高职数学线性规划问题建立数学模型教学方法小议

马耀勇

数学规划模型是在实际问题的数学建模中应用最广泛的模型之一，也是运筹学的一个重要分支。在生产实践中，经常要制定使问题的某一项指标“最优”的方案，这里的最优包括“最大”“最小”“最多”“最少”等。如：如何合理地分配、使用有限的资源（人力、物力及资金等）以获得“最大收益”等诸如此类的问题，就是所谓的数学规划问题。数学规划又分为线性规划、非线性规划 、整数规划、动态规划等。

求一组变量非负值，满足由变量的线性方程式或线性不等式构成的约束条件，且使作为变量线性函数的目标函数取最优值（最大值或最小值），这样的问题称为线性规划问题。

线性规划问题应明确三样东西：决策变量、目标函数和约束条件。

决策变量：它们是决策者所控制的那些数量，它们取什么数值需要决策者来决策，最优化问题的求解就是找出决策变量的最优取值。

目标函数：它代表决策者希望对其进行优化的那个指标。目标函数就是指标与决策变量之间的函数。

约束条件：它们是决策变量在现实世界中所受到的限制，或者说决策变量在这些限制范围之内取值才有实际意义。

高职学生在学习高职数学线性规划内容时，对建立线性规划数学模型觉得有困难.本文主要是根据自己在教学中的经验，通过几个实际例子，来说明建立线性规划问题数学模型的方法。建立线性规划问题的数学模型都可归结为下面三个步骤：

（1）设立决策变量；

（2） 用决策变量的线性函数表示目标（即建立目标函数），并确定目标求最大还是最小值；

（3） 明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等式表示，根据决策变量的实际意义确定变量是否有非负性。解题思路见下面的图1。

图1

下面通过几个例子来说明。

例1.（生产规划问题）某厂生产A、B、C 三种产品，需要耗费的资源（人力、物力 、财力）、获得的利润、备用资源如下表：

问该厂应如何安排生产，才可获最大利润？最大利润是多少？解题思路见下面图2。

图2

解：设产品A、B、C分别生产x1、x2、x3单位，总利润为S，则问题的数学模型为

注意：此题中“x必须满足的约束条件”是根据耗费的资源（人力、物力 、财力）不能超过备用资源，产量 xi（i=1，2，3）必须非负。

例2.（运输问题）设有两个砖厂A1、A2，其产量分别为23万块、27万块，它们生产的砖供应B1、B2、B3三个工地，其需要量分别为18万块、17万块、15万块。而知道各产地Ai到各工地Bj（i=1，2；j=1，2，3）运价如下表。问应如何调运，才使总运费最省？

解：设砖厂Ai供应工地Bj砖块的数量为xij （i=1，2； j=1，2，3），则问题的数学模型为：

minS=50x11+60x12+70x13+60x21+110x22+60x23

将以上模型输入Mathematica 模型，可以得到最优解（值）：

x11=6，x12=17，x13=0，x21=12，x22=0，x23=15，minS=2940.

例3.（下料问题）某家具厂需要长80厘米的角钢150根与长60厘米的角钢330根，这两种长度不同的角钢由长210厘米的角钢截得，工厂应如何下料，才使得用料最省.

设第i种下料方案的原材料根数为 ，则问题的数学xi（i=1，2，3），模型为

将以上模型输入Mathematica 模型，可以得到结果：最优解为x1= 0， =150 ， =10 ，最优值S=160 ，即按方案2用料150根，方案3用料10根下料，一共160根，用料最省。

【参考文献】

[1]何品荣.数学管理方法.北京：人民邮电出版社，2013.endprint