数学思想在解三角形问题中的运用

王恩宾 王磊

一、问题的提出

数学思想是高考中重点考查的内容.在高考的考试说明中关于数学思想是这样阐述的：“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查数学思想时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度.” 在解三角形的问题中，往往将三角函数、平面向量、函数的性质、不等式性质等知识有机地结合在一起，试题的设计体现了各种数学思想和数学方法. 下面结合一个例题来探讨数学思想是如何在解三角形中加以体现的.

例题 在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，π3

（1）判断△ABC的形状;

（2）若|BA+BC|=2，求

BA·BC的取值范围.

二、问题的解答

解 （1）因为ba-b=sin2CsinA-sin2C，所以a-bb=sinA-sin2Csin2C，

所以ab-1=sinAsin2C-1，所以由正弦定理得sinAsinB=sinAsin2C.

因为在△ABC中，00，所以sinB=sin2C.

因为π3

因为在（0，2π）内，对于函数y=sinx，B，C不在同一单调区间，所以B+2C=π.

因为A+B+C=π，所以A=C，所以a=c，△ABC为等腰三角形.

（2）方法1

因为|BA+BC|=2，所以|BA+BC|2=4，所以

（BA+BC）2=4，

所以BA2+BC2+2

BA·BC=4，

所以|BA|2+|BC|2+2

BA·BC=4.

因为c=a，所以a2+a2cosB=2，所以cosB=2a2-1.

所以BA·BC=cacosB=a2（2a2-1）=2-a2.

因为cosB=cos（π-A-C）=cos（π-2C）=-cos2C，且2π3<2C<π，

所以-1

方法2

如图1所示，设∠C=θ，则π3<θ<π2，2π3<2θ<π.

因为B=2（π2-C）=π-2θ，所以0

设O为AC的中点，连结AO.

因为a=c，所以BO⊥AC，所以|BA+BC|=|2BO|=2，所以|BO|=1.

因为|BC|=|BA|=1cosθ，

所以BA·BC

=1sinθ×1sinθ×cosB=1sin2θ×cos2（π2-θ）=

-cos2θsin2θ=

sin2θ-cos2θsin2θ=1-cot2θ.

因为π3<θ<π2，所以0

所以BA·BC的取值范围是（23，1）.

方法3

如图2所示，设∠C=θ，则π3<θ<π2.

设O为AC的中点，连结AO.

因为a=c，所以BO⊥AC，所以|BA+BC|=|2BO|=2，所以|BO|=1.

设AC所在的直线为x轴，AC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A（-cosθsinθ，0），C（cosθsinθ，0），B（0，1）.

因为π3<θ<π2，所以0

所以BA·BC=（-cosθsinθ，1）·（cosθsinθ，1）=1-cos2θsin2θ=1-cot2θ∈（23，1）.

三、数学思想的运用

1.等价转化思想的运用

实现等式的等价转化，将比例式

ba-b=sin2CsinA-sin2C转化为倒数

a-bb=sinA-sin2Csin2C，再进一步应用正弦定理将边之间的关系转化为角的正弦函数的关系sinAsinB=sinAsin2C，结合三角形的特定条件sinA>0，转化为等式sinB=sin2C.

在（2）的方法1中，应用向量中的a2=|a|2这一性质和向量的运算律可以有效地在向量和向量的模之间进行等价转化，是等价转化中经常使用的方法.

在（2）的方法3中，用向量加法的几何意义将|BA+BC|=2这一条件转化为等腰三角形底边上的高等于1，将数和形有