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基于应用型人才培养模式下的贝叶斯公式教学

2015-02-17刘国祥杨永霞张晓丽由向平李玉毛赤峰学院数学与统计学院内蒙古赤峰024000

赤峰学院学报·自然科学版 2015年1期
关键词:概率论与数理统计应用能力教学设计

刘国祥,杨永霞,张晓丽,刘 冬,由向平,李玉毛(赤峰学院 数学与统计学院,内蒙古 赤峰 024000)



基于应用型人才培养模式下的贝叶斯公式教学

刘国祥,杨永霞,张晓丽,刘冬,由向平,李玉毛
(赤峰学院数学与统计学院,内蒙古赤峰024000)

摘要:贝叶斯公式是《概率论与数理统计》中的一个重要公式,同时也是教学中的一个难点.根据笔者的教学经验,谈了对这一教学内容的教学设计和一些体会,探讨改革教学模式,渗透数学文化等措施.

关键词:概率论与数理统计;贝叶斯公式;教学设计;人才培养;应用能力

基于应用型人才培养模式的教学改革,文[1]讨论了《概率论与数理统计》课程改革探索与实践,文[2]讨论了课程教学方法的改革.现在针对“贝叶斯公式”一堂课,讨论课堂教学.

贝叶斯公式是《概率论与数理统计》课程中的最重要公式之一,也是在现实生活中应用非常广泛的公式.它既涉及到全概率公式,又涉及到条件概率,是概率论课程教学中的一个重点,同时也是教学的一个难点.教学中常常出现以下问题:一是公式复杂,难于理解与记忆;二是应用困难,易与全概率公式混淆;三是对公式的作用认识模糊,不利于解决实际问题.针对上述弊端,基于应用型人才培养模式,我们对于贝叶斯公式的讲解给出新的尝试,并在教学中取得了良好的效果.

1 关于课题的引入

中小学数学教学,几乎每一节课,都需要有导言或者引例,有的学校定有制度,也几乎被人接受.至于高等学校数学教学,是否需要导言、引例等,不同的人有不同的认识.有人喜欢用,有人几乎不用.我们认为,要根据课程的特点,适当地选用简单明了的引例.宁缺毋滥,以防冲淡主要教学内容.当然,简单通俗的导言,应该尽量有,但是要精心设计.总结多年的教学,对于“贝叶斯公式”的教学,有效果比较好的两种方式.

1.1复习三个重要公式,启发导出贝叶斯公式

学生在前面的课堂学习中,已经对条件概率、乘法公式和全概率公式有了一定的了解和认识,本次课前先对这三个公式进行复习,板书,以备后用.

我们知道,全概率公式,简单的说是“已知原因求结果”.那么,在实际当中会不会遇到“已知结果求原因”的情况呢?启发引导学生思考该如何表述,如何解决.

也就是,“事件B发生了”——结果,那么它是由于“事件Ai发生导致的的概率有多大”——究其原因.那么,用严谨的数学式子表示就是:P(Ai|B),如何计算呢?这是条件概率,其中分子P(AiB)用到乘法公式,分母P(B)中用到全概率.写出来就是:

这就是贝叶斯公式,也叫逆概率公式.推导过程,就是基本的证明.简单明了,重点突出.

1.2通过简单易懂的实例,引入贝叶斯公式

引例一定要简单明了,最好来自于生活,学生易懂.切忌叙述过于复杂,有图有表有视频,分散了学生的注意力.

引例某学院新生有三班级,其中一班男生20人,女生30人;二班男生30人,女生20人;三班男生25人,女生25人.任意选择一个班级,再从中任意选一名学生做学生会主席,结果他是男生,问他是一班的概率是多少.

学生对这个背景非常熟悉,不需要常识介绍,马上就可以转入对问题的思考.

分析用Ai表示事件“学生会主席是i班的”,其中i=1, 2,3.

用Bi表示事件“学生会主席是男生”.

事件A1,A2,A3是完备事件组,相互独立.

