立几入门教学的再探究

高春丽

摘 要：立体几何是研究几何图形的性质及其应用的一门科学，是培养学生逻辑思维能力、空间想象能力及分析和解决问题能力必须具备的重要知识，也是高考年年必考的重要内容。由此立体几何的学习就显得尤为重要，笔者积累了以下几点，供分析与探究。

关键词：立体几何；入门教学；数学语言

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）24-224-01

一、注重学生作图，识图能力的培养

作图、识图是学习几何的基本功，作为培养空间思维的立体几何，其知识的掌握程度常常取决于我们对空间图形认识和掌握程度，图形绘制的正误优劣往往关系到问题解决的成败，忽视图形绘制过程的合理性，将直接影响题目信息的呈现和利用，导致受阻。因此，解决好立几问题的第一步是绘制出直观、规范、简洁、准确的图形。但从平面观念过渡到空间观念，对学生来说有一定困难，因为他们已习惯了平几的那一套，形成了强大的思维定势，初学立几，往往会从平几的角度来认识、理解空间图形问题，这就极大地妨碍了三维空间的建立。为此可采用几何模型、实物演示，让学生多角度“写生”等，以缩小对空间图形的陌生感和距离感，从中悟出空间图形与平面图形的差异与联系，从而正确、合理地作出图形。如本人在高二（下A）第10页的例1教学中，根据题意需画出空间四边形ABCD及过AB、AD的中点E、H，CD、CB上的点F、G（其中F、G满足CF/CB=CG/CD=2/3）的四边形EFGH。对此，先让学生理解空间四边形的定义，之后让学生将一矩形纸片沿一条对角线对折，并让对折后的两三角形不在同一平面内，这时再让学生观察，得出“矩形的四个顶点不在同一平面内”，照此实物就可画出空间四边形，并强调为增强图形的立体感，应将折痕（即矩形的一条对角线）一并画出来，如图中BD。最后，再让学生找出实物中的E、H、F、C四点，并观察想象它们构成的四边形面与己知两三角形面间的位置关系，从而画出四边形EFGH，并将被它遮住的部分画成虚线。这样，经过一段时间的训练，学生的画图能力明显提高。

在学生具有了一定的作图能力之后，还要注重学生识图能力的培养。如在学习了相交面的画法之后，可让学生辩识图1中的哪个画法正确。掌握了空间图形的画法规则后，让学生说明图2中，各图形的不同之处；这样，经过正、反两方面的训练，同学们的识图、作图能力必会更上一层楼。

（a） （b） （c）

图2

二、掌握三种数学语言的互译

数学语言是解决数学问题必不可少的重要工具，尤其在立几中，掌握立体几何的数学语言是学好立几的重要基础。数学语言按其所使用的主要词汇分为三种：文字语言、图形语言、符号语言；文字语言言简意赅，寓意深刻，符号语言简明扼要，国际通行；图形语言形象生动，记忆深刻，它是联系文字语言、符号语言的桥梁。这几种语言各有所长，对开发同学们思维的敏捷性、条理性、层次性都有重要意义。因而在立几学习中，应充分发挥不同语言的教育功能，掌握好三种语言的互译。笔者在立几入门教学中，对每个定义、定理、公理都要求学生会用三种语言来表达，对例习题也做同样的要求。经过一段时间的训练，不仅学生运用语言的能力大大提高，而且也加深了对定义、定理的理解，培养了学生准确的表达能力，规范的解题能力和空间想象能力。

三、学会立几、平几间的转化、类比

平几是立几的基础，立几是平几的延伸与拓展，它们之间有着紧密的联系。立体几何中的许多定理、公式、法则都是平几的定理、公式、法则在空间的推广，有些问题的处理思想和方法也有许多相似之处。因此，如果在立几问题中注意联想平几中类似问题的图形与解法，从平几问题中得到启发，适当添加辅助线、面，将分散的元素进行集中，将各种关系体现在同一个平面图形内，就可化未知为已知，化立几为平几，从而使问题迎刃而解。比如求空间的距离时，主要是设法作出各种距离和构造三角形，从而在三角形中应用勾股定理、正余弦定理等来求解。再如求空间的各种角，通过平移、旋转、割补、射影、作截面等手段，往往可将隐藏的关系集中显现出来，将问题归结到一个联系己知量和待求量的基本图形——三角形中去讨论，从而将线线角、线面角、二面角化归为三角形的内角，然后利用解三角形的知识就可求解。在解题思路和思维方法上，立几也可类比平几。比如平几中可用面积法证明“三角形内任一点到各边距离之和等于定值”。在空间可用体积法证明类似的命题：“正四面体内任一点到各面的距离之和为定值”。这样的例子很多，在此不再赘述。

以上是立几入门教学的三个中心环节，只要教师在平时的教学工作中帮助学生过好这三关，相信立体几何的学习必会取得丰硕的成果。