基于Logistic混沌序列的改进算法及其性能分析*

范春雷，丁　群

(黑龙江大学信号与信息处理重点实验室，哈尔滨150080)



基于Logistic混沌序列的改进算法及其性能分析*

范春雷，丁群*

(黑龙江大学信号与信息处理重点实验室，哈尔滨150080)

摘要:针对目前混沌系统数字化后受硬件有限精度的影响，使得数字混沌0/1序列最终都将变成类短周期序列，降低了混沌加密系统的安全性。为克服此缺点一种新型的Logistic混沌序列算法被提出，此算法将Logistic混沌序列与Arnold变换相结合，并通过实验对该算法产生的二值序列的自相关性、随机性等性能做了对比分析。同时利用此改进算法对数字图像进行加解密，结果表明新型的Logistic混沌序列算法具有良好的安全性，能够满足保密通信的需要。

关键词:混沌系统; Arnold变换; MATLAB仿真;二值序列;图像加密

目前随着计算机技术、网络通信技术的迅猛发展，信息已经成为当今社会的重要财富。由此可见，个人信息的保密变得愈发重要，例如Internet数据信息传递、保密电话、银行卡等都需要有充分的安全保密措施。这使得对保密通信及密码学的研究变得十分迫切，然而由于混沌信号具有良好的伪随机性、初值敏感性、类噪声等特性，因此混沌系统被广泛的应用在保密通信中，并在加密系统的设计中展现了显著的优势。

然而，在将混沌信号转换成二值序列的过程中会遇到一个关键问题，即受到硬件处理器有限精度的影响使得所产生的二值序列出现短周期现象［1］。其实早在1997年Kohda和Tsuneda［2］就已经考虑到计算精度对混沌二值序列随机性的影响;而Biham的实验结果也证明了由于计算机有限精度的影响使得数字化混沌系统产生的二值序列出现所谓的短周期现象; Palmore［3］认为这种有限精度的影响很难避免。而后，国内外的科研人员针对混沌序列数字化后的类短周期情况提出了多种方案去延长数字混沌序列周期。其中Gernak［4］提出采用可编程组合电路对混沌映射的参数变量进行扰动来增大周期;王相生［5］等人提出通过m序列的状态作一维分段线性混沌的参数值来增大混沌二值序列的周期及复杂度;杨佳兴［6］等人提出通过搭建简单的蔡氏电路并经过模数采样量化混沌序列以此来避免由计算机精度问题而产生的类短周期问题;陈帅［7］等人提出采用3个由离散数字混沌序列来进行异或运算的方法产生较长周期的离散数字混沌序列。上述所提出的改进数字混沌二值序列周期的方案，由于其算法相对复杂使得在硬件中难于实现，造成应用受限。

为有效解决数字混沌加密系统由于硬件芯片精度有限而造成输出的二值序列短周期这一现象。本文提出了一种新型的改进算法，由于Logistic映射表达式简单且性能优良，并且Logistic映射所产生的混沌序列相比其他混沌映射来说其具有更好的随机特性，因此本文以Logistic混沌序列为基础并与Arnold映射相结合，给出了增大二值序列周期的新算法，并对由此算法产生的二值序列的性能进行了实验分析以及将其应用在数字图像加密当中。实验结果表明本文所提出的新算法能够解决混沌序列短周期现象，且此序列具有良好的相关性、随机性等性能。

1　Logistic混沌序列改进算法方案

1.1Logistic混沌映射及其量化

Logistic映射是研究混沌复杂系统的一个经典模型，其表达式简单且性能优良，被广泛的应用在混沌保密通信当中。该映射定义为［8］式中:μ被称为分支参数，当μ取值为［3.569 945 6，4］时，Logistic映射工作在混沌态，并表现出复杂的动力学特性。将初值x1代入映射方程，通过迭代运算产生混沌序列{ xn}，此序列为非周期序列、对初值具有敏感依赖性并存在奇异吸引子。而这些特性正与密码学中密钥和密钥流所具备的特性相符，因此混沌映射被广泛的应用在保密通信等相关领域中。

为了得到加密所需的0/1序列，还应将原混沌序列{ xn}转换成二值序列{ sn}，即量化过程。量化混沌序列有多种方式，但为避免进行繁杂运算使其在后续逻辑电路设计时难于实现，本文选用相对简便的量化方法，其定义如下

