在小学数学解题中培养学生逆向思维能力

赵燕霞

逆向思维是数学思维重要的表现形式之一，在解应用题中发挥着重要的作用。因此，在小学数学教学中要对学生进行逆向思维的训练。在解题过程中通过逆向思维可以解决常规办法无法解决的问题，这样，学生在解题过程中就会思维敏捷、思路开阔。

一、对于思路繁琐的应用题，引导学生逆向思考解决

应用题是小学数学教学的重要内容，但是有些应用题条件复杂，要解决的问题让人一时难以找到解决的思路。遇到这种情况，教师不妨引导学生能由眼前的已知条件，解决问题的过程联想到与之相反或对立的解决办法，从而让问题处于一个新的数学情境中。在五年级学生参加的奥数竞赛中有这样的一道应用题：有一只猴子见到了一框桃子，第一天它吃了一筐桃子中的一半还多一个；第二天吃了剩下的一半还多一个；第三天又吃了剩下的一半多一个。同样以后接下来的每一天都吃了剩下的一半多一个，当到了第10天的时框中只剩下一个桃子（这天猴子并没有吃剩下的这个桃子）。问这只猴子一共吃了多少个桃子？对于这样的问题，我们的通常做法是根据题目中的未知数运用分数知识来解答，可以设共有X个桃子，根据题意列一元一次方程，但是这样推导出来的是一个十分复杂的式子，小学生是无法完成的。而如果采用逆向思维来分析解决问题的思路就容易多了，从第十天开始往前推，依次经过第9天、第8天……第1天，这样问题变得简单多了。根据题意有：第10天有桃子的个数是1；第9天的桃子个数应该是4个，以此类推到第一天。这样，从题目中的已知条件最后的结果开始，利用已知条件一步一步地倒着推理，最后解决了问题。

二、不能用方程解决的应用题，利用逆向思维解决

在现行的苏教版教材中，在五年级下册教科书中还没有引入方程，遇到了很多难以解决的应用题就需要采用逆向思维来解题。方程为我们解决某类问题提供了捷径，但没学习方程的情况下就需要我们开动脑筋，另辟解决问题的途径来解决问题，这就是逆向思维。例如：羊圈中有100只羊，已知山羊的数量是绵羊数量的3倍，求山羊与绵羊各是多少？我们看其中的已知条件：问题要求算出山羊与绵羊的数量，只告诉我们二者的倍数关系与总和。小学生没有学过二元一次方程，对这样的题目感觉无从下手。因此，教师应该引导学生从题目中的已知条件开始进行逆向思考：山羊是绵羊的3倍，那么绵羊的3倍就是山羊的数量，假如现在只有绵羊一种，那么绵羊数量的4倍就应该是山羊的总数量，这样，就能够把题目中所给的信息联系到一起了。

三、采用逆向分析法，逐层分析出要解决问题的条件

在小学应用题教学中我们常常遇到这样的问题：在必须提供的正确的两个条件中，如果其中的一个条件是未知的，就必须要找出这个条件，然后通过推导逐步弄清楚需要哪些条件，这就是逆向分析法。从求解的问题开始，逐步分析出已知条件，进而得出正确的解题方法。例如：一个加工厂需要生产某种零件，原计划10天完成，每天的生产量是2000个，为了提前完成任务每天多加工500个。问：那么这样实际比原计划提前多少天完成任务？分析：问题是实际比原计划少用多少天，这很容易理解：用原计划时减去实际生产时间。而原计划生产时间我们可以从题目中得知，未知的是实际生产的天数。要解决这个问题，就要求出生产零件的总个数与实际每天加工的零件个数这两个条件，用生产零件的总个数除以实际每天加工的零件个数就可以知道实际用多少天完成生产任务了。而实际每天加工量从题目中已经知道了，现在需要知道的是生产零件的总个数这个未知数。通过逆向推导，生产零件的总个数应该是原计划每天生产零件数乘以原计划生产的天数，这两个条件都在题目中已经告诉我们了。所以，首先，我们必须求出生产零件的总个数。不难得出：2000×10=20000（个）。其次，求出这批零件实际生产的时间，我们不难得出：20000÷2500=8（天）。最后，很容易求出实际比原计划少用多少天：10-8=2（天）。那么综合算式：10-2000×10÷2500=2（天）。这样，顺利地求出了实际比原计划提前的时间。

四、采用逆向推导法，按照思路还原原题的相反意

在教学求解应用题的过程中我们也会遇到这样的问题：当题目中的已知条件在经过多次变化后时，这就需要进行逆向推导。具体应该采取这样的步骤：第一步，要弄清楚已知条件经过了几次变化，是如何变化的，变化的结果是什么。第二步，以变化后的结果为线索，按照原题意进行还原。如果我们把已知条件的变化比喻成“输入”，那么还原的结果就应该是“输出”。如果原数的运算是加法，那么还原后的运算就应该是减法。乘法与除法亦然，由问题的结果进行逆推，从而得到要解决问题的解题方法，就是逆向思维中的倒推法。例如：商场第一天卖出30台电视机，第二天新进50台，接着又卖出15台。那么商场还剩下72台。问：商场原来有多少台？分析：这个题目要求解的是商场原有的台数，那就是原数。而这个原数在题目中却经过了三次变化。第一天卖出了30台，第二天又增加了50台；第二天又卖出了15台。在经过这三次变化后变成了72台。这个过程中让我们清楚地发现逆向推导的过程：从商场中现有的数量72台开始，在卖出15台以前，应该存在的数量：72+15=87（台）。在这个过程中运来50台之前，商场中的电视机的数量应该是：87-50=37（台）。这让我们很容易知道在运来50台之前，商场中应该存在37台。此时，所要求的问题还没有得到解决，因为商场在第一天还卖出了30台，此时再向前逆推一步。那就是商场在第一天卖出30台之前，应该有多少台？那么37+30=67（台），这才是商场中原有电视机数量。

总之，培养小学生的逆向思维可以优化学生的解答应用题的能力。因此，我们在小学数学教学中要充分地培养解题过程中的逆向思维，不断地提高学生的逆向思维能力。教学实践证明，逆向思维拓宽了学生的解题思路，培养了学生的创新思维能力，从而使应用题教学质量得到了明显的提高。

（作者单位：河北邢台市南园路小学）endprint