基于导航恒星几何分布的天文导航定姿系统误差建模及误差特性研究

王丽娜，赵慧，熊智，郁丰，施丽娟

(1.北京航空航天大学 计算机学院 数字媒体北京市重点实验室，北京100191;2.北京航天自动控制研究所 宇航智能控制技术国家级重点实验室，北京100854;3.南京航空航天大学 自动化学院，江苏 南京210016)

0 引言

天文导航是指利用测量设备观测天体，确定载体导航信息的技术［1-2］。起源于航海，因其精度高、误差不随时间累积、抗干扰能力强等特点，在现代航空、航天领域获得迅速发展［3］。随着大视场星敏感器技术的日益成熟，天文导航系统由传统单一的天文定位技术逐步发展成可提供载体位置、姿态全方位导航信息的综合导航系统。天文定姿作为天文导航系统中的重要组成部分，其通过大视场星敏感器观测天体，获得本体系下天体矢量信息;进一步通过星图匹配、星光识别和恒星提取［4］，获得天体在地心惯性坐标系中的坐标参数;结合二者信息，经过天文定姿计算，即可获得载体相对于地心惯性坐标系的姿态信息［5］。

天文定姿系统包含多种误差源，包括透镜畸变误差、像平面移位误差等传感器器件误差，星点质心提取误差等图像处理误差以及定姿算法所带来的转换误差等。不少文献对星敏感器器件误差、图像处理误差等开展了研究。文献［6 -8］建立了透镜畸变误差模型，研究了消除透镜畸变影响的标定校正方法。文献［9 -10］研究了采用小孔成像模型校正星敏感器像平面移位误差的方法，并基于透镜畸变模型消除小孔成像模型固有的模型误差。文献［11 -12］研究了影响星点质心提取误差的因素，分析星点光强分布、采样窗口大小、像点成像位置等对星点质心提取的影响规律。针对天文定姿算法研究其误差特性及误差影响因素的文献较少，从恒星空间分布角度分析其对定姿性能影响的文献亦是少见。与此同时，天文定姿系统常作为惯性/天文等组合导航系统中的子系统，可有效校正因惯性传感器件漂移所带来的惯导姿态误差，而目前 如文献［13 -15］等在研究惯性/天文姿态组合时，一般将天文定姿误差认为是白噪声，忽略其实际姿态误差特性。

因此，为有效分析天文定姿误差特性，本文研究给出了天文定姿误差模型，以此为基础分析了恒星几何分布对天文定姿性能的影响，并通过仿真对所建立的模型进行了测试验证。

1 天文定姿导航系统误差建模

星敏感器作为一种高精度的姿态测量传感器，以恒星作为测量参考源，通过CCD 元件拍摄星空，获得拍摄到的恒星在星敏感器坐标系中的位置，以及恒星相对于惯性坐标系的位置，进一步计算得到载体相对于地心惯性坐标系的姿态角。其基本测量原理如图1所示。

图1中:Osxsyszs为该星敏感器坐标系(简记为s 系)，Ouvw 为CCD 成像平面坐标系;f 为光学透镜的焦距，OsO 为光轴方向，Osys轴、Ow 轴均与光轴方向一致;(uk，vk)为某颗恒星在CCD 阵面上的像点位置信息。根据该像点位置，可以计算得到该恒星单位矢量在星敏感器坐标系中的位置信息。计算公式为

图1 天文定姿基本原理图Fig.1 Schematic diagram of attitude determination

式中:sk即为第k 颗恒星在s 系的单位向量坐标。

当s 系与载体坐标系(简记为b 系)重合时，即不考虑传感器安装误差的情况下，通过星敏感器即可获得到恒星相对于b 系的坐标为s1，s2，…，sn，其中sk=［xskyskzsk］T，k=1，2，…，n. 与此同时，通过导航星历可以计算得到这些恒星在地心惯性坐标系(简记为i 系)中的坐标为v1，v2，…，vn，其中vk=［xikyikzik］T，则sk与vk的关系为

式中:矩阵Cis为s 系到i 系的姿态转换矩阵;矩阵为b 系到i 系的姿态转换矩阵;s 系与b 系重合，两个矩阵等价。

式中:

