巧建中学数学模型

摘 要：本文主要举例说明如何在物理、化学、生物等学科中建立数学模型，实现数学与其它学科的巧妙转换，优化解题过程，快速解决问题。

关键词：中学数学模型；数学建模；模型教学

随着素质教育的全面展开，各个学科之间的知识彼此渗透，尤其是数学与其他学科之间的联系越来越紧密，许多数学的典型方法在其他学科的应用越来越广泛。因此，数学建模教学越来越受到中学数学教学的重视。

数学这一学科应用建模的方法解决问题是无可厚非的，在中学阶段，数学以外的许多学科，例如物理，化学，生物，同样可以巧妙的建立数学模型，优化解题过程，快速解决问题。

一、巧建数学模型，解决物理问题

[问题] 训练军犬跳过高度为h的障碍，已知起跳位置距离障碍距离是L，起跳速度为v0，越过障碍的速度为vt，问起跳速度v0的最小值是多少？

[分析] 此题为速度分解问题，如图所示，速度v0与水平面夹角为α，由于军犬的初始速度v0是矢量，因此可以平移（如图），平移后设v0与vt的夹角为θ，则有

如图所示，以三角形面积相等作为标准，可以建立等式，再根函数的单调性确定v0的最小值。

解：如图所示，由已知得：

图中三角形面积设为S，则有

所以，三角形的面积S是一个定值，与其它的量无关。

由机械能守恒定律可得到关系式：

又因为vt是关于v0的单调函数，θ在[0，90°]区间内单调递增，当sinθ最大时，即当θ=90o时，v0取最小值，即

上述物理问题是速度分解部分的典型习题，考察学生对速度的相关性质和知识点的掌握。在求解物理问题的过程中，首先，学生必须扎实的掌握物理的基本概念和基本规律，在此基础上，通过巧妙的建立数学模型，可以将数学知识与物理知识灵活的结合在一起，充分利用数学知识的特点，简单，便捷的解决物理问题。

二、巧建数学模型，解决化学问题

[问题] 已知氢元素有1H、2H、3H三种同位素，氧元素有16O、18O两种同位素。他们之间形成化合物的种类有 种。

[解析] 已知氢元素与氧元素可形成的化合物有H2O和H2O2两种。

对于化合物H2O而言：

①当构成H2O的两个氢原子是同一种原子时，H2O的种类有

②当构成H2O的两个氢原子不是同一种原子时，H2O的种类有 所以，化合物H2O有6+6=12（种）；

对于化合物H2O2而言：

①当构成H2O2的两个氢原子和两个氧原子都是同一种原子时，H2O2的种类有

②当构成H2O2的两个氢原子是同一种原子，两个氧原子不是同一种原子时，H2O2的种类有

③当构成H2O2的两个氢原子不是同一种原子，两个氧原子是同一种原子时，H2O2的种类有

④当构成H2O2的两个氢原子和两个氧原子都不是同一种原子时，H2O2的种类有

所以，化合物H2O2有6+3+6+3=18（种）；

因此，可形成的化合物共有12+18=30（种）。

上述化学问题考查学生对化合物和同位素概念的掌握：化合物是由两种或两种以上的元素以固定的摩尔比通过化学键结合在一起的纯净物。同位素是具有相同质子数，不同中子数或质量数的同一元素的不同核素。在组成化合物的过程中，同一元素的不同种同位素组成的化合物不同。在解决这个问题的时候，可直接通过写出所有可能组成的化合物的方式得到答案，但是解题过程繁琐易错。数学中排列组合知识的引入巧妙解决了该问题，简化了解题过程，提高了准确率。

三、巧建数学模型，解决生物问题

[问题] 某水稻的A基因控制某一优良性状的表达，对不良性状a为显性。用该水稻杂合子（Aa）做母本自交，子一代中淘汰aa个体，然后再自交，再淘汰，以此类推。用这种方法育种，子n代种子中杂合子的比例是多少？

[解析] 自交过程如下图所示：

P Aa

↓自交

F1 1AA 2Aa 1aa（淘汰） 杂合子（Aa）比例2/3

↓自交

F2 4AA 2AA 4Aa 2aa（淘汰） 杂合子（Aa）比例2/5

↓自交

F3 16AA 8AA 8Aa 4aa（淘汰） 杂合子（Aa）比例2/9

…… ……

由上述自交过程可知：子一代中杂合子（Aa）所占比例为2/3，子二代中杂合子（Aa）所占比例为2/5，子三代中杂合子（Aa）所占比例为2/9，……，分子是定值2，对应着F1 ，F2 ，F3 ，…，分母分别为3，5，9，…，由递推推关系可归纳其关系式为2n+1，因此子n代种子中杂合子的比例是2/（2n+1）。

上述问题是生物学科里常见的问题，考察学生对杂交，自交和显性、隐形基因的概念和规律的掌握。若问题是“子3代（F3）种子，中杂合子的比例是多少？”，学生可以通过列出自交过程图来解决问题，十分容易。但是“子n代种子中杂合子的比例是多少？”这一问题已经不能够仅仅通过生物知识来解决了，因此我们引入了数学中的归纳法来分析解决。通过有限的子代种子中杂合子所占比例，归纳出递推关系，从而得到子n代种子中杂合子比例的递推关系式，优化了解题过程，提高了解题效率。

综上所述，通过各学科知识内部的性质和规律特点，选用合理便捷的数学方法分析并解决问题，实现各学科知识与数学知识转化，巧妙的构建数学模型，可以优化解题过程，巧解各学科问题。因此，数学建模教学在中学数学教学中将越来越受到重视，数学建模活动也将逐渐成为数学课堂上提倡的教学方式。

参考文献：

[1] 马鹏翼. 中学数学建模中的常见模型举例[J]. 成才之路，2008，（6）：33-34.

[2]张启芝. 建立数学模型“巧解”应用题[J]. 新校园：理论版，2011（8）.

作者简介：张乃一（1992-1-21），女，籍贯：吉林白山，单位：延边大学理学院，专业：2014级硕士研究生，研究方向：学科教学（数学）。endprint