平面四参数坐标转换模型的改进与应用研究

孙小荣 李明峰 刘支亮

1 宿迁学院建筑工程系，宿迁市黄河南路399号，223800

2 中国矿业大学国土环境与灾害监测国家测绘地理信息局重点实验室，徐州市大学路1号，221116

3 南京工业大学测绘学院，南京市浦珠南路30号，211800

对法方程病态时最小二乘解挠动较大的问题，我国学者进行了大量研究［1－4］。在坐标转换方面，文献［5－12］证明布尔沙七参数模型在小区域（100km×100km 范围内）应用时，平移参数与旋转及尺度变化参数之间是强相关的，导致解算模型病态；文献［13］对多项式拟合模型病态性问题进行研究。在坐标转换中，判断法方程系数矩阵是否病态的方法有很多，但具体病态到什么程度，没有一个严格的界限，也没有一种判别和处理病态的绝对有效方法。目前，坐标转换中最常用的模型是平面四参数模型（也称平面相似变换模型），但对其病态问题的研究较少。本文在判定平面四参数模型法方程系数矩阵病态的基础上，采用中心化与缩小系数法相结合，来改善法方程系数矩阵的病态性，获得稳定可靠的转换参数，为区域工程测量中平面坐标转换提供参考。

1 经典平面四参数模型

平面四参数模型用于点在不同平面直角坐标系间的转换。假设有两个分别位于不同基准的平面直角坐标系O1－x1y1和O2－x2y2，将O1－x1y1下坐标转换为O2－x2y2下坐标的模型如下［14］：

式中，x1、y1和x2、y2为某点分别在O1－x1y1和O2－x2y2下的平面直角坐标；α为旋转参数（x1轴相对于x2轴的坐标方位角）；m为尺度参数；x0、y0为2个平移参数（原点O1在O2－x2y2中的坐标）。

公共点在两个坐标系的坐标之差为：

令a1＝mcosα－1，a2＝msinα，上式可写为：

写成矩阵形式为：

在实施坐标转换的局部区域，均匀选取若干公共点，将这些公共点的坐标差Δx、Δy视为“观测量”。设这些观测量的改正数为vΔx、vΔy，根据最小二乘法原理，由观测方程（4）列出误差方程，进而组成法方程，求解转换参数，最后将转换参数回代入式（1）即可完成坐标转换。

因误差方程系数矩阵B中的元素x1、y1的值很大，由公共点计算得到的法方程系数矩阵中最大元素与最小元素之比近似为1013量级，引起法方程系数矩阵病态。对于病态方程组，即使采用稳定的算法，求解时也必然出现解的不稳定现象，得不到令人满意的结果［13，15］。

2 改进的平面四参数模型

鉴于经典平面四参数模型存在的问题，本文通过调整误差方程系数矩阵的元素值，改进法方程系数矩阵的结构，减小其病态性。总的方法是将原经典模型绕原点O1旋转改为绕某点P旋转，具体步骤如下。

图1 平面四参数转换Fig.1 Planar four parameters transformation

1）将O1－x1y1的原点O1平移到某点P，形成一个过渡坐标系P－xPyP；

2）假设有垂直于xPyP平面的zP轴，以P点为旋转点，将P－xPyP绕zP轴旋转α，使经过旋转后的P－xPyP与O2－x2y2的同名坐标轴平行；

3）将P－xPyP中的长度单位缩放m倍，使其与O2－x2y2的长度单位一致；

4）将O1分别沿x2、y2轴移动－x0、－y0，使其与原点O2重合。上述转换过程可用数学公式表达如下：

改进模型的形式同经典模型，也包括4个转换参数，其中平移参数的含义相同，但旋转和尺度参数的含义不同，α、m为由P－xPyP转换到O2－x2y2。上式将测区坐标进行了中心化处理，当xP、yP都为0时，即为经典模型，相当于绕O1点旋转。

上式中，x1′＝x1－xP，y1′＝y1－yP，是测区中心化后的坐标；xP、yP为P点在O1－x1y1下的平面直角坐标，是公共点源坐标的平均值；其他变量含义同经典模型。假设测区有n个公共点，为第i点的坐标，则：

为进一步改善法方程系数矩阵的病态性，还需要对误差方程系数中的元素施加适当的缩小因子k，即在前面求出x1′、y1′的基础上，令

k的取值由测区范围确定，例如测区范围在100km×100km 左右，则中心化后的坐标均小于106量级（以m 为单位），此时可取k＝106；若k取值过大，也会造成矩阵主对角线元素不占优，法方程系数矩阵病态。通过上面两个步骤，有效降低了误差方程系数矩阵中最大元素与最小元素的比值，改善了法方程系数矩阵的结构。