为简化问题分析，本文将透镜畸变误差等器件误差以及星点质心提取误差等图像处理误差等统一认为是天文观测误差，以便于研究定姿算法所带来的转换情况，分析天文定姿误差特性。

由于天文观测误差的存在，恒星相对于s 系的实际矢量信息应为

式中:ΔS 即为天文观测误差。

根据(4)式可解算得到实际姿态转换矩阵为

式中:

以b 系为参考坐标系，记天文定姿误差矢量为δφ，δφ=［δφ1δφ2δφ3］T. 当天文定姿误差角均为小量时，姿态转换矩阵~Cib可表示为

式中:b'表示为含误差的计算载体坐标系。

结合(7)式、(9)式可得

式中:

记误差矩阵ΔCib的协方差矩阵为PΔ，则

记矩阵M 的协方差矩阵为PM，则

记天文定姿误差矢量δφ 的协方差矩阵为Pφ，则

由(13)式和(14)式可得

假设天文观测误差ΔS 一定且其为高斯白噪声时，根据(5)式、(8)式、(12)式可得

式中:σ2S为观测误差ΔS 的方差。

由此，天文定姿误差方差为

式中:A=(VTV)*，为3 ×3 的方阵，是矩阵VTV 的伴随矩阵为天文定姿误差均方差系数，即误差权系数，表明了由天文测量误差到天文定姿误差的转换关系。从(17)式看，采用多矢量方法定姿时，天文定姿性能与以下两方面因素有关:

1)观测误差。天文观测ΔS 的方差σ2S越大，天文定姿误差的方差就越大。该误差项取决于传感器器件误差以及前期图像处理误差等。

2)恒星的分布。定姿误差权系数K 完全取决于矩阵V，而矩阵V 是由多颗恒星相对于惯性坐标系的单位矢量构成的，从而说明定姿权系数K 和恒星的分布存在一定联系。

下面将针对多矢量天文定姿中的3 星定姿方法，分析恒星分布对其定姿性能的影响。

2 恒星空间分布对天文定姿性能的影响分析

2.1 3 星观测条件下天文定姿误差特性分析

当采用多矢量定姿中的3 星定姿时，即选择3 颗恒星作为导航星进行天文定姿解算，(17)式可以写为

以地心惯性坐标系原点Oi为顶点，3 颗恒星相对于惯性系的单位矢量v1、v2、v3为棱线，构建恒星4 面体，如图2所示。

图2 恒星4 面体示意图Fig.2 The tetrahedron composed of star vectors

图2中，Oiv1、Oiv2、Oiv3即为对应的恒星相对于i 系的单位矢量v1、v2、v3.

根据4 面体体积计算公式可得该恒星4 面体Oiv1v2v3的体积为

将(19)式代入(18)式可得

从(20)式中可知，在3 星定姿条件下，当观测误差σ2S一定时，天文定姿误差方差主要取决于恒星矢量构成的4 面体体积以及矩阵A 的迹。

2.2 欧拉角定义下天文定姿误差特性分析

在前面的误差模型推导过程中，所定义的天文姿态误差矢量δφ=［δφ1δφ2δφ3］T是计算载体坐标系b'坐标系相对于真实载体坐标系b 系的偏差角，并非为传统意义上的姿态误差角误差。一般情况下，常以按一定旋转顺序的欧拉角定义姿态角，其误差角定义为姿态误差角。为此，本小节在上述误差模型的基础上，研究以欧拉角定义的姿态误差角的误差特性。

定义载体坐标系b 系的坐标指向为右前上，定义地心惯性坐标系i 系为J2000 地心惯性坐标系，定义由地心惯性坐标系到载体坐标系的旋转顺序为z(-ψ)→x(θ)→y(γ)，ψ、θ、γ 则为对应的一组载体姿态角，那么地心惯性坐标系和体坐标系的转换矩阵如(21)式所示。对应的，定义载体的姿态角误差为Δψ、Δθ、Δγ，则实际计算得到的含误差的姿态角如(22)式所示，实际姿态转换矩阵如(23)式所示。