式中:c=0.5，由于当Logistic映射处于混沌态时，迭代运算值xn在区间(0，1)遍历。因此通过上述量化方法便能得到良好的混沌二值序列。

1.2Arnold映射和混沌序列改进算法

经典Arnold变换是一个二维可逆映射，其定义可表示为［9］

式中:0≤x，y≤1，0≤x'，y'≤1。

本文提出的改进混沌序列算法便是基于Logistic映射和Arnold变换进行设计的，其算法框图如图1所示。从框图中可以看出本文是通过将0/1序列流构建成N阶矩阵，之后对此矩阵进行n次Arnold迭代，由于矩阵为N阶，即定义域为整数x∈［0，N－1］，y∈［0，N－1］。

图1　改进算法设计框图

为了与经典Arnold变换非整数的定义域相区分，本文将式(3)转换成式(4)的形式以方便运算。之后将经过迭代后的矩阵元素按行顺序转成二值序列流，并与之前的混沌二值

序列相异或得到最终改进后的序列。此改进算法易于实现，这便降低了对硬件逻辑电路资源的消耗，且能够有效的消除因硬件精度有限造成混沌二值序列类短周期的现象。

2　新型算法性能对比分析

本文通过编写C语言程序产生两种二值序列:一是经典Logistic混沌二值序列，二是通过改进算法获得的混沌二值序列。并在编程时将精度限制为32位，通过MATLAB仿真分析序列性能。

2.1自相关特性

自相关性是伪随机二值序列的一个重要性质，它可以对序列进行周期性检测，理想的伪随机序列其自相关为δ函数［10］。假设x(n)为混沌二值序列，Rx(m)是序列的自相关函数，则由自相关函数定义可得下式

本文在这里取序列长度为104，然后根据式(5)计算其自相关函数值。得到的MATLAB仿真图如图2所示。从图中可以明显地看出由经典Logistic映射产生的序列在计算精度为32位限制时，其序列内部出现类短周期现象，而改进后的混沌二值序列的自相关函数更接近δ函数，表现出了更好的伪随机特性。

图2　自相关测试仿真图

2.2频谱分析

所谓频谱分析是将时域信号变换至频域加以分析的方法。频谱分析的目的是把复杂的时域波形经过傅里叶变换分解为若干单一的谐波分量，以获得信号的频率结构以及各谐波的信息。这里可以将混沌二值序列看作是离散时间序列，其离散傅里叶变换定义为下式

式中:x(n)为离散时间序列，N为序列长度。本文通过MATLAB仿真将改进前后序列进行离散傅里叶变换，其混沌序列的频谱图如图3所示。

图3　混沌序列频谱仿真图

从图3可以明显的看出经典Logistic序列其频谱存在多个尖峰，表现为周期或拟周期序列现象。而改进后的序列则无明显峰值，其频谱类似于高斯白噪声序列的频谱，表现了良好的随机特性［11］。

2.3NIST测试

NIST测试套件是为了测试随机数发生器的序列性能，由SP800－22rev1文件可知它包含15项测试［12－13］。本文主要将改进前后的二值序列通过NIST套件程序进行测试，通过测试结果对比这两个序列的性能，其测试结果如表1所示。从表1可以看出，经典Logistic序列有6项未通过，而改进后的混沌序列其通过率明显高于改进前的，经NIST测试验证表现出了良好的随机性。

表1　NIST套件测试结果

3　数字图像加密安全性及性能分析

为了证明基于Logistic混沌序列改进算法在安全保密通信应用中具有良好的性能及安全性，本文将改进后的二值序列作为混沌序列密钥对图像深度为24的bmp数字图像进行加密处理。其加密方法为将混沌二值序列与数字图像像素值进行异或运算也即流加密，其加密前后bmp图如图4所示。

图4　加密效果图

下面对上述数字图像加密安全性进行分析，首先分析其密钥空间，由于其密钥序列是基于Logistic映射，而又因混沌序列的初值敏感性，因此用初值作为密钥可以保证足够大的密钥空间，采用暴力破解是不可行的［14］。

其次对加密前后图像的灰度直方图进行分析，一般来说，灰度直方图的横坐标是灰度级，纵坐标是该灰度级出现的频率，它是图像的最基本的统计特征。对于一副灰度值可能取值数目为L的图像，直方图的定义可表示为

