R对称矩阵左右逆特征值问题的最佳逼近解

杜玉霞,梁 武,张文军

1.宿州学院数学与统计学院，安徽宿州，234000;2.宿州市第二中学，安徽宿州，234000



R对称矩阵左右逆特征值问题的最佳逼近解

杜玉霞1,梁 武1,张文军2

1.宿州学院数学与统计学院，安徽宿州，234000;2.宿州市第二中学，安徽宿州，234000

对于给定的矩阵X∈Rn×h,Λ∈Rh×h,Y∈Rn×l,μ∈Rl×l和对称且非平凡的对合矩阵R,当矩阵方程组

R对称矩阵；左右逆特征值；最佳逼近

1 引言

实矩阵R∈Rn×n是一个对称且非平凡的对合矩阵，即R=RT=R-1≠±In。 如果矩阵A∈Rn×n满足RAR=A(RAR=-A)，那么称A为R对称(R反对称)矩阵。所有R对称(R反对称)矩阵的集合记作RSRn×n(RASRn×n)，在下文讨论中，始终假定R是固定的。

SE={A|A=XΛX++(YT)+μYT(In-XX+)

+(In-YY+)Z(In-XX+),∀Z∈RSRn×n}

矩阵的逆特征值问题已被广泛研究,并得到了许多重要的结论，例如文献[2-5]。F.L.Li等讨论

(责任编辑：汪材印)

了斜中心对称矩阵左右逆特征值问题的有解条件[6]，但未见相关R对称矩阵的左右逆特征值问题的讨论，为此本文尝试讨论此问题。特殊的，当R=J时，本文所讨论的问题就变为中心对称矩阵的左右逆特征值问题，其中J为次对角线上元素为1、其他元素全为0的翻转矩阵。

2 R对称矩阵的性质

设λ为矩阵A∈Rn×n的一个特征值,记号εA(λ) 表示属于特征值λ的特征子空间。如果向量z∈Rn满足Rz=z(Rz=-z)，那么称z为R对称(R反对称) 的。εR(1)与εR(-1) 分别表示R对称、R反对称向量的全体，它们都是Rn的子空间。

令r=dim[εR(1)]，s=dim[εR(-1)],对于R=RT=R-1≠±I,r,s≥1，有r+s=n。

假设p1,p2,…,pr和q1,q2,…,qs分别为子空间εR(1)和εR(-1)的正交基。记：

P=[p1,p2,…,pr]，Q=[q1,q2,…,qs]

显然，[PQ]∈ORn×n，P和Q不是唯一的，直接计算可得合适的P、Q。

其中，APP=PTAP∈Rr×r,APQ=PTAQ∈Rr×s,AQP=QTAP∈Rs×r,AQQ=QTAQ∈Rs×s。

引理1[7]A∈RSRn×n当且仅当

其中，APP=PTAP∈Rr×r,AQQ=QTAQ∈Rs×s。

引理2[7]设A是R对称矩阵，如果(λ,z)是矩阵A的一个特征对,那么(λ,Rz)也是矩阵A的一个特征对。如果λ是矩阵A的一个特征值,那么特征子空间εA(λ)包含所有形式为z=Px+Qy的向量,其中APPx=λx,AQQ=λy。

由引理1、2可得下述引理。

引理3 令A∈RSRn×n,则：

(i)矩阵A的特征值是矩阵APP与矩阵AQQ特征值的和；

(ii)(λ,Px) 是矩阵A的一个特征对，当且仅当(λ,x)是矩阵APP的一个特征对；

(iii)(μ,Qy)是矩阵A的一个特征对，当且仅当(μ,y)是矩阵AQQ的一个特征对。

容易证明对称矩阵的左特征对于右特征对有类似的性质(引理1、2、3)。

为不失一般性，在本文所讨论的问题中假设:

X=(PX1,QY1),Λ=diag(Λ1,Λ2)

(1)

Y=(PX2,QY2),μ=diag(μ1,μ2)