将(22)式代入(23)式，忽略Δψ、Δθ、Δγ 的2 阶小量，并与展开后(9)式中的元素进行一一对应，可以得到

将(24)式改写为矩阵形式，即

记以欧拉角定义的姿态角误差协方差矩阵为Perr，则

通过(25)式、(26)式即可实现姿态偏差角矢量δφ 与已按z(-ψ)→x(θ)→y(γ)旋转顺序定义的欧拉角姿态误差［Δγ Δθ Δψ］之间的转换。需注意的是，当采用不同的旋转顺序实现从i 系到b 系之间的转换时，对应的欧拉角不同，即姿态角不同，因而其对应的姿态误差角与偏差角δφ 之间的转换关系Hφ亦是不同的，需要重新对应计算。计算方法与上类似。当然，上述分析仅研究了b 系和i 系之间的姿态误差特性，若需分析b 系和其他坐标系之间的误差特性，如与东北天地理坐标系，还需引入转换矩阵Cei(i 系到地固坐标系e 系的转换矩阵)、(地固坐标系e 系到东北天地理坐标系n 系的转换矩阵)来进行进一步的研究。

3 天文定姿误差仿真分析

为验证本文所提出的天文定姿误差模型的正确性，本节首先结合飞行器动态飞行过程中的观星情况，采用多矢量方法进行定姿解算，并将解算结果与本文所建立的误差模型进行比对;继而针对多矢量定姿中的3 星定姿情况，通过静态仿真和动态仿真，分析影响3 星定姿性能的主要因素。仿真基本条件如表1所示，飞行器动态飞行航迹如图3所示，图4为飞行器观测到的恒星数目情况，随着飞行器飞行，其观测到的恒星情况不断变化。

表1 仿真基本条件Tab.1 Simulation parameters

3.1 多矢量天文定姿误差特性仿真分析

在上述飞行航迹和传感器仿真条件下，结合每一时刻星敏感器观测到的恒星情况，采用多矢量定姿方法进行天文定姿解算。此时，天文定姿误差均方差曲线、误差权系数K 曲线如图5所示。

从图5左侧全程仿真曲线及右侧局部放大曲线上均可看出，天文定姿误差均方差曲线与误差系数K 曲线的特性基本一致。由此可见，所建立的天文定姿误差模型能较好地反映天文定姿误差特性，误差模型正确有效。

3.2 3 星天文定姿误差特性仿真分析

通过2.1 节研究发现，在3 星定姿条件下，定姿误差主要和所选择导航星的4 面体体积和误差模型中的矩阵A 的迹有关，为做进一步分析，本节首先分析比较静态条件下3 星定姿误差模型中矩阵A的迹以及恒星4 面体体积平方的倒数1/V2s对天文定姿影响的量级，继而比较随机选星和以恒星4 面体体积为依据选星条件下的天文定姿性能。

3.2.1 天文定姿误差特性静态分析

首先结合飞行器初始时刻的恒星观测情况进行天文定姿静态仿真分析，此时飞行器观测到的恒星情况如表2所示，共10 颗。

图5 多矢量天文定姿误差特性Fig.5 The error characteristics curves by multi-star attitude determination

表2 初始时刻观测到的恒星信息Tab. 2 The star information in initial moment

在上述恒星观测情况下，选择3 颗恒星作为导航星，共计有120 种选星方案。不同选星方案下姿态误差模型中矩阵A 的迹如图6所示，不同选星方案下恒星4 面体体积平方的倒数1/V2s如图7所示。

图6 不同恒星选取下矩阵A 的迹Fig.6 The trace of matrix A under the conditions of various star selections

图7 不同恒星选取下1/V2sFig.7 The value of 1/V2s under the conditions of various star selections

从数字仿真结果中发现，矩阵A 对角线元素之和分布在区间［0.013 67，0.474 2］，均值0.161 3.恒星矢量构成的4 面体体积平方的倒数1/V2s，其数量级分布在区间［103，1010］，最小值为1 883，均值为2.539 ×108. 由此可见，1/V2s的量级远大于矩阵A 对角线元素之和，因而恒星4 面体体积为影响3 星观测情况下天文定姿性能的主要因素。

图8给出了静态不同恒星选择方式下，天文定姿误差均方差、误差权系数K、恒星4 面体体积的倒数1/Vs三者之间对应的关系。

图8 不同恒星选取方式下天文定姿性能Fig.8 The attitude performance curves under the conditions of various star selections

