利用波利亚“怎样解题表”提高习题教学价值

唐剑琴

（浙江省杭州市文海实验学校）

乔治·波利亚（G.Polya，1887-1985 年）是美籍匈牙利数学家、教育家、数学解题方法论的开拓者，他通过自己数十年的教学与科研经验，对解题过程进行了深入分析，致力于探索解题过程的一般规律，主要表现在他的解题表上。

一、波利亚的“怎样解题表”

波利亚在“怎样解题表”中将解题分为4 个步骤：（1）你必须理解题目。即明了未知量是什么？已知量是什么？条件是什么？题目所要求的是什么？（2）拟订方案。找出已知数据与未知量之间的联系或者考虑辅助问题，并具体拟定一个求解的计划。（3）执行你的方案即实现求解计划。（4）回顾检查已经得到的解答，检验每一步骤。在这4 个步骤中，第一步是认识题目的过程，这一步是成功解决问题的前提。第二步主要是通过“已有的知识基础和解题经验，探索题目的解题思路”，这一步是解题的核心内容和关键环节。第三步虽然是整个解题的“主体”，但整个解题思路已经打开，只需要对题目的信息资源进行一次逻辑配置，因此这一步完成较为容易。由于第三步的完成就代表着整个题目解题的结束，因此很多老师和学生忽视了第四步，而第四步同样是解题的关键。第四步中所说的“回顾”，即验算所得到的解，并将结果和方法试着用于其他问题；此外，每一个阶段又有一系列启发性问句，譬如：未知数是什么？（在证明题中要求证什么），已知数据是什么？你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同、你能利用它吗？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？你能用别的方法推导出这个结果吗？通过对这些问题的回顾可以提高学生对题目的认知能力，进而提高他们的解题能力。

二、波利亚“怎样解题表”在几何教学中的应用举例

题目：如图1 所示，正方形ABCD 中，点E 是BC 中点，AE⊥EF，EF 与正方形的外角∠DCP 的平分线相交于点F。

图1

求证：AE=EF

1.“弄清问题”阶段，教会学生形成正确的审题方法

数学问题的给出是通过“数学语言”达到的。符号语言简洁抽象，图形语言直观形象，而文字语言则通俗易懂。教师可以教学生利用数学语言的转换来培养学生好的审题习惯，形成正确的审题方法。对于本题，要求他们尽量将题目中的已知条件直观地体现在图上，一看就能明白。这样用简洁明了的图形呈现的视觉形象进行问题表征，能简化看似复杂的问题，减轻工作记忆的负担，称之为标图。另外，还要注意引导学生挖掘已知条件与所求问题之间的关系，特别是挖掘题目中的隐含条件。针对这一题目，我们首先要弄清题目中的题设和结论：题设1，四边形ABCD 为正方形，学生应想到正方形的所有性质；题设2，E 是BC 中点，应想到BE=EC，且是BC 的一半；题设3，AE⊥EF，除想到∠AEF 是直角外，还应推出∠AEB+∠FEP=90°的关系；题设4，CF 为直角∠DCP 的角平分线，可推出∠DCF=∠PCF=45°；结论，AE=EF。为养成良好的解题习惯，学生应将上述题设在图中做出标注，以方便对题目隐含条件的探索和利用。本题目中的BE=EC，AE⊥EF，∠DCF=∠PCF=45°都应在图中做出标注，标注方法如图2 所示。此外，上述4 个题设还蕴含着一些其他条件，学生在分析题设过程中应当尽可能找出这些隐含条件，并在图中做出标注。如根据题正方形的性质可以看出∠AEB+∠BAE=90°的关系，而结合题设3 中的∠AEB+∠FEP=90°的关系，可以推出∠BAE=∠PEF 的关系。由此可见，在“弄清问题”阶段，学生除弄清题设中的已知条件外，还应尽可能多地分析出已知条件所蕴含的“隐形条件”，这样才能为下一步做好充分准备。

图2

2.“拟订计划”阶段，充分暴露思维过程，传授解题策略

（1）“拟订计划”途径探究

很多时候，解题的过程并不是从已知条件到问题目标，而是从问题目标层层向上反推的过程，这时教师应该引导学生考虑以前是否见过它？是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道一个可能用得上的定理？考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。能否利用它的结果或方法？为了利用它，是否引入某些辅助元素？能否用不同的方法重新叙述它？回到定义去。如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。是否利用了所有的已知数据？是否利用了所有条件？是否考虑了包含在问题中所有必要的概念？

