新课标下高中数学应用题中的最值问题研究

吴小银

随着新课标的实施，高中数学在实际教学方面也有了很大的提高，逐步从重视知识转变为重视学生学习能力和应用意识的培养.高中数学中应用题中的最值问题与实际贴近，并且题目背景复杂，题型新颖，利用培养学生的应用意识和解决实际问题的能力.它是建立数学模型将实际问题抽象为数学问题，并通过求解数学模型来解决实际问题.

一、高中数学应用题中最值问题的常见模型

在高中数学中，应用题中最值问题的常见模型有很多，如，函数模型、不等式模型、几何模型、数列模型、概率模型等等.在实际教学中，如解决资源分配、优选等问题时，就需要建立不等式模型和线性规划模型，通过求解模型来解决问题.而一些概率问题，如中奖率、预测台风、命中率和工厂生产的随机性等问题，可以通过建立概率模型来解决这类问题.另外一些建设、考古、经济、最优问题等，这类问题可以通过建立函数模型来解决，一些测量问题可以建立几何模型来解决.

例1 求函数y=3-2sinxsinx-2的最大值和最小值.

解法一 利用分离分母的方法求解：

y=3-2sinxsinx-2=-

2sinx-3sinx-2=-

2（sinx-2）+1sinx-2

=-

1sinx-2-2.

由-1≤sinx≤1，

得-3≤sinx-2≤-1，-1≤1sinx-2≤-13，

13

≤-1sinx-2≤1，即-53

≤-1sinx-2-2≤-1.

ymax=-1，ymin=-

53.

解法二 解出sinx然后利用正弦函数sinx的有界性求解.

由3-2sinxsinx-2=-

3sinx-3sinx-2=-

2（sinx-2）+1sinx-2

=-1sinx-2-2，可得sinx=-2y+3y+2.

而-1≤sinx≤1，即-1≤2y+3y+2≤1.

解不等式-1≤2y+3y+2≤1，于是有

2y+3y+2≤1，

2y+3y+2≥-1，即y+1y+2≤0，

2y+5y+2≥0.

化简得-2

y<-2或y≥-53， 所以-53≤y≤1.

也就是ymax=-1，ymin=-

53.

点评 以上两种解法都用到了正弦函数sinx的有界性，但是，运用的角度不同.解法一是通过正弦函数sinx的有界性，结合不等式的性质运算获得原函数的值域，从而得到最大与最小值;而解法二是通过正弦函数sinx的有界性来构造关于原函数函数值y的不等式，然后解出y的范围，从而得到y的最大与最小值.两种方法各有优劣，应当灵活掌握.

二、应用题中最值问题解题的一般步骤

在高中数学应用题中，最值问题是一类特殊应用题，根据笔者多年教学经验，将高中数学应用题中的最值问题解题步骤进行归纳，归纳为四个步骤，分别为：审题、构建数学模型、求解、转化为实际问题答案.

1. 审题

在高中数学中，应用题设置的题目背景复杂，并且文字多，所涉及的信息多，所以首先要读懂题目的含义.当学生面对一个新的待解决的实际问题时，首先要明确题目的含义，所涉及的条件和结论，明确各个数字之间的关系，为了更好的使学生做到这一点，需要通过两个方面来培养学生.

第一个方面，在平时的教学中，要拓展学生的知识面和阅读量，不能只局限于教材中，提高学生将文字转换为数学信息的能力，提高学生对实际问题的理解能力.

第二个方面，在日常的教学中，要培养学生坚实的数学基础，熟练运用现有的数学模型，如一次函数模型、指数函数模型、三角函数模型等等，这样在遇到实际问题时能够熟练运用，解题速度事半功倍.

2.构建数学模型

通过构建数学模型将实际问题中的文字语言转化为数学语言在解决高中数学应用题最值问题中是最重要的，能否正确建立数学模型是解决实际问题的关键.数学模型是一种数学结构，包括概念、符号、公式、方法等特征，在解决应用题最值问题时最重要的是找出各个数量之间的依存关系，观察与已知的哪个数学模型相吻合，这样就能够准确构建出数学模型.

机地结合在一起，又通过建立坐标系将复杂的向量问题转化成了坐标运算问题，实现了复杂问题的简单化.

2.函数思想的运用

将三角函数等式sinB=sin2C关系转化为角之

间的等式关系B+2C=π必须应用函数y=sinx的图象和性质，结合正弦函数的图象和性质得出角之间的关系. 此问题中经常出现不考虑B，2C的取值范围，由sinB=sin2C得出B=2C，得出错误的结论，这是命题人员在命题中设置的一个“陷阱”.

3.数形结合思想的运用

在（2）的方法2中用向量加法的几何意义将|BA+BC|=2这一条件转化为等腰三角形底边上的高等于1，将数和形有机地结合在一起，利用数形结合思想简化了解题过程，缩小了计算量. 因为应用数形结合思想往往能使问题变得清晰、简洁、容易，能够将问题的本质反映出来，所以在解题时要善于挖掘一些代数式的本质，合理地构建图形，将数和形结合到一块，体现数形结合思想.

综上所述，在解题过程中如果能有效地引导学生将各种思想方法进行有机的提炼，不仅可以对数学基础知识进行考查，也可以突出重点知识，更可以注重学科的内在联系，实现知识的网络化，使学生对基础知识达到必要的深度.

课改后的苏教版教材中，许多数学知识都是以实际问题的形式呈现出来的，所以在教学过程要不断培养学生的建模意识，提高学生的数学应用能力，重视建模过程，从而提高学生的建模能力.

3.求解

要顺利解决实际问题，在成功构建数学模型后对模型求解是必不可少的过程.在求解过程中，要注意数学模型中数字的实际意义，从而优化求解过程.在求解计算的过程中，有许多代数式的变形和转化，因此在平常的教学过程中努力培养学生的变形推演能力.

4. 还原

把求解数学模型得到的数学结论还原到实际问题中，最终达到解决实际问题的目的.

三、函数模型的建立与解法

在高中数学中，函数是主要内容，所涉及到函数的应用题众多，题型新颖，解题方法灵活，其中涉及到的“方案最优化”问题中，一般是建立目标函数来解决最值问题.常见的函数模型的解题方法有配方法、判别式法、数形结合法、利用单调性、利用基本不等式、三角函数的有界性和求导等.采用何种方法需要具体问题具体分析.

例2 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=购地总费用÷建筑总面积）

解析 解决这个问题时，就需要通过建立不等式函数模型来求得最值问题，设楼房每平方米的平均综合费为y元，x≥10，x为正整数.

y=（560+48x）+2160×100002000x，化简为y=560+48x+10800x，这样就转化为不等式函数模型，求得函数的最小值即可. 因为y≥560+248x·10800x=560+2×720=2000，当且仅当48x=10800x时等号成立，此时x=15.最后，还原为实际问题的答案，为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层.

在高中数学教学中，应用题中的最值问题背景复杂，题型新颖，文字叙述多，这类题目主要考查学生对于题目的理解能力，构建数学模型的能力，文字信息转换数字信息的能力和应用能力，是综合性强、与实际生活相关的一类应用题目，是目前教学和高考中重要的组合部分.在教学过程中，要加强实际应用题中的最值问题的教学，这样不仅有利于激发学生对数学的学习兴趣和积极性，还能够增强学生的数学应用能力和对数学知识的理解能力，提高学生的文字信息转化能力和变形推演能力，提高学生解决实际问题的能力.