基于磁悬浮控制力矩陀螺的航天器姿态角速率测量方法

王平，王华，任元

(1. 装备学院 研究生院，北京101416;2. 装备学院 航天装备系，北京101416)

0 引言

磁悬浮控制力矩陀螺(CMG)是航天器进行姿态控制的一种重要执行机构［1-3］，由定常转速的大惯量动量飞轮转子及其磁轴承支承系统、高速驱动电机、框架及其伺服系统等组成［4-5］，通过转动框架实现转子角动量的强制改变，从而向外输出陀螺力矩，实现航天器的姿态控制［6-8］。磁悬浮CMG 主要用作执行机构，用作测量的目前还未见报道。

目前对航天器进行姿态角速率检测主要是在航天器姿态控制系统中附加速率陀螺，进而实现对航天器姿态的闭环控制［9-10］。传统姿控系统的体积重量往往较大，且一旦速率陀螺发生故障，姿控系统便陷入瘫痪状态。此外由于检测装置与执行装置之间往往存在减震隔离装置，导致控制与检测不共位，必然导致异位控制问题，从而影响姿态控制系统的稳定性和鲁棒性。

在磁悬浮CMG 测控一体化研究中，Fang 等通过双框架磁悬浮CMG，将力矩执行和姿态测量结合起来［11］，但此研究将测量和控制分时复用，磁悬浮CMG 某一时刻只能工作在一种状态，测量和控制未能同时进行。刘彬等提出了一种磁悬浮陀螺飞轮的设计方案，磁悬浮陀螺飞轮虽然控制和测量可以同时进行，但这种方法并没有得到3 轴姿态角速率的解析表达式，不仅实用性不强，而且不便于从机理上分析姿态角速率与系统参数之间的关系［12］。

本文根据惯量矩定理和测控一体化原理，通过金字塔构型执行机构中的3 个磁悬浮CMG，利用便于直接测量和计算的磁悬浮转子径向力矩、磁悬浮转子偏转信息求解出航天器的姿态角速率的解析表达式，最后进行了仿真验证。

1 测量方法

1.1 测控一体化原理

根据惯量矩定理，高速转子角动量在惯性空间方向的改变只取决于它所受到的外部力矩。转子所受的力矩是由航天器转动、陀螺框架转动、转子相对位移引起的［13-14］，而转子所受力矩的大小，是由磁轴承力唯一决定的［15-16］。航天器角速度可以通过实时检测磁轴承电流和转子位移，结合框架角速率，矢量解算得到。

1.2 测量方案

根据测控一体化原理，转子所受合外力矩Mr在转子系下的表达式可分解为两部分:Mr= M0r+，M0r表示框架和星体静止时磁悬浮转子偏转力矩，Mrext表示框架、航天器转动引起的等效力矩。根据磁悬浮转子力矩的分解，转子所受合外力矩Mr和转子偏转力矩M0r可以通过测量计算得到，从而可以得到航天器、框架转动等效加在转子的力矩的大小。

2 数学模型

2.1 坐标系的选取

首先需要定义坐标系，用于描述航天器与执行机构中第n 个磁悬浮CMG 之间的关系，其中n =1，2，….

OiFi:地心惯性坐标系OiXiYiZi，原点位于地心，OiXi指向春分点，OiZi轴指向北极，并与OiYi轴构成右手坐标系。

Fo:轨道坐标系OoXoYoZo，原点Oo定义在卫星的质心，滚动轴OoXo在轨道平面内并指向卫星的速度方向，偏航轴OoZo指向地心，俯仰轴OoYo垂直于轨道平面并构成右手直角坐标系。

Fb:卫星本体坐标系ObXbYbZb，原点Ob位于卫星质心，与Oo重合，3 个坐标轴分别为卫星的3 个惯量主轴。

FCMG，n:第n 个CMG 参 考 坐 标 系OCMG，nXCMG，nYCMG，nZCMG，n，与卫星本体系固连，OCMG，n为第n 个单框架磁悬浮CMG 的转子几何中心，XCMG，n沿框架轴旋转方向，YCMG，n轴沿框架零位置的转子旋转方向。