列误差方程时，以经过中心化与缩小系数处理后的坐标x1″、y1″代替式（4）系数矩阵B中的原始公共点坐标x1、y1，此时式（4）变为：

3 实例分析

3.1 试验数据

某一测区东西长约21km，南北长约25km，网中共13个三等GPS点，分布如图2所示，具有WGS－84和西安80 坐标系下的平面直角坐标。选择G01～G09等9 个点作为公共点求取转换参数，并以它们的WGS－84 坐标均值作为P点坐标，其余的G10～G13等4个公共点作为检核点，取k＝103。设计经典模型和改进模型两种试验方案，分析在这两种方案下模型的病态性、稳定性和精度。

图2 控制点分布示意图Fig.2 Distribution of control points

3.2 模型的病态性

3.2.1 各参数之间的相关性

两种方案各参数之间的相关性分别见表1、表2。

表1表明，经典模型x0与a1之间强相关，y0与a2之间强相关；表2表明，改进模型4个参数之间完全不相关。

表1 经典模型参数之间的相关性Tab.1 Correlation between the classical model parameters

表2 改进模型参数之间的相关性Tab.2 Correlation between the improved model parameters

3.2.2x0、y0与a1、a2之间的相关性

本文计算得两种模型的法方程系数矩阵的条件数分别为4.8×1018、87，经典模型严重病态；而改进模型的条件数小于103，不病态，法方程性能大大优于经典模型。原因是本文试验数据对工程而言，这是一个较大的控制网，但相对于高斯投影分带仍是较小区域，即坐标值差别较小。此时，式（1）右端的第2项对每个点都基本相同，即旋转和尺度参数对每个点的影响基本一样，而平移参数对每个点的影响是相同的。因此从数值上可以看出，对于小区域，平移参数与旋转尺度参数之间存在强相关。而改进模型以P为旋转点，其误差方程系数矩阵中的元素值减去了P点坐标，即进行了中心化处理，同时也施加了缩小系数，在很大程度上改善了观测结构，使得参数之间不存在相关性，估计的参数结果稳定可靠。

3.3 模型的稳定性

为了验证模型的稳定性，本文将G01点的西安80平面直角坐标作微小变化，即将该点的x增大0.01m、y减少0.015m，其余点的坐标不变，分别用变化前后的坐标求解转换参数，结果见表3。

由测区公共点在两坐标系的坐标差可知，测区近似的平移参数为x0≈6m，y0≈－123m，模型求解的2个平移参数值应近似等于该值。表3中，改进模型变化前后的平移参数均能反映出应有的近似值，经典模型的平移参数明显偏离应有值，且4个参数之间数量级差别很大，a1、a2的系数几乎为0，说明仅有平移参数在转换中发挥作用，这与实际情况不符，这是因为法方程系数矩阵的病态性造成转换参数之间量级的巨大差异。

表3 两种情况的转换参数及其精度Tab.3 Transformation parameters and precision in both cases

另由表3可知，变化前2个平移参数精度相同，a1、a2精度也相同，即精度均匀，变化后也有类似的结果。坐标的微小变化引起经典模型平移参数和精度较大的改变，分别达到m 级和dm 级，而仅引起改进模型平移参数及精度的微小变化，都为mm 级。可见，经典模型平移参数的精度和稳定性均远低于改进模型，坐标变动越大，改进模型优势越明显。

3.4 模型的精度

由变化前后的参数分别得到13个点的两次平面直角坐标。经比较发现，变化前两种模型转换得到的公共点与检核点坐标相同，变化后两模型结果也相同，但对于同一模型，变化后的精度略低于变化前。这是由于G01点的精度偏低引起的，应选择质量高的点作为公共点。精度统计见表4。

表4 转换精度统计／mmTab.4 Statistics about transformation accuracy／mm

虽然经典模型的平移参数精度与稳定性差，但对转换结果却无影响。原因是经典模型参数之间相关性大，故参数有多组解，即当公共点坐标稳定时，参数值唯一；当公共点坐标有微小变化时，参数值有较大变化。但不同的参数值都是经典模型的解，都满足经典模型，因此转换结果一样。对于改进模型，本文计算的所有公共点与P点的距离最大为15.6km，最小为3.3km，平均为8.6 km。由表3可知，公共点绕P点旋转，0.000 105的a1变化量和0.000 344的a2变化量引起的坐标变化量最大分别为1.6mm 和5.4mm。尽管a1、a2的变化量较大，但由于距离短，对坐标值的影响很小。

4 结 语

1）经典平面四参数模型采用原始坐标，模型存在严重的病态性，无法获得稳定可靠的转换参数；通过测区坐标中心化及误差方程缩小系数处理，可明显减小法方程系数矩阵元素的数量级差异，使模型达到良态，可获得稳定可靠的转换参数。

2）尽管经典模型严重病态，但转换结果仍然可用，且与改进模型的转换结果完全相同，公共点坐标的质量对转换结果有一定的影响。

本文的改进模型为区域工程测量中的平面坐标转换提供了参考，建议用改进模型代替经典模型。

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