法线和副法线螺旋弹簧劲度系数的研究

戴璐，臧涛成，葛丽娟

（苏州科技学院数理学院，江苏苏州215009）

法线和副法线螺旋弹簧劲度系数的研究

戴璐，臧涛成，葛丽娟

（苏州科技学院数理学院，江苏苏州215009）

借助于Cosserat曲线理论定量研究了法线和副法线螺旋弹簧的劲度系数。计算结果表明，在拉伸螺旋弹簧过程中劲度系数并非始终保持定值。并且副法线螺旋弹簧比法线螺旋弹簧有更好的线性弹性性，所以副法线螺旋弹簧更有利于应用在机械系统。

法线和副法线螺旋弹簧；Cosserat曲线理论；劲度系数

在大学物理的教学研究中弹簧的劲度系数被认为是常数[1-2]。然而笔者在研究微纳米螺旋机械性质的时候发现，螺旋结构的胡克常量会随着螺旋轴向拉伸而变化[3]。微纳米螺旋具有超弹性，其在轴向高负载的作用下几乎可以被拉伸成直线，当撤去负载时，螺旋恢复原形，所以微纳米螺旋可以被当作弹簧[4-5]。笔者将借助考虑了拉伸和剪切形变的Cosserat曲线建立一套理论来定量研究整个拉伸和拉断区域法线和副法线螺旋弹簧的劲度系数。

1 Cosserat曲线理论

Cosserat曲线这一概念首先在1909年由E·Cosserat和F·Cosserat提出，他们用3个方向矢量来定义一条曲线，并用4个矢量场来表示该曲线，即Cosserat曲线[6]。Whitman和DeSilva将该理论应用于弹性细杆的研究，从而形成弹性细杆三维非线性平衡理论，即弹性细杆的Cosserat曲线理论[7-8]，其平衡方程为

其中τ，m分别为作用于整个细杆的力和力矩矢量，ε为轮转算符，W和y分别为位置矢量和方向矢量。下标α，β，γ取1，2，3。，拉伸量λ＝∂s/∂S，S和s分别为沿着固定结构和形变结构的弧长。

图1 法线螺旋弹簧结构（a）及副法线螺旋弹簧受到轴向拉力F作用前后的结构（b）、（c）

如图1（a-c）所示，笔者考虑了两种椭圆截面的螺旋形弹簧，分别称为法线螺旋和副法线螺旋[9-10]。椭圆截面的两个半轴长分别为r1和r2（r2＞r1）。假设一N匝均匀螺旋HI，半径为a0，螺距为b0，长为l0。螺旋HI在轴向拉力F作用下被拉伸为螺旋HF，半径为a，螺距为b，螺旋拉伸量为L。在模型中HI为Cosserat曲线理论中固定参考结构，而HF为形变结构。Di（i=1，2，3）为螺旋HI的方向基矢，而di为螺旋HF的方向基矢，它们分别由两组欧拉角φ0，θ0，ψ0和 φ，θ，ψ定义。对于螺旋结构都为常数，不随弧长变化[11]。选择HI的第三个方向矢量D3沿着螺旋线中心线的切向，拉力F沿着固定笛卡尔坐标系的e3轴。D1、d1和D2、d2分别沿着弯曲刚度最大和最小的方向。

法线螺旋和副法线螺旋HI的方向变化矢量W（0）有以下形式

将螺旋HF的方向变化矢量代入平衡方程（2）得到法线螺旋的方程

和副法线螺旋的方程

其中E1=E2=KGtw，E3=Etw，A=EI1，B=EI2和C=4GI1I2/（I1+I2）[12]。K为Timoshenko切系数，可用泊松比ν来表示[12]。E和G=E/2（1+ν）分别是杨氏模量和切模量。I1=（πr23r1）/4和I2=（πr2r13）/4是截面的转动惯量。

因为负载力决定了螺旋HF的形状，所以方程（6）和（8）表示，对于法线螺旋来说方向变化矢量W有如下形式

对于副法线来说W有如下形式

以及副法线螺旋的变化矢量

根据方程（11）、（12），不仅可以得到拉伸量λ

还能得到法线和副法线螺旋HI和HF的半径和螺旋角，用欧拉角表示为

其中Δ≡I2/I1，对于法线（或者副法线）螺旋来说i=1（或者i=2），δi2为克罗内克函数。并且力矩M沿着螺旋轴向，即负载力F方向的表达式为

根据方程（14）、（15）、（16）和胡克定律k=dF/dL，螺旋HF的劲度系数可表示为

通过测量螺旋HI的几何参数a0，b0，r1，r2，N和负载或者力矩，就可以根据方程（13-18）以及螺旋线长度l=λl0和体积守恒条件分别是螺旋线形变前后的长度（如图1（a）和1（b）））来计算螺旋HF的半径a，螺距b和劲度系数k。