观察图8中的各类仿真曲线，首先比较天文定姿均方根误差曲线与误差权系数K 的曲线，发现二者特性基本一致，由此可见，本文所建立的天文定姿误差模型是正确的。继而，比较天文定姿误差均方差曲线和恒星4 面体体积倒数1/Vs的曲线可发现，虽然二者没有完全对应，但1/Vs的曲线大体反应了天文定姿误差均方差特性，从而进一步说明在天文定姿过程中，所选择的恒星构成的4 面体体积是影响定姿性能的重要因素。

3.2.2 动态飞行下天文定姿误差特性分析

为进一步验证本文所建立的天文定姿误差模型的正确性，同时分析影响3 星定姿性能的关键因素，本节结合空天飞行器动态飞行航迹，采用3 星定姿方法，针对动态飞行过程设计了以下两种选星方案:1)以恒星4 面体体积为标准，选择导航恒星;2)采用随机选星方式进行选择，分析比较天文定姿性能。其中，图9为恒星4 面体体积选星情况下天文定姿性能曲线，图10 为随机选星方案下天文定姿性能曲线。

从图9、图10 中可看出，不论是以恒星4 面体体积为依据进行恒星选择，或采用随机选星方式，天文定姿误差均方差曲线与误差系数K 曲线的特性基本一致。由此可见，本文所建立的天文定姿误差模型是正确的。与此同时，与4.1 节静态初始条件下仿真相似，恒星4 面体体积倒数1/Vs的曲线虽未和天文定姿误差均方差曲线特性一一对应，但大致也能反应其变化特性，呈现出较大的关联性。

对比图9、图10 可发现，以恒星4 面体为依据选择导航星进行天文定姿解算，其定姿性能明显优于随机选星下定姿性能。从表3中3 星观测定姿中的两种不同选星方案下天文定姿性能看，恒星4 面体选星下的天文定姿均方误差量级较随机选星下定姿均方差小2 个量级。对应的，其误差系数K、恒星4 面体体积倒数1/Vs之间量级基本上也相差2 个量级。由此可见，恒星空间分布中的4 面体这一因素是影响天文定姿性能的关键要素，以恒星4 面体体积为依据选择导航星能够有效提高天文定姿性能。

表3 天文定姿性能统计表Tab.3 Celestial attitude determination performance

图9 恒星4 面体积选星下天文定姿性能Fig.9 The attitude performance curve under the conditions of star selections by tetrahedron

图10 随机选星下天文定姿性能Fig.10 The attitude performance curves under the condition of random star selection

比较图5多矢量天文定姿与图9以恒星4 面体体积为选星依据的3 星定姿，可发现这两种情况下天文定姿误差量级较接近。对比表3中的统计数据看，多矢量天文定姿与以恒星4 面体体积为选星依据的3 星定姿误差均方差量级、误差系数K 量级均类似，其中以恒星4 面体体积为选星依据的3 星定姿性能稍优。由此说明，以恒星4 面体体积为依据的导航星选择方法在一定程度上可提高天文定姿性能。

3.3 欧拉角定义下天文定姿误差特性仿真分析

在2.2 节中，本文针对以欧拉角定义的姿态误差角和相对于载体坐标系的偏差角之间的转换关系进行了推导分析，为证明模型的正确性，本节结合飞行动态飞行过程，针对3 星定姿中以恒星4 面体体积为选星依据这一情况进行仿真测试。图11 为直接计算得到的欧拉角定义下的3 轴姿态误差与由偏差角转换得到的姿态误差对比曲线。图12 为两种情况下均方差结果对比曲线。

图11 3 轴姿态误差转换对比曲线Fig.11 Three-axis attitude error curves

图12 误差均方差转换对比曲线Fig.12 Error variance curves

表4 欧拉角定义下姿态误差统计表Tab.4 Euler attitude errors

4 结论

姿态作为飞行器导航参数中的重要组成部分，其精度直接影响导航系统的性能品质。天文导航作为一种隐蔽、可靠的导航方式，其可为飞行器提供高精度、高可靠性的姿态信息。为有效分析天文定姿误差特性，本文建立了天文定姿误差模型，得到了天文定姿误差权系数K 的表达式，发现恒星分布中的恒星4 面体体积是影响定姿性能的关键因素，并在一系列仿真实验中得到验证，为进一步提高天文定姿性能提供了一定的理论依据和参考。

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