑空间的架构体系中“开集”是不依附于度量，所以导致拓扑空间中序列的收敛性质与在数学分析中熟悉的有很大的差别。比如，由于平庸空间中任何一点有且只有一个邻域即整个集合自身，所以平庸空间中任何一个序列都收敛，并且收敛于这个空间中的任何一點。自然，极限的唯一性当然无法保证了。

另外，设R是实数集，若R作为实数空间，则R上每一个开区间（a，b）（这里a

度量空间是拓扑空间中最为重要的一类。根据可度量化空间的定义，我们知道只含有限个点的度量空间都是离散的度量空间，离散度量空间的每一个子集都是开集，所以每一个只含有限个点的度量空间作为拓扑空间都是离散空间。然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话，它肯定不是离散空间，因此含有多于一个点的有限的平庸空间不是可度量化的。由此可见，拓扑空间比度量空间的范围要广泛。在拓扑空间中有连通性的概念，我们已经证明了：（1）设E是实数空间R的一个子集，E是一个连通子集当且仅当E是一个区间。（2）设 是一个连通空间， f：X→R是一个连续映射，则f（X）是R中的一个区间。所以据此可以立即推出数学分析中的介值定理和不动点定理，找到其之所以成立的根本原因。这其中体现了“推果求因”的思想。当然，也印证了“由因推果”与“由果推因”两种教学理念在教学中是相互融合的，不可分割的。

三、小结

数学教学是一种以数学为特点的思维活动的教学，也就是说不仅要求学生掌握数学科学的结论，而且要求学生参与获得知识的过程。让学生在学数学知识的过程中同时学到了科学的思维方法，掌握研究数学的思想方法。这种把知识与思维结合起来的教学称为思维教学。从教育的角度来看，数学的思想方法比数学知识更重要。因此在教学中要立足于培养学生能力，开发学生的智力，把研究数学的正确思维和方法作为数学教学的重要内容，使数学课真正成为数学思维活动过程的教学。

基金项目：2015年度河北省教育科学研究“十二五”规划课题“应用型人才培养目标下拓扑学教学改革探究”，项目编号：1506026

【参考文献】

[1] 段作章. 教学理念的内涵及特点探析[J]. 教育导刊， 2011，11（10）：15-18.

[2] 熊金城. 点集拓扑讲义[M]. 北京： 高等教育出版社， 2011：58.

【作者简介】

王冲（1981—），女，河北保定人，硕士研究生学历，沧州师范学院数学与统计学院讲师，主要研究方向：代数拓扑与微分拓扑。