Fg，n:第n 个框架坐标系Og，nXg，nYg，nZg，n，与框架固连，随框架轴转动，Og，n与OCMG，n重合，框架初始零位置时，Fg，n与FCMG，n系重合。

Ff，n:第n 个磁轴承安装系Of，nXf，nYf，nZf，n，与框架固连，由框架坐标系绕Yg，n旋转45°得到，Of，n与Og，n重合。转子A、B 两端各有一组磁轴承，两端运动呈中心对称，如无特殊说明，文中Ff，n均表示A 端的磁轴承安装系。

Fr，n:第n 个磁悬浮转子坐标系Or，nXr，nYr，nZr，n，与转子固连，但不与转子沿轴向高速旋转，转子初始静浮未偏转时，Of，n与Or，n重合。

本文中CF2F1表示从F1到F2系的坐标转换矩阵。

2.2 转子所受合外力矩Mr 模型

单框架磁悬浮CMG 结构示意图如图1所示。

图1 单框架磁悬浮CMG 结构示意图Fig.1 Schematic diagram of single frame magnetically suspended CMG

设Mr为转子所受到的合外力矩，应用欧拉动力学方程，则可以得到转子系下磁悬浮转子动力学方程为

式中:Hr=［HrxHryHrz］T表示转子系下转子的角动量表示转子系下的角动量变化率;ωrir表示转子系下转子绝对角速度，即相对于惯性空间的转速。

式中:I 表示转子绕CMG 参考坐标系旋转的转动惯量;Ir表示转子径向转动惯量;Ia表示转子轴向转动惯量;Ωi表示转子的绝对角速度。设Ω 为高速转子绕Zf轴转动的角速率，转子的绝对角速度Ωi由转子自转角速度Ωr=［0 Ω 0］T和牵连角速度ωrir组成的表达式为

式中:γn=［γ1γ2γ3γ4］T=［90°180° -90°0°］T;σn=［σ1σ2σ3σ4］T=［53.13° 53.13° 53.13° 53.13°］T.

图2 金字塔构型执行机构Fig.2 Pyramid configuration actuator

下面确定变换矩阵Crf、Cfg、CgCMG.

对于Crf，由于磁轴承间隙非常小，转子转动位移α、β 相对于框架和星体转动可以忽略，故

对于Cfg，工程中考虑到如果一对磁轴承平行于框架旋转方向安装，另一对垂直安装，则当框架旋转时，主要的控制电流都会集中在垂直于框架旋转的方向上，使得控制电流容易饱和，对输出力矩大小造成限制，因此采用如图3所示45°斜装的方案解决这一问题。故Cfg表达式为

图3 磁轴承45°斜装示意图Fig.3 Schematic diagram of magnetic bearing installed at 45°

对于CgCMG，表示从CMG 参考坐标系沿XCMG轴转δ 到框架系的坐标转换矩阵，故CgCMG表达式为

通过以上分析，得到

根据Ωi，计算出Hr=［HrxHryHrz］T的分量表达式为

结合ωrir，经过简化，求出Mr=［MrxMryMrz］T的分量表达式为

2.3 转子偏转力矩M0r 的模型

2.4 航天器运动和框架转动引起力矩Mrext的模型

在Mr的表达式中去掉M0r并经过简化，可得出航天器、框架转动情况下等效加在转子径向的力矩的径向分量表达式为

3 计算方法

3.1 磁悬浮转子合外力矩的测量和计算

转子所受合外力矩Mr=［Mr10 Mr2］T的径向分量表达式［17］为

式中:lm表示从磁悬浮转子中心到径向磁轴承中心的距离;磁悬浮转子所受磁力fAx、fBx、fAy、fBy可表示成fλ=kiλiλ+khλhλ，λ=Ax，Ay，Bx，By［18］，kiλ和khλ分别表示磁悬浮转子的径向Ax、Ay、Bx、By 通道的电流刚度和位移刚度，可以通过实验标定;iAx、iBx、iAy、iBy是4 个径向通道的绕组电流;hAx、hBx、hAy、hBy是磁悬浮转子分别在Ax、Ay、Bx、By 方向上的线性位移量。