问题“任意选择一个班级,再从中任意选一名学生做学生会主席,结果他是男生,他是一班的概率”,就是求概率P(A1|B).根据条件概率、乘法公式和全概率公式,计算:

比较两种引入方法,我们更欣赏第一种.认真看看,第二种只是在第一种的基础上加了一个实际背景,计算、推导都一样,反而增加了对两个条件概率P(Ai|B)和P(B|Ai)理解.我们强调重视应用意识培养,但是比一定必须要“实际——理论——应用”的统一模式.向第一种那样“旧理论——新理论——(新)应用”也未尝不可.

2 贝叶斯公式及其证明

有了前面的导入,下面很容易写出完整的贝叶斯公式.这里要注意,公式一定要完整严谨,前边引出公式不完整、不严谨的地方,一定要详细说明,例如:A1,A2,A3,…,An是完备事件组(样本空间的一个划分).

定理(贝叶斯公式)如果试验E的样本空间为S,事件A1,A2,A3,…,An是完备事件组,B是E的事件,并且P(B)>0,P (Ai)>0,(i=1,2,3,…,n),则有

这一节课最简单的一点就是贝叶斯公式的证明,根据条件概率、乘法公式和全概率公式,可以直接写出.其实(4)就是比较完整的证明.

难点在于公式中对两个条件概率P(Ai|B)和P(B|Ai)=理解在“谁”的条件下,求“谁”的概率?在这里事件B“是结果”,它发生了,它是由于Ai发生“造成的”.根据全概率公式,B的发生由各个Ai发生都可能“造成”.每一个Ai发生而“造成”的可能性多大?这就是P(Ai|B).

3 通过典型例题,加深理解,强调应用

在现实生活中,贝叶斯公式有非常广泛的应用,如在疾病诊断、质量控制、安全监控等方面都发挥了重要的作用.在教学实践中,我们怎样科学合理地设置应用案例,将知识性与趣味性相互结合,能够培养学生思维的深刻性.

第一个例题应该比较简单,可以说是公式的直接套用,让学生学会使用这个公式.如果引例不是前边的例子,这里可以作为例题1.否则可以选用一般教材上的“三个工厂生产同一种产品,合格率”问题,第一问应用全概率公式,第二问应用贝叶斯公式.难度不大,容易理解.

第二例可以以不容易理解,甚至可能造成理解错误疾病诊断为例.这个例题在多本教材上出现,但是讲解都不深刻.武汉大学教材用了很长篇幅,但是没有说到重点上.

例题根据以往的临床记录,某一地区患有某种癌症的发病率为0.005.患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95,正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人,试验反应是阳性,问此人是此病患者的概率有多大?

题目难度不大,设A={抽查者患有癌症},B={抽查者实验反应呈阳性}.那么={抽查者不患有癌症}.

对于这个结果怎样理解?P(B|A)=0.95说明95%的患者都能够检查出来(漏诊未查出来只有5%);P(B)=0.02说明只有2%的误诊(或者说没有病,认为有病).这表明检查水平比较高,但是,P(A|B)=0.1927,也就是,其正确性不足20%?

如果将这个实验用于普查,就是化验呈阳性的人真正患有这种癌症的不足20%.“其正确性不足11%”[5]的结论是不对的.教学中,对这个结果引导学生进一步分析,“某一地区患有某种癌症的发病率为0.005”,就是说这里平均1000人中有5人患这种病.而“P(A|B)=0.1927”说的是,检查呈阳性的人群中,10000人中大约有1927人患有这种癌症.二者比较0.1927÷0.005=38.54.这说明的是,“检查呈阳性的人群患有这种癌症”是“普通人群患有这种癌症”的38.54 倍.借用“非典”的说法,“疑似”人群是普通人群的21.32倍.这种检查是有意义的.

再进一步思考,检查呈阳性了,“疑似”了,怎么办?复查呗.对“疑似”人群进行复查.注意,这时候P(A)=0.1927,那么P()=1- 0.1927=0.8078.P(B|A)=0.95,

这就是说,对于“疑似”的人,复查检查仍然呈阳性,那么,他患有这种癌症的概率就从19.27%提高到91.89%,是“疑似”的0.9189÷0.1927=4.77倍,是普通人群的0.9189÷ 0.005=183.78倍,基本可以“确诊”.

当然,在医疗过程中医师根据经验,只有怀疑有这种癌症的人才做这种检查,也就是先筛查,发病率也远远不是0.005.

