一类接触率受到噪声干扰的随机SIS流行病模型研究

张艳宏,　许超群,　原三领

(上海理工大学 理学院,上海　200093)



一类接触率受到噪声干扰的随机SIS流行病模型研究

张艳宏,许超群,原三领

(上海理工大学 理学院,上海200093)

1问题的提出

流行病动力学是对流行病的流形规律进行理论性定量研究的一种重要方法.与传统的生物统计学方法相比,动力学方法能更好地从疾病的传播机理方面来反映流行规律,能使人们了解疾病流行过程中的一些全局性态[1].因此,针对某类疾病建立数学模型并分析其动力学行为受到了许多研究者的关注[2-4].

对于某些以细菌为媒介的传染病(如淋病、脑炎、白喉、霍乱等),染病者康复后不会产生免疫力,可能再次被感染.针对此类流行病,Kermack等[5]在1932年提出了如下形式的SIS模型

(1)

许多学者基于模型(1)做了进一步的研究工作[6-10].如文献[6]考虑了一类具有季节变化和脉冲接种控制的流行病模型,得到了无病平衡点稳定和疾病持续存在的条件; 对于含有时滞的SIS流行病模型,文献[7]证明了地方病平衡点的全局稳定性和疾病的持续性; 袁艳燕等[8]建立了一类含染病期时滞且考虑因病死亡的SIS流行病模型,证明了无病平衡点的全局稳定性和地方病平衡点的局部稳定性.

注意到以上的研究工作均考虑的是确定性模型,而现实环境中存在各种各样的随机因素,疾病的传播过程不可避免地会受到环境噪声的影响.因此,对随机环境中流行病的传播进行数学建模与研究开始受到人们的广泛关注[11-15].如Zhou等[11]研究了一类随机SIR模型,并讨论了平稳分布的存在性.文献[12]考虑了一类恢复率受到环境噪声影响的随机SIS模型,证明了无病平衡点的稳定性和随机模型解的振荡行为,并得到了疾病平均持续和灭绝的充分条件.

然而,流行病在传播过程中，接触率往往更容易受到环境噪声的影响.本文将在模型(1)的基础上考虑接触率受到噪声影响的情形,即

式中：B(t)是标准布朗运动;α代表噪声强度.此时,可以建立如下随机SIS流行病模型

(2)

下面将首先证明模型(2)正解的全局存在唯一性与有界性,再讨论该解在不同条件下的渐近行为,最后通过数值模拟验证所得理论结果.

2正解的全局存在唯一性与有界性

设正数η0使得S0>η0且I0>η0,则对任意的η≤η0,定义停时

另外,由模型(2)可得

设X(t)是如下方程的解

由比较定理得

S(t)+I(t)≤X(t)≤

(3)

定义函数

则V显然正定.由伊藤公式得

dV=LVdt+α(I-S)dB

其中,

结合式(3)可知

因此

dV≤Kdt+α(I-S)dB

对上式两端从0到τη∧T积分,并取期望得

令Ωη={τη≤T},则P(Ωη)>δ成立.对任意的ω∈Ωη,根据停时的定义可得S(τη,ω)与I(τη,ω)至少有一个等于η,于是

所以

V(S0,I0)+KT≥EV(S(τη∧T),

I(τη∧T))≥E[IΩηV(S(τη∧T),

I(τη∧T))]=E[IΩηV(S(τη,ω),

I(τη,ω))]=P(Ωη)V(S(τη,ω),

式中:IΩη为Ωη的示性函数.令η→0,得到如下矛盾

因此,τ0=∞,a.s.

由式(3)的证明过程可得如下结论：

即随机模型(2)的解是有界的.

3随机模型(2)的动力学行为

定理3当R0≤1时,随机模型(2)的无病平衡点E0随机渐近稳定.

证明通过变换y1=S-S0,y2=I,模型(2)转化为

(4)

为证明模型(2)的无病平衡点随机渐近稳定,只需说明模型(4)零平衡点随机渐近稳定.

定义函数

则V的正定性显然.由伊藤公式得

dV=LVdt+α(y1+S0)y2dB

其中,

LV=2(y1+y2)[-μ(y1+y2)-εy2]+

因为

所以

因此,模型(4)的零平衡点随机渐近稳定,即随机模型(2)的无病平衡点E0随机渐近稳定.