iAx、iBx、iAy、iBy可以通过电流传感器测量，hAx、hBx、hAy、hBy可以通过电涡流位移传感器测量，从而可以计算得到转子所受的径向合外力矩。

3.2 转子偏转力矩M0r 的测量和计算

转子偏转力矩的径向分量表达式［19］中，

式中:hAx、hBx、hAy、hBy是磁悬浮转子分别在Ax、Ay、Bx、By 方向上的线性位移量;lm表示从磁悬浮转子中心到径向磁轴承中心的距离。

hAx、hBx、hAy、hBy可以通过电涡流位移传感器测量，从而可以计算得到转子径向偏转力矩。

3.3 姿态角速率解析解

航天器、框架转动情况下等效加在转子径向力矩分量表达式Mrext1、Mrext2比较复杂，令得到

因为Ir远小于IaΩ，航天器调姿过程中较小，故化简为

分量表达式为

带入(12)式，得

在金字塔构型磁悬浮CMG 中，初始框架角为δ0=［δ10δ20δ30δ40］T=［90° -90° 90° -90°］T. 金字塔构型参数γ=［γ1γ2γ3γ4］T=［90°180° -90°0°］T，σ=［σ1σ2σ3σ4］T=［53.13° 53.13° 53.13° 53.13°］T.在(13)式中，若系数矩阵第1 列为0，则计算出δ1=90°或者δ1=270°;δ2=0°或者δ2=180°;δ3=90°或者δ3=270°;δ4=0°或者δ4=180°.

在以初始框架角为［90° -90° 90° -90°］T的调姿过程中，(13)式系数矩阵每列不可能同时为0，故航天器姿态角速率的解析表达式系数矩阵不存在奇异。

4 仿真分析

航天器惯量矩阵

设置磁悬浮CMG 参数如表1所示。

表1 磁悬浮CMG 参数Tab.1 Parameters of MSCMG

航天器姿态角速率测量值和实际值数据获取如图4所示。

航天器从初始姿态角［-20° 50° 30°］机动到［0° 0° 0°］过程中，测量姿态角速率和实际姿态角速率对比仿真如图5～图7所示。

从仿真结果可以看出，测量值和实际值的误差仅在10-3数量级上，因此磁悬浮CMG 金字塔构型可以同时检测出航天器的3 轴姿态角速率。

姿态控制器施加给磁悬浮CMG 的控制信息为框架角和框架角速度，金字塔构型4 个磁悬浮CMG的框架角和框架角速度曲线如图8、图9所示。

从图8、图9可以看出，金字塔构型磁悬浮CMG框架角速度、角加速度均在允许的范围内。

金字塔构型磁悬浮CMG 输出控制力矩曲线如图10 所示。

图4 姿态角速率测量值和实际值数据获取方法Fig.4 Data acquisition method for measuring and actual values of attitude angular rate

图5 滚动角速率比较Fig.5 Comparison of roll angular rates

图6 俯仰角速率比较Fig.6 Comparison of pitch angular rates

从图10 可以看出，利用金字塔构型磁悬浮CMG 进行航天器姿态角速率测量并未影响控制力矩的输出。

5 结论

本文提出的姿态测量方法，可以替代姿控系统的速率陀螺，减少姿控系统的体积、质量。随着传感器技术的发展，用于量测磁悬浮转子位移的电涡流位移传感器的精度可以达到亚微米级，电流传感器的精度可达到微安级，因此本测量方法是有着广阔应用前景的高精度姿态测量方法。

图7 偏航角速率比较Fig.7 Comparison of yaw angular rates

图8 磁悬浮CMG 框架角曲线Fig.8 Frame angles of magnetically suspended CMG

图9 磁悬浮CMG 框架角速度曲线Fig.9 Frame angular rates of magnetically suspended CMG

图10 金字塔构型磁悬浮CMG 控制力矩曲线Fig.10 Control torque of magnetically suspended CMG withpyramid configuration

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