上课时要善于向学生暴露思维过程。当学生问到某些较困难的问题时，一定要和学生共同思考，寻找解决问题的思想方法。著名数学家希尔伯特在哥尼斯堡大学学习时，他常常把自己置于危险境地，对要讲的内容总是现想现推。这样一来，就使得同学们有机会瞧一瞧高明的数学思维过程如何进行，数学家是如何接受挑战的。俗话说：失败乃成功之母，有时候，失败的教训往往能使成功的过程更加深刻。例如，本题可分析如下：

从结论出发：要证边等，通常有哪些方法？（如果两条边在同一大三角形中，可以考虑等腰三角形“等角对等边”性质，通过证明角等来证边等；如果两条边在两个不同三角形中，可以考虑通过证明三角形全等来证对应边相等。）

学生经过简单比较后，通常能发现本结论显然适合寻找含AE 和EF 的两组不同的三角形，通过证三角形全等的方法解题。从条件出发，以AE 为斜边Rt△ABE 已经存在，引导学生思考应该寻找以EF 为斜边的直角三角形，不难想到过F 点作BC 边的垂线段FH，则可以得Rt△EFH，由“k”型相似，再证Rt△ABE≌Rt△EFH，从而具体拟定了一个求解的计划。

其次，教师应指导学生对数学解题过程进行分析、归纳，把解题过程进行概括、提炼，形成数学学习最重要的内容——数学的思想和方法。指导学生理解和运用数学思想方法，传授中学数学解题常用的解题策略：模式识别、问题转化、以退求进、正难则反等等。例如本题辅助线FH 实际上与CD 平行，与题中的角平分线CF，等腰△FCH 组成了知二可以求证余一的基本图形，因此辅助线的添法就可以有作BC 的平行线或作CF 的中垂线与BC 交于点H 三种不同的表述方法，虽是同一条线段，但因做法不同也就能起到活跃学生思维的作用。

（2）具体教学计划

针对这一题目，可拟定如下教学计划。首先，引导学生全面认识已知条件，让学生对题干的已知量和所求量有一个深刻的认识，除题干中的已知量以外，还应引导学生在“弄清问题”阶段所提及的隐含条件。其次，探索适合本题的解题方法，引导学生思考证明两边相等的方法，本题应引导学生转变思维，由结论反推证明方法。最后寻找所确定解题方法的“充分条件”，完成解题；学生在确定通过证明三角形全等来证对应边相等后，引导学生构造对应的三角形，即Rt△ABE 和Rt△EFH，而学生根据已知条件很容易证明Rt△ABE 和Rt△EFH 相似，因此，证明本题的关键就在于寻找证明两直角三角形中的任意对应边相等这一“充分条件”；在实际教学中，很多学生都会因找不出证明对应边相等的方法而无法做出解答，造成这一现象的主要原因就是学生找到“Rt△ABE 和Rt△EFH 相似”这一条件后，没有继续探索这一条件所隐含的条件，即可通过BE=0.5AB 推出FH=0.5EH，进而结合CH=FH（FC 是平分线，三角形FCH 是等腰直角三角形）推出FH=EC=BE 这一关键条件。所以，当学生遇到困难时，可引导学生继续探索隐含条件，进而推出所要求的结论。如图3 所示：

图3

3.“实现计划”阶段，明确解题思路，规范解题过程

清晰规范的解题思路是学生正确并迅速解题的关键，这就要求教师在教学过程中重视对学生“科学、严谨解题”品质的培养。另外，规范学生的解题思路，可以帮助学生认清题目所考查的知识点，进而加深学生对题目知识点及解题方法的印象，并提高学生的解题能力。因此，在平时的教学中，应严格按照规范的解题过程给学生讲解解题思路，并且严格规范学生平时作业解答思路，鼓励学生认真、合理地运算。帮助学生克服解题过程中的惰性，以防止学生养成不认真解题的习惯。例如，在本题中，在证明“Rt△ABE 和Rt△EFH 相似”时的思路都很清晰，但当证明“FH=BE”相等时，很多学生所表现的就是“明知FH=BE，却不知怎样用数学语言表达出来”，在解题实施过程中就会显得“思路不严谨”，为此，教师应严格按照上述图1 所示的解题思路，让学生明白整个证明过程的“来龙去脉”。

4.“回顾”阶段，加强解题后的反思教学

所谓解题后的反思是指在解决了数学问题后，通过对审题过程、解题思路、解题途径、题目结论的反思来进一步暴露数学解题的思维过程，从而开发学习者的解题智慧，以达到事半功倍，提高中学生数学学科自我监控能力的目的。教师可以在课堂小结时，适时地对某种数学思想方法的关键点或要素进行概括、强化和揭示，对它的内容、规律、运用等有意识地适度点拨。

