培养几何直观能力应处理好四对关系

2015-02-01福建省宁德市蕉城区实验小学黄荣楣

福建基础教育研究 2015年12期

◎福建省宁德市蕉城区实验小学黄荣楣

培养几何直观能力应处理好四对关系

◎福建省宁德市蕉城区实验小学黄荣楣

培养学生的画图能力和习惯是学生几何直观素养形成的有效途径之一。教师在教学中要唤醒学生的画图意识，处理好“演示”与“操作”的关系；追求画图的本质，处理好“精细”与“简约”的关系；变通画图的方法，处理好“普通”与“优化”的关系；探寻逻辑关系，处理好“特殊”与“一般”的关系

几何直观；意识；本质；方法；关系

几何直观是《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的十大核心关键词之一。培养学生的画图能力和习惯是学生几何直观素养形成的有效途径之一。在教学中，许多教师已经十分重视画图策略的教学，但往往忽视了一些细节的处理，弱化了几何直观能力的培养。在培养学生的几何直观能力时，应科学处理以下四对关系。

一、“我要画”——唤醒画图的意识，处理好“演示”与“操作”的关系

画图能够变“抽象”为“具体”，符合小学生以形象思维为主的思维特点，在解决一些问题时，起到“四两拨千斤”的效果。但在实际的操作过程中，有的学生往往有嫌麻烦和畏难心理，视画图为“累赘”。如何克服学生的畏难心理，充分凸显画图的价值呢？

1.适时借助图形，让学生充分体验到画图策略的价值

在解决一些数量关系隐蔽的问题时，教师要让学生充分体会到画图策略的独到优势。以《解决问题的策略——倒推》一课中的习题为例：小军收集了一些画片，他拿出画片的一半还多一张送给小明，自己还剩25张，小军原来有多少张画片？学生往往出现以下两种解法：①（25+1）×2=52（张）；②25×2＋1=51（张）。到底哪种解法才是正确的呢？有的学生说可以把52代入原题来检验，但仍有部分学习能力中下水平的学生并不理解算式中为何要“先加1再乘2”。此时，教师引导学生逐步完成线段图（如图1所示），学生观察思考后明确：这里的25张并不是总数的一半，只有把25张加上1张，才是总数的一半。因此，借助图形可以直观的判断方法①是正确的。在上述例子中，尽管画图只是该问题的辅助策略，教师的适时引导画图却让学生更好的理解题意，进而得出答案。

图1

2.让画图成为一种解题的习惯

教师的示范画图固然能让学生发现画图的优越性，但有些教师为了节约课堂时间一味地演示，长此以往势必越俎代庖，使学生产生对教师作图的依赖，弱化其作图能力。因此，教师更应积极引导学生主动地画图，从而实现对学生画图能力长效的培养。例如：“同底等积的圆柱体和圆锥体，圆锥体的高为48厘米，那么圆柱的高应是（）。①16厘米②48厘米③144厘米。”学生的解题错误率较高，选③的学生很多。学生在解答时，往往会假设出具体的数据进行举例说明，此方法虽然可行，但过于繁琐，也不利于发现圆柱高和圆锥高两者之间的倍数关系。于是，教师引导学生画这三个答案的示意图（如图2所示）。

图2

通过画图，学生清晰看到，如果答案是③，那么圆锥的高度只有圆柱的三分之一，体积就更不可能相等了。学生从图中发现在等底的前提下，如果要两种图形等积，则要让圆锥的高是圆柱的3倍，而不是三分之一。否则，圆锥看上去特别小，根本不可能和圆柱的体积相等。有了直观图后，教师启发学生进一步思考稍复杂的问题：在答案③中，圆锥的体积和圆柱的体积又有怎样的关系？学生借助直观图，很快发现圆锥的体积圆柱的体积的九分之一。教师在最后引导学生反思整个解题的过程，突出示意图对解决这个数学问题的重要作用，感受画图策略的价值。

在教学过程中，只要适时地把教师的演示和学生的动手画图相结合，并做到逐步放手，变“要我画”为“我要画”，使之内化为利用图形思考的意识和能力，学生的几何直观能力必定会逐步提升。

