部分有界不确定性数据平差方法

陈晓林 宋迎春 邹 渤

1 中南大学地球科学与信息物理学院，长沙市麓山南路932号，410083

在测量数据处理中，存在观测方程系数矩阵有误差且有界的情形［1－3］。经典高斯－马尔柯夫模型显然不是最合适的方法。总体最小二乘法虽然同时顾及系数矩阵的随机误差和观测值矩阵的随机误差［4－5］，但忽略了系数矩阵和观测值误差“有界”这一先验信息，会对系数矩阵过度校正或改正不足［6－7］。文献［8］运用奇异值分解方法，给出不确定性平差模型、不确定性处理方法以及误差分析等；文献［9］提出基于线性矩阵不等式（LMI）的参数估计方法；文献［10］提出用遗传算法来解决线性系统系数矩阵存在不确定性扰动的问题。实际上，系数矩阵并不一定都有误差，或是系数矩阵的误差不一定有确定界限，可能系数矩阵中只有部分块存在有界误差。基于此，在不确定性数据平差方法的基础上，给出了部分有界不确定性数据处理的函数模型、平差准则和解算方法。

本文运用部分有界不确定性数据平差方法来解算四参数向量问题。对仿真数据进行解算，并将解算结果与普通最小二乘、总体最小二乘结果进行比较。结果表明，运用部分有界不确定性数据平差方法对部分有界不确定性数据进行处理能得到有效的参数结果。

1 平差模型

假设系数矩阵A有A1、A2分块，A1子块数据是正确的，A2子块的有界随机误差δA2，满足‖δA2‖F≤ηA。观测值的有界随机误差满足‖δL‖F≤ηL，用以下数学模型表示：

在测量领域，最小二乘准则用于处理只有观测值有误差的测量问题，总体最小二乘平差准则用于处理系数矩阵和观测值矩阵都有误差的情形。显然，这两种方法都可以对上述问题进行处理，但因为忽略了误差有界这一条件，会出现过度校正或改正不够。基于此，对上述部分有界数据问题给出min－max平差准则［11］：

这一平差准则的意义是在先验信息条件下使式（2）的最大值达到最小。由此，首先讨论上式的内层极大化问题，即

根据范数的三角不等式，有：

当且仅当

时，式（4）取等号。此时，

由此，平差准则（2）等价于：

求解此最小值问题，先对函数求导后求极小值，再求定义域内的最小值。设目标函数为：

根据范数不等式，f（x1，x2）对x1、x2在定义域内是凹函数，因此目标函数f（x1，x2）的极小值在偏导数为零或不可导处取得，所以当时可取得极小值。这时，有：

在式（9）、（10）等号两边乘以‖A1x1＋A2x2－L‖F，并顾及A＝［A1，A2］，x＝［x1，x2］T，有：

或

其中，

由式（9）、（10）可知，目标函数的不可导点满足x2＝0或A1x1＋A2x2－L＝0。

1）x2＝0时，原问题变为求参数x1，此时可直接用最小二乘方法求解，其解为，原问题的一个极小值点为。

2）A1x1＋A2x2－L＝0 时，不存在任何观测误差，与平差的假设不符。由式（12）知：

令

式（14）化为：

式（16）等式右边的u是由x和x2组成的表达式，不能直接求解。此式与文献［8］中的式（14）在形式上完全一致，只是u的表达式不一样，而由于本文中的u是矩阵形式，不能直接用文献［8］中的式（14）进行计算。此外，此式在形式上与部分岭估计［12］也一致，只是部分岭估计的岭参数只是一个改善法方程矩阵ATA病态性的拉格朗日乘常数，并没有具体的意义，而（15）式u中的α为‖Ax－L‖F与‖x2‖F的比值。

先对矩阵A进行奇异值分解：

其中，U是m阶正交矩阵，V是n阶正交矩阵，Σ＝diag（λ1，λ2，…，λn），λ1≥λ2≥…≥λn＞0，λi（i＝1，2，…，n）为A的奇异值。对UTL进行分块，令

此处，L1为n维向量，L2为m－n维向量。

对V进行与u相同的分块，有：

式中，［V21V22］为V的分块。

综合式（13）、（20）和（22），有：

式中左右两端都包含α，需通过迭代求解。迭代步骤如下：

1）给定α的初始值；

2）将u0代入式（23）得到α1；

将α值回代入式（16），可以解得x。将两个极小值点取得的极小值进行比较即得最小值，最小值点处的参数就是所求结果。

2 实例与数据分析

通过一个坐标转换算例来验证上述方法的有效性。假设某点在地方独立控制网中的坐标为（xi′，yi′），对应的新坐标系中的坐标为（xi，yi），地方独立控制网原点在新坐标系中的坐标为（x0，y0）。本算例中假设有3个公共点，按文献［13］的坐标转换模型可建立如下误差方程：

其中，a＝x0，b＝y0，c＝mcosα，d＝msinα，m为尺度比因子，α为旋转角。式中系数矩阵前两列为常数，后两列是旧坐标系中的坐标。由于技术条件、观测方法、测量仪器等影响，旧坐标与新坐标不可避免地存在误差，因此系数矩阵的第3、4列和观测向量存在误差。设参数真值为［3.336 4.289 0.309 0.951］T，系数矩阵为6行4列，用A表示，且前两列无误差。给第3、4列加入随机误差，观测向量用L表示，其真值由系数矩阵真值与参数真值计算所得，并加入随机误差（表1）。

通过计算可以得出，‖δA2‖F＝0.311 5＜0.32，‖δL‖F＝0.227 1＜0.23。因此，设ηA＝0.32，ηL＝0.23，由此建立部分有界不确定性平差模型：

解算的参数见表2，x列为本文方法计算的参数结果，xLS、xTLS列分别为最小二乘法、总体最小二乘法［14－15］解算得到的参数值。

表1 系数矩阵与观测值矩阵的真值和加入的随机误差Tab.1 The true value and random error of coefficient and observation

表2 平差结果Tab.2 The adjustment results

上述3种平差方法得到的参数结果与真值比较如表3。

表3 平差结果与真值的差值Tab.3 The difference between adjustment results and true value

单从参数的偏差平方和看，部分有界不确定性数据平差方法精度高于其他两种方法，最小二乘法的‖δA‖F＝0，总体最小二乘法的‖δA‖F＝0.029 7，按本文得出的‖δA‖F＝0.320 0。算例中，总体最小二乘法对系数矩阵不确定性的估计不足，与平差模型中的先验信息不符，最小二乘法则没有对系数矩阵的误差进行改正。

将3种方法得到的参数解和改正后的系数矩阵代入数学模型，可得到L的平差值。3种方法的平差值与真值之差的平方和分别为由于最小二乘法的原理是使偏差平方和最小，所以最小，由此必然会有

综上所述，3 种方法各有优点。在遇到这种带有部分有界约束的已知先验信息的问题时，本文方法是有效的。

3 结 语

针对系数矩阵部分存在有界误差的问题，本文基于min－max平差准则，得到解决这个问题的参数平差方法。这一平差准则顾及了系数矩阵的有界约束这一先验信息。通过一个与坐标转换有关的实例对本文方法进行验证，并将解算结果与最小二乘法、总体最小二乘法进行比较。结果表明，本文方法是处理系数矩阵误差部分有界问题的有效方法。

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