式中:n为一副图像的总像素，nk是第k级灰度的像素值，rk为第k个灰度等级，Pr(rk)表示该灰度出现的相对频率，这L个频率值Pr(rk)组成的一维向量hist［0，…，L－1］即为图像的灰度直方图。将加密前后的图像进行MATLAB仿真，得到其RGB灰度直方图如图5所示。

图5　直方图对比图

从图5可以看出加密后图像的灰度直方图比较均匀，这说明了此密钥序列的安全性能比较高，图像在传输过程中不易受到篡改和解密，由此得出经改进后的混沌序列可安全应用到数字图像加密中。

4　结束语

本文以Logistic混沌映射为基础，对数字混沌系统的短周期现象以及数字混沌二值序列相关性强的问题进行了深入研究，提出了对经典Logistic混沌序列进行Arnold变换的改进方案。此方案可有效的避免因硬件计算精度受限而使得混沌序列内部出现短周期的现象，大大增加了Logistic数字混沌序列的周期，使此序列呈现良好的伪随机性。除此之外，还将改进后的混沌序列作为密钥序列对数字图像进行加密，由实验结果可以看出此加密序列具有较高的安全性，适合应用在保密通信系统当中。

参考文献:

［1］Du B X，Geng X L，Chen F Y，et al.Generation and Realization of Digital Chaotic Key Sequence Based on Double K-L Transform［J］.Chinese Journal of Electronics，2013，22(1):131－134.

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［4］Gernak J.Digital Generators of Chaos［J］.Physics Letters A，1996，214(3):151－160.

［5］王相生，甘骏人.一种基于混沌的序列密码生成方法［J］.计算机学报，2002，25(4):351－356.

［6］杨佳兴，肖慧娟，邓成良.基于蔡氏电路的数字混沌序列的性能研究［J］.通信技术，2010，43(6):74－76.

［7］陈帅，钟先信，石军锋，等.基于离散数字混沌序列的图像加密［J］.电子与信息学报，2007，29(4):898－900.

［8］柳平，闫川，黄显高.改进的基于Logistic映射混沌扩频序列的产生方法［J］.通信学报，2007，28(2):134－140.

［9］Tang Z J，Zhang X Q.Secure Image Encryption without Size Limitation Using Arnold Transform and Random Strategies［J］.Journal of Multimedia，2011，6(2):202－206.

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［13］Mohamed L，Abhinav S.Generalized Hardware Post-Processing Technique for Chaos-Based Pseudorandom Number Generators［J］.ETRI Journal，2013，35(3):448－458.

［14］Andrew T，Kevin M.Reconstructing the Key Stream from a Chaotic Encryption Scheme［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems I:Fundamental Theory and Applications，2001，48(5):124－130.

范春雷(1991－)，男，汉族，黑龙江大学电子工程学院，硕士研究生，研究方向信息处理与保密通信，Chunlei_Fan@163.com;

丁　群(1957－)，女，汉族，黑龙江大学电子工程学院，教授，博士生导师，研究方向信息处理与保密通信，qunding @aliyun.com。

The Method of Dealing with Temperature Effect of Intelligent Roller Brake System

SONG Xianglong，JIANG Shubo*，YUAN Lincheng
(College of Automation and Electrical Engineering，Nanjing University of Technology，Nanjing 211816，China)

Abstract:In the use of the roller brake in a high temperature environment，the intelligent roller brake system will appear many malfunctions.A new solution is proposed.A sectional Fuzzy PI temperature control system is added into the traditional turnstile.We collected many volues of solenoid coil temperature，and calculated to find an adjusting way which drives stick refrigerated piece to let the temperature lower down.After from making statistics of 500 times～6 000 times of experiments，recording fault occurrences and analysing them deeply，we achieved better results in practical applications.

Key words:fuzzy control; temperature control; refrigeration; electromagnetic valve

doi:EEACC:7320R10.3969/j.issn.1005－9490.2015.04.010

收稿日期:2014－10－14修改日期:2014－12－12

中图分类号:TP393.04; TN915.04

文献标识码:A

文章编号:1005－9490(2015)04－0759－05

项目来源:国家自然科学基金项目(61471158);教育部高等学校博士学科点专项科研基金项目(20132301110004)