定理4当R0>1时,随机模型(2)的解(S(t),I(t))满足

其中(S*,I*)是确定性模型(1)的地方病平衡点.

证明定义如下函数

则V的正定性显然.由伊藤公式得

(5)

其中,

注意到当R0>1时,模型(1)地方病平衡点(S*,I*)满足Λ-μ(S*+I*)-εI*=0,因此

对式(5)两端从0到t积分可得

(6)

其中,

显然M(t)为连续的局部鞅,M(0)=0且

根据大数定律[16]可得

结合式(6)得

即

证明因为R0>1,由定理4可得

注意到

2(S*)2-2S*S=2S*(S*-S)≤

(S*)2+(S-S*)2

即

因此

同理可得

定理2.4随机模型(2)的解(S(t),I(t))满足

证明定义函数V(I)=lnI,由伊藤公式得

对上式从0到t积分得

注意到

所以

4数值模拟

本文利用计算机模拟来说明所得理论结果的正确性,模拟过程采用Euler-Maruyama方法.固定初值(S0,I0)=(0.7,0.3)和参数Λ=0.2,μ=0.2,γ=0.1,ε=0.2,通过变化其他参数值得到仿真结果.其中,蓝色虚线和绿色实线分别表示确定性模型(1)和随机模型(2)的解曲线.

首先,取参数β=0.2,α=0.5,模拟结果如图1所示.此时R0=0.4≤1,满足定理3的条件.从图1中可以观察到随机模型(2)的无病平衡点E0=(1,0)随机渐近稳定,验证了定理3的结论.

再取参数β=0.6及两个不同的噪声强度值:(a)α=0.20,(b)α=0.04,模拟结果如图2所示.此时R0=1.2>1,满足定理4的条件.从图2的(a)组或(b)组均可以观察到随机模型(2)的解围绕确定性模型(1)的地方病平衡点E*=(0.83,0.083)振荡,并且(b)组的振荡幅度明显小于(a)组.这与定理4的结论一致.另外图2也说明了随机模型(2)的持续性,即验证了定理5的结论.

图1　随机模型(2)与确定性模型(1)的解曲线(R0≤1)

图2　随机模型(2)与确定性模型(1)的解曲线(R0>1)

图3　噪声强度较大时随机模型(2)与确定性模型(1)的解曲线

5总结与讨论

考虑随机环境中的一类染病者康复后不会产生免疫力的流行病,并且疾病在传播过程中接触率会受到噪声的影响,针对此类流行病建立了随机SIS模型并分析了模型的动力学行为.

首先利用停时理论,验证了随机模型正解的全局存在唯一性和有界性.当R0≤1时,通过Lyapunov分析方法证明了随机模型无病平衡点的渐近稳定性; 当R0>1时,利用随机过程的相关性质得到了随机模型的解将围绕确定性模型的正平衡点振荡,并且振荡幅度与噪声强度正相关的结论.值得注意的是,定理5和定理6说明了当R0>1并且噪声强度较小时,随机模型是平均持续的,而强度较大的噪声会促使疾病灭绝.

相对确定性模型,本文考虑的随机SIS模型得到的结论更加符合客观实际,更有助于深入了解流行病的传播规律.另一方面,由于流行病在现实环境中的传播过程十分复杂,并且会受到许多因素的影响,所以下一步的研究工作是构建其他形式的随机流行病模型,并研究其动力学行为.

参考文献：

[1]陆征一,周义仓. 生物数学进展[M].北京: 科学出版社,2006.

[2]Gumel A B,McCluskey C C,van den Driessche P.Mathematical study of a staged-progression HIV model with imperfect vaccine[J].Bulletin of Mathematical Biology,2006,68(8):2105-2128.

[3]周艳丽,张卫国.一类具有非单调传染率的SEIRS时滞传染病模型的全局稳定性[J].上海理工大学学报,2014,36(2):103-109.

[4]Shan C H,Zhu H P.Bifurcations and complex dynamics of an SIR model with the impact of the number of hospital beds[J].Journal of Differential Equations,2014,257(5):1662-1688.

