几种圆锥曲线在物理中的应用

卞加荣

常见的圆锥曲线有圆、椭圆、抛物线和双曲线，这几种圆锥曲线在高中阶段均有其应用.

一、圆

圆周运动作为高中所学的一种重要的运动形式多有文章述及，本文不再赘述.

二、抛物线

高中阶段定量研究的是平抛运动，斜抛内容定性了解.但从知识结构看，平抛可以视为斜上抛运动从顶点向后的部分，斜下抛运动也可以视为斜上抛过顶点后的一部分，这样我们在分析问题时就可以用类似的方法，比如运动的分解与合成法.

三、椭圆

到两定点的距离之和为定值的点构成的曲线即椭圆.从物理的角度，椭圆运动是质点在指向定点的有心力作用下的一种曲线运动.

1.在天体运行中的应用

开普勒第一定律（椭圆定律）指出：每一行星沿一个椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.开普勒第二定律（面积定律）说：从太阳到行星所联接的直线在相等时间内扫过同等的面积.1618年，开普勒又发现第三条定律（调和定律）：所有的行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等.1619年，他出版《宇宙的和谐》一书，介绍了第三定律，他写道：“认识到这一真理，超出我最美好的期望.大局已定，这本书是写出来了，可能当代有人阅读，也可能是供后人阅读的.它很可能要等一个世纪才有信奉者，这一点我不管了.”事实上，他既给后人留下了命题也启发了后人.

2.在电学中的应用

例1 如图1，O是一固定的点电荷，另一点电荷P从很远处以初速度v0射入点电荷O的电场，在电场力作用下的运动轨迹是曲线MN.a、b、c是以O为中心，Ra、Rb、Rc为半径画出的三个圆，Rc-Rb=Rb-Ra.1、2、3、4为轨迹MN与三个圆的一些交点.以|W12|表示点电荷P由1到2的过程中电场力功的大小，|W34|表示由3到4的过程中电场力做功的大小则 （ ）.

A.|W12|=2|W34|

B.|W12|>2|W34|

C.P、O两电荷可能同号，也可能异号

D.P的初速度方向的延长线与O之间的距离可能为零

分析 对ABD三项的分析略.就C项而言，根据质点做曲线运动力指凹侧的特征可以知道两电荷间存在引力.同时我们注意到电荷P的轨迹是椭圆，故它所受Q的力一定指向Q，两者一定是异种电荷，C项错误.此题答案是B.

3.在力学中应用

例2 如图2所示，一根不可伸长的轻绳两端分别固定在A、B点，玩具小娃娃上面带一个小夹子，开始时用夹子将玩具娃娃固定在图示位置，AO段绳水平，OB段绳与水平方向的夹角为45°.现将夹子向左移动一小段距离，移动后玩具仍处于静止状态，关于AO、OB段绳中的拉力，下列说法中正确的是（ ）.

A.移动前，AO段绳中的拉力等于玩具所受的重力

B.移动前，AO段绳中的拉力小于玩具所受的重力

C.移动后，OB段绳中拉力的竖直分量不变

D.移动后，OB段绳中拉力的竖直分量变小

分析 A、B两项的分析略.夹子作为结点，与各段绳子间均有摩擦，故各段绳中张力不一定相等.又因A、B两悬点距离一定，AOB绳长一定，故结点O在绳上移动时其轨迹是一椭圆，如图3所示.如果O向A移动，则AO段和OB段绳调整后如图中AO、OB所示.可见，AO段绳不再水平，对结点O有斜向上的拉力，OB段绳中拉力的竖直分量小于玩具的重力.故此题答案为AD.

四、双曲线

到两定点的距离之差为定值的点构成的曲线即双曲线.从物理的角度，质点做双曲线运动时受到了背离定点的有心力作用.

1.在热学中的典型应用

在压强-体积关系图象中，理想气体的等温线是双曲线的一支.当一定质量和种类的理想气体温度一定时，据理想气体状态方程知pV=nRT=常量.这个方程符合数学上的双曲线方程xy=k.

2.在力学中的应用

如图4是人教社新课标教材选修3-4之波的干涉示意.加强区和减弱区分别用实线和粗虚线画出.可以证明，实线和虚线均是双曲线.位于两点波源连线垂直平分线的加强线可视为一种极限情况.

以加强线为例证之.设两波源S1、S2相距s，波长为λ，一质点到两波源的距离分别是l1、l2，则在图示平面内加强点满足l2-l1，n=0、±1、±2……，在允许的n值范围内，除n=0外，n每取一组值均会对应双曲线的两支.

3.在电学中的应用

例3 如图5，一带电粒子在固定正电荷形成的电场中，运动轨迹是如图所示的abcd曲线，下列判断中正确的是（）.

A.粒子带正电

B.粒子通过a点时的速度比通过b点时大

C.粒子在a点受到的电场力比b点小

D.粒子在a点时的电势能比b点大

说明 结合曲线运动特点知，粒子受的力是斥力，背离固定正电荷，也可以证明abcd曲线是双曲线的一支.BCD分析略，此题答案是ABC.