4 融入数学建模思想,培养应用意识

高等教育教学中,不但让学生学会数学,最重要的是要会用数学,用数学来分析问题、解决问题,也就是应用相应的数学理论知识去建立数学模型的能力.将数学建模思想方法融入数学类主干课程中已经成为教师的共识,但是什么时候融入,什么课程适合融入,怎么样融入,是我们一直在探索的课题.我们认为,贝叶斯公式就是非常适合的一个内容.

案例1:“拼写纠正”问题:在文字输入时,我们发现当用户输入了一个在字典中不存在的单词时,我们就需要去猜测,他到底真正想输入的单词是什么呢?用概率论中我们形式化的语言来叙述就是,我们需要求:P(他真正想输入的单词|他实际输入的单词)这个概率,并且找出那几个使得这个概率最大的猜测单词,甚至于对他们排序.比如用户输入:thew,那么他到底是想输入the,还是想输入thaw?到底哪个猜测可能性更大呢?

案例2:“通讯信号估计”问题:通讯系统由信源、信道、编码、译码和干扰源等几部分组成.信源发出来的消息是随机的,而由于信道中存在干扰,进入信道的某个信号,从信道出来的信号可能就不再是这个信号了.我们的问题是,当接收到一个信号后,进入信道的信号到底是什么?

案例3:“股票行情分析”问题:为了分析预测一支股票未来一定时期内的价格变化,我们可以分析影响股票价格的因素,比如利率的变化.若该支股票上涨了,试分析确实是由于利率下调引起股票上涨的概率.

5 简单介绍数学家,了解数学史,渗透数学文化

在课堂上适当介绍数学史与数学家,特别是概率论与数理统计学学家,渗透数学文化[2].一是能够减少课堂枯燥,二是提高学生兴趣,三是使学生初步了解科学发展的基本脉络.

托马斯•贝叶斯(Thomas Bayes,1701—1761)英国牧师,业余数学家.他生前是位受人尊敬英格兰长老会牧师.为了证明上帝的存在,发明了概率统计学原理,非常令人遗憾的是,他的这一愿望至死也未能实现,当然,也不可能实现.贝叶斯在数学方面主要研究概率论,他将归纳推理法用于概率论基础理论,创立了贝叶斯统计理论,对于统计推断、统计决策函数、统计估算等做出了重要贡献.1763年发表了这方面的论著,对于现代概率论和数理统计都有很重要的作用.贝叶斯的另一著作是发表于1758年的《机会的学说概论》.

贝叶斯所采用的许多术语被沿用至今.贝叶斯思想和方法对概率统计的发展产生了深远的影响.现在,贝叶斯思想和方法在许多领域都获得了广泛的应用,

6 结语

任何人,当然包括学生,要善于总结,进行反思.古人讲日三省其身,“省”什么,其中重要方面就是总结与反思.即使不能对事物进行事前准确预测,但是事后必须总结反思,做个“事后诸葛亮”.如果“失了街亭”,要反思其原因,这是因为什么.“一来是马谡无谋少才能,二来是将帅不和”“才失了街亭”.再跟深入地问一句,因素“马谡无谋少才能”和“将帅不和”各自占多大的比例.哪一个是决定性的.这就用到贝叶斯方法.

参考文献:

〔1〕刘国祥,等.应用型人才培养模式下概率论与数理统计课程改革探索与实践[J].赤峰学院学报,2014(11).

〔2〕张晓丽,刘国祥,等.应用型人才培养模式下《概率论与数理统计》课程教学方法的改革与探讨[J].赤峰学院学报,2015(4).

〔3〕程小红.贝叶斯公式的几个应用[J].大学数学,2011,27(2).

〔4〕魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2004.

〔5〕盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计教程(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2008.6.

〔4〕李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].工程数学学报,2005(8):2-7.

〔6〕叶其孝.微积分教学中融入数学建模的思想和方法[J].数学通报,2014(3):40-47.

〔7〕百度百科.http://baike.baidu.com/view/77778.htm?fr=a1-addin,2014.09.28.

基金项目:赤峰学院教学改革研究项目(JGXM201427)

中图分类号:G642

文献标识码:A

文章编号:1673- 260X(2015)01- 0227- 03

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