（1）善用一题多解，加强解题方法的运用

在解题过程中，一些题往往有多解，通过一题多解的练习，一方面可以加强学生对题目理解，另一方面可以训练学生对解题方法的运用能力，并通过不同的解题思路来寻找解题的最佳途径和方法，培养学生的发散性思维。通过一题多解的练习题，对巩固知识、增强解题能力、提高学习成绩大有益处。在问题解决之后，教师可根据情况进行适当的一题多解、一题多变、多题组合，注意数学思想和方法的总结、提炼和升华，进一步拓展学生的思维平台，优化解题过程。不断地引导学生进行解题后的反思，使学生完成自我意识、自我评价、自我调整的过程，提高中学生数学学科自我监控能力。

例如，在本题中，要证明AE=EF，需要将这两条边放置在不同的三角形中，多数学生会想到放置在Rt△ABE 和Rt△EFH中，这种方式是将AE 所在的△ABE 固定，寻找相似的另一个△EFH。按照同样的思路，可以将EF 所在的△EFH 固定，寻找另一个相似三角形。因此，需要做AB 的中点G，连接EG，如图4 所示，这样就将所求转化成求证△AEG≌△ECF，学生很容易用找到∠GAE=∠CEF、AG=EC、∠AGE=∠ECF 这三个条件，进而证明已知结论。

还可以反过来推，要证明AE=EF,因为∠AEF=90°，则只需证明△AEF 是等腰直角三角形，也就是只需证明∠EAF=∠EFA=45°，题中出现正方形，容易想到对角线平分一组对角，就会出现45°角，所以如图5 连接AC，同时想到CF 是外角平分线，所以∠ACF=90°，故A、E、C、F 四点共圆，且AF 为直径，根据圆周角定理，∠AFE=∠ACB=45°，问题得以解决。

图4

图5

这样通过改变解题方法，学生就会和之前的解题方法进行比较，如比较各种解题方法的简易程度、优缺点等，由此激发学生的学习兴趣和爱好。

（2）从特殊到一般中渗透辩证思维

数学题目并不是固定不变的，某一类型题有时可以采用同样的方法解答。学生在解题过程中，可以轻松解决一些“特殊化”的题目，而将这些“特殊化”的题目改成一般形式后，很多学生就会觉得无从下手，而这种“从特殊到一般”的题型正是近几年考查学生解题能力的主要形式之一。因此，将“特殊化”的题目改成“一般性”的题目，可以使学生在解题过程中理解这种“从特殊到一般”的数学思维，进而提高解题能力。例如，本题可让学生总结一下几何证明题的一般方法，点E 运动过程中的几种情况分类，如图6，弱化条件，将“点E 是BC 的中点”弱化为“点E 是直线BC上任意一点”，其他条件都不变，则结论是否成立？

图6

（3）善用一题多变，提高解题能力

在实际教学中，有一些隐含条件或关键条件很难想出，教师可以利用变式教学，将题设条件或结论作相应的变化，按照一定的梯度设置变式题，慢慢引导学生进行全面思考。如对那些铺垫题、迁移题、深化题的练习，会使学生快速反馈，并能通过变式练习，将所学知识串成一线，联成一体，从而激发学生的学习热情，使学生达到充分感受学习数学的魅力。

例如，本题可以引导学生思考将题目的条件和结论做一互换，得到解决相关的问题，从而增强了学生的数学素质，提高了数学解题能力。

变式1：正方形ABCD 中，点E 是BC 中点，AE⊥EF，AE=EF，连接CF.

求证：CF 平分正方形的外角∠DCP。

还可以针对题目作出进一步的探索，如改变图形的背景，将题目改为：如图7 在△ABC 中，点E 是BC 上一动点，∠AEF=60度，AE=EF，连接CF。

求证：CF 平分△ABC 的外角∠DCP。

图7

还可以让学生自己反思和总结，图形背景可不可以换成任意的正多边形呢？你还能提出类似的问题并尝试解决吗？

在中学数学的解题教学中，教师不仅要传授学生相关知识，还要重视学生解题能力的培养，不仅要培养学生解决一般问题的能力，还要培养学生的创造能力、独立思考能力和想象力。波利亚就主张选择有代表性的题目，发掘各个侧面的题目，通过不同的角度展开解题训练。这样才能在保证学生掌握基础知识的同时，提高学生的学习兴趣和学习效率。所以，教师积极学习波利亚解题理论，将波利亚的解题思想积极运用到教学实践中，就可以避免孤立的知识教学和就题讲题的教学方式，将知识概念化、系统化、结构化，帮助学生有效实现知识的整合和方法的迁移，激发他们的数学学习热情。

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