一类具有转向点的非线性奇摄动问题

张 蕾,史娟荣

1.安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖，241000； 2.安徽机电职业技术学院基础教研室，安徽芜湖，241000



一类具有转向点的非线性奇摄动问题

张 蕾1,2,史娟荣2

1.安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖，241000； 2.安徽机电职业技术学院基础教研室，安徽芜湖，241000

讨论了一类具有转向点的非线性奇摄动问题，首先用渐近展开法构造出该问题的外部解，通过引入伸长变量，得到在x=x0附近三种不同情形的内层解；利用Prandtl匹配原理，找到转向点的准确位置，并求出该问题的一阶一致有效的渐近展开式。最后将求得结果与数值解进行比较，得到较高的精度。

奇摄动；转向点；非线性；Prandtl匹配原理

1 问题的提出与分析

非线性奇摄动问题中的一个典型例子：

εy″+yy′-y=0，0

y(0)=α，y(1)=β

其中，ε>0是小参数，α,β为给定的常数。Cole和Nayfeh[1]等人曾对它展开了深入的探讨，近年来，国内有关学者[2-8]也就相关问题展开了系列研究。本文以一种更为简便的方法讨论如下奇摄动方程的转向点问题：

εy″-yy′+yex=0，0

(1)

y(0)=1，y(1)=-1

(2)

其中，ε>0是小参数。因为y(0)=1，y(1)=-1，所以至少存在一点x0∈(0,1)使得y(x0)=0，在此假设仅存在一点x0∈(0,1)使得y(x0)=0，那么当0≤x0，则方程(1)-(2)在x=x0处出现内层现象。

2 外部解

令方程(1)的外部解渐近展开式的形式为：

(3)

将(3)式代入(1)和(2)式,并令等式两边ε0的系数相等,可得到：

解得：Y0=0(舍去),或Y0=ex+c0(其中c0为任意常数)。

因此，有外部解：

Y0(x,ε)=ex+c0+O(ε),

(其中0<ε<<1)

(4)

将边界条件(2)式代入(4)式可得方程(1)的左右解分别为：

接下来构造方程(1)在x=x0处的内层解。

3 构造在x=x0附近的内层解

(5)

令方程(1)在x=x0附近的内层解的渐近展开式的形式为：

(6)

将(6)式代入(5)式并令等式两边ε0的系数相等,则有：

(7)

(8)

(9)

(10)

(3)当c1=0时，则(8)式可表示为：

(11)

其中(9)、(10)和(11)式中的b0,b1,c2,c3,c4需通过匹配来确定。

4 内层解与外部解的匹配

(12)

5 复合解

综合可得方程(1),(2)的复合解为：

(13)

利用不动点定理[10]，可以证明上述(13)式是方程(1),(2)解的一致有效的渐近展开式。

6 匹配渐近解与数值解的比较

取ε=0.1，将利用模拟方法得到的数值解曲线和利用匹配方法得到的渐近解曲线的图形进行比较，如图1所示。

由图1可以看出方程(1),(2)的匹配解和模拟数值解的曲线非常接近，这意味着匹配渐近解具有较高的精确度。

图1 匹配渐近解与模拟数值解的曲线图比较

[1]HolmesMH.IntroductiontoPerturbationmethods[M].NewYork:Springer-Verlag,1999:105-153

[2]MoJQ,WangH.TheshocksolutionforquasilinearsingularlyperturbedRobinproblem[J].ProgressinNaturalScience,2002,12(12):945-947

[3]MoJQ,ZhuJ,WangH.Asymptoticbehavioroftheshocksolutionforaclassofnonlinearequations[J].ProgressinNaturalScience,2003,13(10):768-770

[4]莫嘉琪.一类拟线性Robin问题的激波解[J].数学物理学报,2008,28(5):818-822

[5]LiuSD,XuHQ.Aclassofsemilinearboundaryvalueproblemswithnonmonotoneinteriorlayerbehavior[J].MathAppl,2009,22(3):631-636

[6]史娟荣,刘树德.一类具有内激波层的奇摄动非线性问题[J].安庆师范学院学报:自然科学版,2010,16(3):8-11

[7]史娟荣,刘树德.一类具有激波层现象的二次Dirichlet问题[J].安徽理工大学学报:自然科学版,2012,32(1):22-25

[8]周康荣.一类奇摄动非线性方程的激波解[J].中山大学大学学报:自然科学版,2004,43(S1):6-8

[9]刘树德,鲁世平,姚静荪,等.奇异摄动边界层和内层理论[M].北京:科学出版社,2012:5-25

[10]JagerEMDe,JiangFR.Thetheoryofsingularperturbation[M].Amsterdam:NorthHollandPubl,1996:22-47

10.3969/j.issn.1673-2006.2015.04.025

2014-11-25

张蕾(1978-)，女，安徽安庆人，讲师，主要研究方向：应用微分方程。

O

A

1673-2006(2015)04-0089-03