石墨烯约瑟夫森电流的推导与计算

李瑞琴　李东翔　甘　松

(1、2、3.安顺学院数理学院，贵州　安顺561000)



石墨烯约瑟夫森电流的推导与计算

李瑞琴1李东翔2甘松3

(1、2、3.安顺学院数理学院，贵州安顺561000)

摘要：结合相对量子力学的狄拉克方程和超导体的Bogoliubov-de Gennes(BdG)方程，文章通过紧束缚近似，得到了石墨烯哈密顿量的BdG方程，通过对这个BdG方程进行自洽求解，研究了石墨烯SNS (superconductor-normal conductor-superconductor) Josephson结中的约瑟夫森电流。

关键词：石墨烯；紧束缚近似；约瑟夫森电流

引言

自2004年，K.Geim等人成功制备出二维单层石墨烯以来，由于石墨烯特殊的电子特性，吸引了大量科学家们对其理论和应用方面的研究，很快对石墨烯这种材料的研究成为凝聚态物理研究的热点[1-4]。文章主要以二维石墨烯的晶体结构为基础，利用平均场近似的方法，得到石墨烯的BdG方程，然后对BdG方程进行自洽计算求解，从而研究由石墨烯组成的Josephson结(超导石墨烯-普通石墨烯-超导石墨烯)中的约瑟夫森电流。通过对石墨烯约瑟夫森电流的研究对石墨烯的超导电性的研究起一定的指导意义[5]。

1模型

为了研究石墨烯SNS约瑟夫森结中的约瑟夫森电流，图1为基于石墨烯的二维晶格结构图。根据石墨烯的晶体结构，利用有效紧束缚近似，采用平均场近似(Hartree-Fock)的方法，石墨烯的哈密顿量可写为[6]

(1)

其中，s波超导配对势

(2)

由于二次量子化下的超导准粒子库伯对的哈密顿算符不能直接对角化，所以平均场哈密顿量(2)式需要通过以下的二维波戈留波夫正则变换：

(3)

对角化后的哈密顿量就可写为：

(4)

利用准粒子费米子算符和满足的反对易关系，另外再根据(4)式，推出以下的对易关系：

[H，γvσ]=-Evγvσ

(5)

如果用k来标记晶格中的某一原胞，则在此原胞中湮灭一个自旋为σ′的A类原子的电子的算符,可表示为fkσ′从而可以得出:

[H,fkσ′]=

(6)

[H,gkσ′]=

(7)

考虑到玻戈留波夫变换(3)式，得出:

[H,fk↑′]=

(8)

另外，[H,fk↑]的另一种表达形式可以表示为：

(9)

比较(8)式和(9)式，可以得出：

(10)

同理，可得另一组方程

(11)

按照图1原胞标记方式，将(10)和(11)两式的k对应于图1中的(n,m)，扩展到整个晶格系统，易得出整个系统的哈密顿量。

下面推导石墨烯中超导配对势的自洽表示。根据费米子准粒子算符γ和γ+满足的平均值关系，则费米狄拉克分布函数f(En)满足如下形式:

(12)

结合(3)式和费米子准粒子算符γ和γ-1满足的平均值关系，可以得出

(13)

(14)

因此，石墨烯超导配对势的自洽条件(2)式可写为

(15)

根据费米子准粒子γ和γ+满足的反对易关系和平均值关系，以及费米狄拉克分布函数满足的(12)式，考虑石墨烯的锯齿型边界，每个横截面的约瑟夫森电流

(17)

(18)

3模拟计算的结果与讨论

文章通过改变石墨烯SNS约瑟夫森结中超导区S区和正常导电区N区的化学势，研究了约瑟夫森结中的约瑟夫森电流，如图2所示。由图可得石墨烯SNS约瑟夫森结中的约瑟夫森电流与S区和N区的化学势的选取有关，当S区和N区的化学势都位于范霍夫奇点时，其约瑟夫森电流最大。另外，文章又通过改变约瑟夫森结长度，研究了其约瑟夫森电流的变化，如图3所示。从图中可以看出，约瑟夫森电流与其约瑟夫森结的长度也有关，约瑟夫森结中间的正常导电区域越短，约瑟夫森电流越大。导致其结果的主要原因是由于约瑟夫森结中超导区S区和正常导电区N区界面存在近邻效应和Andreev反射。

4结论

总之，通过研究发现石墨烯SNS约瑟夫森结中约瑟夫森电流会受到SN界面的近邻效应和Andreev反射的影响。因此，在以后研究石墨烯SNS约瑟夫森结中的其他超导电性，都不能忽略其界面中的近邻效应和Andreev反射的影响。

参考文献：

[1]K. S. Novoselov, A.K.Geim, S. V. Morozov, et al. Electric field effect in atomically thin carbon films [J]. Science, 2004, 306: 666~669.

[2]H. B. Heersche , Pablo Jarillo-Herrero, Jeroen B. Oostinga, et al. Bipolar supercurrent in graphene[J]. Nature (London), 2007,56:446.

[3]Bruno Uchoa, A. H. Castro Neto.Superconducting States of Pure and Doped Graphene[J]. PRL, 2007,98:146801~146805.

[4]P.G.de Gennes. Superconductivity of Metals and Alloys[M].

Los Angeles: Westview Press,1999, 137~159.

[5]M. Annica. Black-Schaffer. Self-consistent solution for proximity effect and Josephson current in ballistic graphene SNS Josephson junctions[J]. Phys. Rev. B, 2008, 78:024504~024511.

[6]A. H. Castro Neto F. Guinea, N. M. R. Peres, et al. The electronic properties of graphene[J]. Rev. Mod. Phys., 2009,81:109~162.

(责任编辑：王德红)

2.李东翔(1987.03～)，山西长治人，安顺学院数理学院讲师。研究方向：离子物理。

The Deduction and Calculation of Josephson Current in Graphene SNS Josephson Junctions

Li Ruiqin1Li Dongxiang2Gan Song3

(1、2、3.School of Mathematics, Anshun University,Anshun561000,Guizhou,China)

Abstract：Combined with the relative quantum mechanics of the Dirac equation and superconduct of Bogoliubov-de Gennes (BdG) equation we get the Bogoliubov-de Gennes (BdG) equation of the tight-binding Hamiltonian for the graphene lattice system.Based on the self-consistent solution of the BdG equations, we investigate the Josephson current in SNS (superconductor - normal conductor -superconductor ) Josephson junction of graphene .

Key words:Graphene；Tight-binding approximation；Josephson current

中图分类号：O472

文献标识码：A

文章编号：1673-9507(2015)01-0122-03

作者简介：1.李瑞琴(1986.07～)，山西吕梁人，安顺学院数理学院讲师，硕士。研究方向：理论物理。

收稿日期：2014-11-20