二、“我会画”——追求画图的本质，处理好“精细”与“简约”的关系

画图作为常用的解决问题策略，分布在数学教学的各个领域，但在具体教学中，教师往往出现在处理上有失偏颇的现象：有的教师处理过粗，一开始就让学生尝试画图，缺乏必要的指导，学生或无从下手，或错误百出，影响了课堂教学效率，画出的图形，有的比例严重失调，阻碍了对题意的理解；有的教师则过于精细，从作图工具、细节要求甚至美观上都有严格要求。画图的本质是帮助学生理解问题、分析问题，教师的指导应该从规范化作图逐渐向画草图过渡，关注学生对数学本身的理解和内化。以“用分数乘法解决问题”为例进行分析：“人的心脏跳动的次数随年龄而变化。青少年心跳每分钟约75次，婴儿每分钟心跳的次数比青少年多4/5，婴儿每分钟心跳多少次？”教师首先要让学生弄清几个小问题：①什么是单位“1”？②题目中的75次应该标在哪里？③应该把单位“1”平均分成几份，另一个量相当于这样的几份？④多4/5应该标哪里？怎样标？⑤检查一下，所有的与解题有关的条件和问题是否都在图里标上了等等。上述的问题可以让学生先探究、讨论并尝试画图，再展示学生的作品进行评价、修正。在这个过程中，可以讨论一些细节上的要求，比如通常先画出单位“1”，这样便于画出另一个量；平均分可以借助刻度尺准确地分；画出的两条线段之间的左端点要对齐，多出的部分用竖线帮助对齐等。最后根据画出的线段图（如图3所示），引导学生相互交流，说说各部分的意义。学生在把生活语言数学化，数学语言符号化的过程中，不断加深对画图策略的感悟。

图3

学生能准确规范地画图固然重要，但是如果过于精细化的要求，容易造成学生解题上的负担，由此冲淡了他们对画图策略于解决此类问题独特辅助价值的体悟，产生厌烦心理，反而弃之不用。因此，当学生画图比较熟练时，教师要适时放宽要求，允许学生画草图，或者局部画图。例如一道百分数应用题出现了“31%”“45%”这样的两个分率，此时，平均分显得较为麻烦且无必要，就要允许学生用估计的方法，分别估计两个分率的比例，较为合理地画出草图。再如，教学“环形的面积”一课时，出现了“在一个半径为4.5米的圆形花坛周围修一条宽2米的环形水泥路。这条水泥路的面积是多少平方米？”这一类的题目，此时学生最易错或误解的地方就是这里的“宽2米”指的是什么？它与花坛的半径有什么关系？教师可引导学生画出草图并标上数据，从而找出所需条件。而至于学生要不要用圆规画,用什么工具画圆，画得如何，只要不影响对题意的理解，就无需做太多要求。

三、“我巧画”——变通画图的方法，处理好“普通”与“优化”的关系

在绝大部分教师常用的解决问题的辅助方法中，线段图是占主导地位的。新教材把画图作为一种策略，方式可以不仅仅局限于线段图，还可以是画平面图、立体图、分析图、线段图、思路图等多种示意图,甚至可以是非标准的原生态图示。随着学生对画图策略的逐步领悟、内化，画图水平的逐步提升，教师适时关注画图方法多样化，并引导学生进行优化。

仍以“小军收集了一些画片，他拿出画片的一半还多一张送给小明，自己还剩25张，小军原来有多少张画片？”这道题为例，有位教师在教学时，用长方形图代替线段图来表示题中的数量关系（如图4所示）。这样数量关系更为直观清晰。在线段图中，由于分段较多，“多1张”很容易让学生错看成是“送走的那一半”中的一部分。而长方形中“多1张”这个数量能让人一眼就看出是属于另一半的。此时，教师再追问：那么，你们看看，能否修改算式25×2＋1=51（张），使它正确？学生借助图，发现25×2求出的是两边各缺1张时的画片数量之和，于是列出了这样的算式25×2＋1×2=52（张）。同时，也加深了对之前错题的错误原因的理解。

图4

四、“我懂画外音”——探寻逻辑关系，处理好“特殊”与“一般”的关系

在解决问题时，几何直观不仅能帮助学生理解题意，还能有效地培养学生的直觉思维。我国现代数学家徐利治先生曾指出：“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。”因此，在教学时，有时学生能借助直观图，跳跃性地思考问题，从而得出结果。例如：修一段长80千米的公路，已经修了1/8，剩下的甲乙两队分别按3：4修完。乙队修了多少千米？通过画图，有的学生直接把80÷2=40（千米）求出答案，而解释算式时则说是“从图上（如图5）直接看出来的”。当教师让学生介绍别的解法，这部分学生却认为已经解决问题了，不需要再花时间去明确数量关系。此时，解决问题成了学生的唯一目的，而本题的数量关系的分析，却被学生所忽视。面对这样的情况，教师在肯定学生的创新思维和直觉水平的基础上，还要让学生体验到，这道题的快速解决和数据的巧合也有一定的关系。此时，教师可适时修改题中的数据（例如3：4改为2：3），让学生去思考常规的解题方法，让学生体验到该方法的巧妙灵活，但又十分局限。解题时，既要关注画图带来的特殊作用，又要真正地掌握一般的解题方法。