[5]Kermack W O,Mckendrick A G.A contribution to the mathematical theory of epidemics[J].Proceedings of the Royal Society of London,1927,115(772):700-721.

[6]Liu X Z,Stechlinski P.SIS models with switching and pulse control[J].Applied Mathematics and Computation,2014,232:727-742.

[7]翟院青,原三领,袁艳燕.一类具有变人口规模的含时滞SIS流行病模型的全局稳定性[J].上海理工大学学报,2012,34(3):267-271.

[8]袁艳燕,原三领,翟院青.一类具有变人口规模的含时滞SIS流行病模型的稳定性分析[J].上海理工大学学报,2012,34(1):27-31.

[9]Busenberg S,Cooke K L.The effect of integral conditions in certain equations modelling epidemics and population growth[J].Journal of Mathematical Biology,1980,10(1):13-32.

[10]van den Driessche P,Watmough J.A simple SIS epidemic model with a backward bifurcation[J].Journal of Mathematical Biology,2000,40(6):525-540.

[11]Zhou Y L,Zhang W G,Yuan S L.Survival and stationary distribution of a SIR epidemic model with stochastic perturbations[J].Applied Mathematics And Computation,2014,244:118-131.

[12]许超群,原三领,张同华.一类随机SIS流行病模型全局正解的渐近行为[J].工程数学学报,2013,30(6):804-814.

[13]徐丽筱,张天四,黄晓鑫.一类具有饱和发生率的随机SIRS模型全局正解的渐近行为[J].上海理工大学学报,2013,35(6):541-546.

[14]Jiang D Q,Yu J J,Ji C Y,et al.Asymptotic behavior of global positive solution to a stochastic SIR model[J].Mathematical and Computer Modelling,2011,54(1/2):221-232.

[15]Zhao Y N,Jiang D Q.The threshold of a stochastic SIRS epidemic model with saturated incidence[J].Applied Mathematics Letters,2014,34:90-93.

[16]Mao X R.Stochastic differential equations and applications[M].Chichester:Horwood Publishing,2007.

(编辑:董伟)

第一作者： 刘凌(1976-),女,讲师.研究方向:代数学.E-mail:liulingmath@163.com

摘要：研究了一类接触率受到环境噪声干扰的随机SIS流行病模型.利用停时理论及Lyapunov分析方法,证明了该随机模型正解的全局存在唯一性与有界性.当相应的确定性模型基本再生数小于1时,证明了随机模型无病平衡点的随机渐近稳定性;当确定性模型基本再生数大于1时,揭示了随机模型的解围绕相应的确定性模型地方病平衡点的振荡行为;当确定性模型基本再生数大于1并且噪声强度较小时,证明了随机模型的解是平均持续的.另外,得到了强度较大的环境噪声可以导致疾病灭绝的结论.最后,数值模拟验证了所得理论结果的正确性.

关键词：随机SIS模型; 随机稳定性; 振荡行为; 平均持续; 疾病灭绝

Stochastic SIS Epidemic Model with Contract Rate Influenced by NoiseZHANG Yanhong,XU Chaoqun,YUAN Sanling

(College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

Abstract：A stochastic SIS epidemic model was analyzed,considering that the contact rate is influenced by environmental noise.The global existence,uniqueness and boundedness of its positive solution were proved by using the stopping time theory and Lyapunov analysis method.The stochastic asymptotical stablility of the disease-free equilibrium point was proved when the corresponding deterministic basic reproduction number is less than 1.It is also shown that the solution of the stochastic model oscillates around the corresponding deterministic endemic equilibrium point when the deterministic basic reproduction number is more than 1,and is of mean persistency when the deterministic basic reproduction number is more than 1 and the noise intensity is small.Besides,it is concluded that the large noise can make the disease extinct.Numerical simulations were carried out to prove the validity of theoretical results.

Key words：stochastic SIS model; stochastic stability; oscillating behavior; mean persistence; disease extinction

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11101284,11201303,11301340);上海市自然科学基金资助项目(12ZR1420300);沪江基金资助项目(B14005)

收稿日期：2014-10-20

DOI：10.13255/j.cnki.jusst.2015.06.002

文章编号：1007-6735(2015)06-0517-03

中图分类号：O 175.1

文献标志码：A