其中：X1∈Rr×h1,Y1∈Rs×h2,

Λ1∈Rh1×h1,Λ2∈Rh2×h2,

APPX1=X1Λ1,AQQY1=Y1Λ2,

h=h1+h2,X2∈Rr×l1,Y2∈Rs×l2,

μ1∈Rl1×l1,μ2∈Rl2×l2,

X2TAPP=μ1X2T,Y2TAQQ=μ2Y2T,

l=l1+l2

3 问题求解

根据闭凸集定义，容易证明集合SE是一个非空的闭凸集。因此,对任意给定的矩阵A*∈Rn×n,由最佳逼近定理可得本文所讨论问题的解是唯一的。

引理4 设矩阵X,Λ,Y,μ如(1)式所示,则

XΛX+,XX+,YμY+,YY+∈RSRn×n。

引理5Rn×n=RSRn×n⊕RASRn×n。

证明 (i)对任意矩阵A∈Rn×n,都可写作：

A=A1+A2,

(ii)假设存在A∈RSRn×n∩RASRn×n, 则RAR=A，RAR=-A,于是A=0,即RSRn×n∩RASRn×n={0}。

(iii)对任意的A1∈RSRn×n,A2∈RASRn×n,(A1,A2)=tr(A2TA1)=tr(-RA2TRRA1R)=-tr(RA2TA1R)=-tr(A2TA1)=-(A1,A2),于是(A1,A2)=0。

综上可得，结论成立。

(2)

(3)

显然，‖A*-A‖=minA∈SE等价于

(4)

又EA0G=(In-YY+)(XΛX++(YT)+μYT(In-XX+))(In-XX+)

=(In-YY+)((YT)+μYT(In-XX+))=0

因此,(3)式等价于

(5)

[1]杜玉霞,梁武.R对称矩阵左右逆特征值问题的有解条件[J].佳木斯大学学报：自然科学版,2011,29(2):285-289

[2]F Z Zhou,X Y Hu,L Zhang.The solvability for the inverse eigenvalue problems of centro-symmetric matrices[J].Linear Algebra Appl,2003,364:147-160

[3]W F Trench.Inverse eigenproblems and associated approximation problems for matrices with generalized symmetry or skew symmetry[J].Linear Algebra Appl,2004,380:199-211

[4]X P Pan,X Y Hu,L Zhang.A class of constrained inverse eigenproblem and associated approximation for symmetric reflexive matrices[J].Numer Math，2006,15:227-236

[5]G X Huang,F Yin.Constrained inverse eigenproblem and associated approximation for anti-Hermitian eigenvalue R-symmetric matrices[J].Appl Math Comput,2007,186:426-434

[6]F L Li,X Y Hu,L Zhang.Left and right inverse eigenpairs problem of skew-centrosymmetric matrices[J].Appl Math Comput,2006,177:105-110

[7]W F Trench.Characterization and properties of matrices with generalized symmetry and skew symmetry[J].Linear Algebra Appl,2004,377:207-218

Keywords:R-symmetricmatrix,leftandrightinverseeigenvalues,optimalapproximation.

(责任编辑：汪材印)

The Study of Non-linear Singularly Perturbed Boundary Value Problems with Turning Points

ZHANG Lei1,2，SHI Juan-rong2

1.Anhui Normal University,Anhui Wuhu,241000; 2.Anhui Technical College of Mechanical and Electrical Engineering, Anhui Wuhu, 241000

In this work a kind of non-linear singularly perturbed boundary value problems with turning points is studied. The method of matched asymptotic expansions is first used to construct the outer layer solutions, and by introducing the stretched variable, three kinds of interior layer solutions atx=x0are obtained. Prandtl matching principle is used to get the positions of the turning points and to determine the first-order uniform asymptotic expansions. The obtained results show a high degree of accuracy by comparing with the numerical solution.

singular perturbation;turning points;non-linear;prandtl matching principle

The Optimal Approximation Solution for Left and Right Inverse Eigenvalue Problems ofR-Symmetric Matrices

DU Yuxia1,LIANG Wu1,ZHANG Wenjun2

1.School of Mathematics and Statistics,Su Zhou University，Suzhou,Anhui,234000 2.Suzhou No.2 Middle School,Suzhou,Anhui, 234000

10.3969/j.issn.1673-2006.2015.04.026

2014-12-26

杜玉霞(1981-)，女，山东定陶人，硕士，助教，主要研究方向：矩阵方程。

O151.21

A

1673-2006(2015)04-0091-03