2 讨论与结果

笔者将基于Cosserat曲线模型，利用Si3N4微米螺旋来定量研究在整个轴向拉伸过程中法线和副法线螺旋的劲度系数。Si3N4微米螺旋具有圆截面，其半径为r0=2.58 μm[5]。在计算中假设螺旋线截面面积为定值πr02，然后令长短半轴比为2来得到椭圆截面螺旋。Si3N4微米螺旋的其他几何参数和材料参数为a0=80 μm，b0=200 μm，N=8，E=240 GPa[5]，ν=0.25[13]，其中几何参量来自于SEM图像。首先要确定螺旋能承受的最大负载，即拉断螺旋的力Fbreak。根据杨氏模量和劲度系数的定义，在拉断点有k=kS=EA/l0，其中kS为螺旋线弹性常数，A为拉伸后螺旋线截面面积（A=πr1r2/λ）。结合方程（14）-（18），得到Si3N4微米法线和副法线螺旋能承受的最大负载分别为Fbreak=120×10-3N和Fbreak=51×10-3N。

在已知材料的Fbreak后，根据方程（18）图2（a）和2（b）分别给出了整个拉伸区域Si3N4法线和副法线微米螺旋的劲度系数。劲度系数—拉伸曲线可分为3个区域：区域I为螺旋线性弹性区域。在该区域内，即负载初始阶段，劲度系数几乎不随伸长变化，法线螺旋平均值为0.39 N·m-1，副法线螺旋的平均值为0.28 N·m-1。区域II为螺旋非线性弹性区域。在该区域中继续拉伸螺旋，螺旋被拉紧，劲度系数呈非线性增长到高应力区域：劲度系数随拉伸迅速增加。区域III为螺旋线线性弹性区域，在该区域螺旋被更大负载力拉成一根紧绷直线直到拉断，其劲度系数进入一饱和值，即螺旋线弹性常数kS。

通过比较图2（a）和2（b）可以得到法线和副法线螺旋的线性弹性区域分别为大约1.2 mm和2.1 mm处，这两个螺旋拉伸量分别为螺旋原长的600%和1 050%。显然副法线螺旋的线性弹性区域更大，这表明副法线螺旋的线性弹性性更好，也就是机械稳定性强。并且在线性弹性区域内副法线螺旋的劲度系数比法线螺旋的劲度系数小，在相等的负载力作用下，副法线螺旋会有更大的形变量，即弹性更好。所以副法线螺旋更有利于应用在机械系统。

3 结语

基于Cosserat曲线理论定量研究了大学物理中弹簧的劲度系数。以椭圆截面法线和副法线螺旋弹簧为研究对象，推导出以螺旋几何参数、材料参数和负载力为自变量的劲度系数表达式，并利用Si3N4微米螺旋弹簧定量解释了整个拉伸和拉断区域的劲度系数。研究结果发现，在拉伸过程中螺旋弹簧的劲度系数会发生变化，而副法线螺旋弹簧比法线螺旋弹簧有更长的线性弹性性区域，因此，更有利于应用。

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Stiffness coefficients of normal and binormal helical springs

DAI Lu，ZANG Taocheng，GE Lijuan
（School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China）

With the aid of Cosserat curve theory，we investigated the stiffness coefficients of normal and binormal helical springs.The results show that the stiffness coefficients are not immune to the elongation in the entire stretching process.The binormal helical springs are quantitatively confirmed to excel over the normal ones in linear elasticity.Therefore，the binormal helical springs are more beneficial to the applications in engineering.

normal and binormal helical springs；Cosserat curve theory；stiffness coefficients

O469

A

1672－0687（2015）02－0037－04

责任编辑：李文杰

2014－10－04

国家自然科学基金资助项目（11347136）；江苏省自然科学基金资助项目（BK20130265）

戴璐（1981-），女，江苏苏州人，讲师，博士，研究方向：纳米材料。